正比例和反比例

正比例和反比例 正比例的意义 ?知识要点: (1)正比例:两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系( ?用字母表示:如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用以下关系式表示:x:y=k(一定) 。 ?正比例关系两种相关联的量的变化规律:同时扩大，同时缩小，比值不变(例如:汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例, 以上各种商都是一定的，那么被除数和除数( 所表示的两种相关联的量，成正比例关系( 注意:在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例( 例如:一个人的年龄和它的体重，就不能成正比关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系( 反比例:两种相关联的量一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系( 用字母表示:两种相关联的量，分别“x”和“y”表示，“k”表示不变的量，那么反比例关系式是: x×y=k(一定) ?反比例关系的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变( 例:图上距离一定，实际距离和比例尺是否成反比例( 因为实际距离×比例尺=图上距离(一定) 所以，实际距离和比例尺成反比例( 3.正比例和反比例 相同点:两种量都是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化( 不同点:两种量成正比例，是一种量扩大，另一种量也随着扩大，一种量缩小，另一种量也随着缩小，它们扩大，缩小的规律是，这两种量相对应的两个数的比值不变，即商一定( 两种量成反比例是一种量扩大，反比例的意义 反比例关系是通过应用题的总数与份数关系帮助我们认识的。在总数与份数关系中，包含总数、份数和每份数。当总数一定时，每份数和份数是两种相关联的变量。如果每份数变化，份数也随着变化。同样如果份数变化，每份数也随着变化。它们的变化，无论扩大还是缩小，相对应的两个量的乘积(也就是总数)一定。具体说，当总数一定时，每份数(或份数)扩大或缩小若干倍，份数(或每份数)反而缩小或扩大相同的倍数。简称为“一扩一缩(或一缩一扩)”。具备这种变化关系的每份数和份数成反比例关系。反比例关系在典型应用题中属于归总问题。反映在除法中，当被除数一定，除数和商成反比例关系。在分数中，当分数的分子一定，分母与分数值成反比例关系。在比例中，比的前项一定，比的后项与比值成反比例关系。如果再把总数与份数关系具体化为:在购物问题中，总价一定，单价和数量成反比例关系。在行程问题中，路程一定，速度和时间成反比例关系。在做工问题中，工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例关系。如果两种量成反比例，那么一种量的任意两个数的比，等于另一种量的两个对应数的反比。如，加工零件的总数一定，是600个。如果每小时加工10个，60个小时完成任务。如果每小时加工20个，30个小时完成任务。每小时加工数量的比1?2，与它相对应的完成时间比是2?1。2?1是1?2的反比例。 两种相关联的量——?两种相关联的量 一种量变化——?一种量变化 另一种量也随着变化——?另一种量也随着变化。 这两种量中相对应的两个数的比值一定——?这两种量中相对应的两个数的乘积一定 之后，进一步理解反比例的意义。 ?分析反比例的意义。 成反比例的量包括三个数量，一个定量和两个变量。研究两个变量之间的扩大(或缩小)的变化关系。一种量发生变化，引起另一种量发生相反的变化。这两种量是反比例的量，它们的关系成反比例关系。 ?反比例实质 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定。这两种量叫做成反比例的量。它们的关系叫做反比例关系。 比较正、反比例: 相同点:?正比例和反比例都含有三个数量，在这三个数量中，均有一个定量、两个变量。 ?在正、反比例的两个变量中，均是一个量变化，另一个量也随之变化。并且变化方式均属于扩大(乘以一个数)或缩小(除以一个数)若干倍的变化。 不同点:正比例的定量是两个变量中相对应的两个数的比值。反比例的定量是两个变量中相对应的两个数的积。 正、反比例之间的相互转化:当正比例中的x值(自变量的值)，转化为它的倒数时，由正比例转化为反比例;当反比例中的x值(自变量的值)也转化为它的倒数时，由反比例转化为正比例。即， 比较总数与份数关系中的正、反比例。 比的性质 比的前项和后项同时除以相同的数(0除外0,比值不变,这一规律叫做比的性质 比的意义 两个数相除又叫两个数的比":"是比号,比号前面的数叫比的前项,后面的数脚比的后项,比的前项除以比的后项所得的商,叫做比值.比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示. 比与分数除法之间的关系 比的前项相当于除法中的被除数,又相当于分数中的分子,比号相当于除号又相当于分数线,比的后项相当于除数,又相当于分数中的分母,比中间的比值相当于除法中的商,又相当于分数中的分数值.(比的后项不能为0)。 用比的知识可以解决地图的实际距离,比较分数的大小,等实际问题。 路程?时间 = 速度 (一定) , 路程与时间成正比例。 工作总量?时间 = 工效 (一定) , 工作总量与时间成正比例。 总价?数量 = 单价 (一定) , 总价与数量成正比例。 高一定,底面积与体积成正比例; 在长方体里面, 长方体的底面周长一定,侧面积与高成正比例; 在圆里面,周长与直径成正比例,周长与半径成正比例 总产量?公顷数 = 单产量 (一定) , 总产量与公顷数成正比例。 总用量?时间 = 单位用量 (一定) , 总用量与时间成正比例。 一段路程所用的时间和速度成正比例关系。 一袋水果的单价和数量成正比例关系。 一项工程的工作效率和工作时间成正比例关系。 几块田的公顷数和单产量成正比例关系。 一筐煤每天用的量和用的天数成正比例关系。 路程一定，时间和速度成反比例 总价一定，单价和数量成反比例。 总页数一定，平均每天看的页数和看完书的天数成反比例 总字数一定，打字速度和所用时间成反比例。 果汁总量一定，分的杯数和每杯果汁量成反比例 。 总人数一定，排队的行数和每行的人数是反比例。 长方形的面积一定，长和宽是反比例 。 长方体的体积一定，底面积和高是反比例。 煤的总量一定，每天的烧煤量和烧的天数成反比例。 树的总棵数一定，每行种的棵数与行数成反比例。 一堆货物一定，运出的和剩下的成反比 煤的总量一定，每天的烧煤量和烧的天数成反比例。 树的总棵数一定，每行种的棵数与行数成反比例 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。