上学期高三同步测控优化训练数学A：概率与统计B卷（附答案）

上学期高三同步测控优化训练数学A：概率与统计B卷（附答案） 高中同步测控优化训练(二) 第一章 概率与统计(B卷) 说明：本试卷分为第?、?卷两部分,请将第?卷选择题的答案填入题后括号内,第?卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟. 第?卷(选择题 共30分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.设ξ是离散型随机变量,则下列不能够成为ξ的概率分布的1组数是 A.0,0,0,1,0 B.0.1,0.2,0.3,0.4 C.p,1－p(其中p是实数) D.111,,,？,, (其中n是正整数) 1,22,3(n,1),nn 分析:本题主要考查任一离散型随机变量的分布列所具有的两个性质： (1)P?0,i=1,2,3„; i (2)P+P+„=1. 12 解:对于A,由于0+0+0+1+0=1,且每个数都大于或等于0,所以这组数可以作为ξ的1种概 率分布； 对于B,由于0.1+0.2+0.3+0.4=1,且每个数都大于0,所以这组数可以作为ξ的1种概率 分布； 对于C,虽然p+1－p=1,但是不能保证对任意实数p和1－p都是非负数(比如取p=－1), 所以这组数不能够作为ξ的概率分布； 11111对于D,由于，，，？，， 1,22,33,4(n,1),nn 11111111==1, (1,)，(,)，(,)，？，(,)，22334n,1nn 且每个数都是非负数,所以这组数也可作为ξ的1种概率分布. 答案:C 2.某牧场的10头牛因误食疯牛病毒污染的饲料被感染,已知疯牛病发病的概率为0.02.若发病的牛数为ξ,则Dξ等于 A.0.2 B.0.196 C.0.8 D.0.812 分析:本题考查随机变量ξ服从二项分布的方差,即Dξ=npq(其中q=1－p). 解:由题意可知,发病的牛数ξ服从二项分布, 即Dξ=npq=10×0.02×(1－0.02)=0.196. 答案:B 3.抛掷2颗骰子,所得点数之和ξ是一个随机变量,则P(ξ?4)为 A.1111 B. C. D. 2356 分析:本题考查离散型随机变量和的概率. 解:ξ=2对应(1,1)；ξ=3对应(1,2),(2,1)；ξ=4对应(1,3),(2,2),(3,1).故ξ=2,3,4时分别对应1,2,3个基本事件. 而整个事件包含36个基本事件,由等可能事件的概率公式,得 1231P(ξ?4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=. ，，,3636366 答案:D 4.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点,公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为?;在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况,记这项调查为?.则完成?、?这两项调查采用的抽样方法依次是 A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法 分析:本题主要考查抽样方法等基础知识.无论采取哪种形式的抽样,抽样过程中每个个体被抽取的概率相等.解决此类问题的关键是分清题目的特点,紧扣三种抽样方法的定义去 解决. 解:完成?采用分层抽样法,完成?采用简单随机抽样法. 答案:B 5.某处有供水龙头5个,调查明每个水龙头被打开的可能性为1,随机变量ξ表示同时10被打开的水龙头的个数,则P(ξ=3)为 A.0.0081 B.0.0729 C.0.0525 D.0.0092 分析:本题考查n次独立重复试验中,恰好发生k次的概率. 解:对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有2种可能结果：打开或未打开,相应的概率为0.1或1－0.1=0.9. 根据题意ξ~B(5,0.1),从而P(ξ=3)=332(0.1)(0.9)=0.0081. C5 答案:A 6.某人从湖中打了一网鱼,共m条,做上记号,再放入湖中,数日后又打了一网鱼,共n条,其中k条有记号,估计湖中有鱼__________条. nnkA. B.m? C.m? D.无法估计 kkn 分析:本题考查用样本的频率分布估计总体的分布. 解:设估计湖中有x条鱼. mkm,n由题意可知,所以x=, ,xnk m,n即估计湖中有条鱼. k 答案:B 27.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10穴的分蘖数后,计算出样本方差分别为s=1, 甲2s=3.4,由此可以估计 乙 A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 分析:本题考查随机变量的期望与方差.其中期望反映了随机变量取值的平均水平,方差 反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度. 22解:由于测得的两种水稻的穴数相同,s>s,所以乙种水稻要比甲种水稻分蘖整齐. 甲乙 答案:B 8.袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球,被取出的 球的最大号码数为ξ,则Eξ等于 A.4 B.5 C.4.5 D.4.75 分析:本题考查离散型随机变量ξ的数学期望.解题关键是找到ξ与P的对应值. ii解:由题意,知ξ取3,4,5.它取每一个值的概率都符合等可能事件的概率公式,即 11P(ξ=3)=,, 310C5 2C33P(ξ=4)=,, 310C5 2C64P(ξ=5)=,, 310C5 136?Eξ=3×+4×+5×=4.5. 101010 答案:C 9.从2004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从 2004人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样方法进行,则每人入选的概率 A.不全相等 B.均不相等 251C.都相等,且为 D.都相等,且为 100240分析:本题考查抽样过程中每个个体被抽取的概率问题. 2000解:从2004名学生总体中剔除4个个体,每名学生不被剔除的概率是,对于留在总体2004 50中的2000个个体,按系统抽样时,每个个体被抽取的概率是,由概率乘法公式可知每个2000 2000505025个体被抽取的概率p=×. ,,2 答案:C 210.若随机变量ξ~N(μ,σ),且Dξ=1,Eξ=3,则P(－1＜ξ?1)等于 A.2Φ(1)－1 B.Φ(4)－Φ(2) C.Φ(－4)－Φ(－2) D.Φ(2)－Φ(4) 2分析:本题考查正态总体N(μ,σ)在给定区间内的概率. 解:由于μ、σ分别表示总体的平均数(期望)与差, ?μ=3,σ==1. D, 1,3?F(1)=Φ()=Φ(－2)=1－Φ(2), 1 ,1,3F(－1)=Φ()=Φ(－4)=1－Φ(4), 1 ?F(1)－F(－1)=Φ(－2)－Φ(－4) =1－Φ(2)－1+Φ(4) =Φ(4)－Φ(2). 答案:B 第?卷(非选择题 共70分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在横线上) 11.已知盒中有3只螺口与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着, 现需用一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第3次才取得卡口灯泡 的概率为__________. 分析:本题考查无放回地抽取个体时,每个个体被抽取的概率问题.搞清使用的概率模型 是解题的关键. 解:设无放回地直到第3次取出卡口灯泡记为事件A,则 P(A)=3277. ，，,1098120 7答案: 120 12.设一次试验成功的概率为p,现进行16次独立重复试验.当p=__________时,成功次数 的标准差最大,其最大值为__________. 分析:本题考查服从二项分布的随机变量的标准差.解题的关键是构造目标函数. 解:由于成功的次数ξ服从二项分布,所以 Dξ=npq=16p(1－p). p，1,p?σξ==2. 16p(1,p),4p(1,p),4，2 1当且仅当p=1－p,即p=时取等号,此时(σξ)=2. max2 112另解:σξ=4(),p,，, 24 1?0?p?1,?当p=时,(σξ)=2. max2 1答案: 2 2 13.下图是一样本的频率分布直方图,其中(4,7)内的频数为4,数据在［1,4)?［7,15)内的 频率频率为__________,样本容量为__________. 组距 2 33 147101315数据 分析:本题考查一样本在给定区间内的频率及该样本的容量.注意用相应的直方图面积来表示在各个区间内取值的频率时,所有小矩形的面积和等于1. P21解:在(4,7)内的频率为P,且, ,1333 92所以P=.所以数据在［1,4)?［7,15)内的频率为 .11111 42设样本容量为n,则,解得n=22. ,n11 9答案: 22 11 14.某街头小摊,在不下雨的日子可赚到100元,在下雨天则要损失10元.若该地区每年下雨的日子约为130天,则此小摊每天获利的期望值是__________(每年按365天计算). 分析:本题考查离散型随机变量ξ的数学期望在实际生活中的应用. 解:由题意可知变量ξ的取值分别为－10,100. 130?ξ=－10的概率P(ξ=－10)=, 365 235ξ=100的概率P(ξ=100)=, 365 130235?Eξ=－10×+100×?60.82. 365365 答案:60.82 三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、过程或演算步骤) 15.(本小题10分)现要从甲、乙两个技工中选派一人参加技术比武赛,已知他们在同样的条件下每天的产量相等,而出次品的个数的分布列如下： (甲) 次品数ξ 0 1 2 1 P 0.1 0.5 0.4 (乙) 次品数ξ0 1 2 3 2 P 0.3 0.3 0.2 0.2 根据以上条件,选派谁去合适？ 分析:本题考查离散型随机变量的期望与方差在实际生活中的应用.选择比赛选手的依据是看他们技术的高低,而技术的高低取决于出次品的多少与稳定性,即取决于他的期望与方差.分别计算出甲、乙两个技工的数学期望Eξ、Eξ,并比较大小.期望越小,次品越少,产品质12 量平均程度越好；若期望相同,再求出他们的方差,方差越小,产品质量越稳定,技术水平越好. 解:Eξ=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3, 2分 1 Eξ=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3. 4分 2 由于Eξ=Eξ,所以甲技工与乙技工出现次品数的平均水平基本一致,因而还需考查稳12 定性. 5分 222Dξ=(0－1.3)×0.1+(1－1.3)×0.5+(2－1.3)×0.4=0.41; 7分 12222Dξ=(0－1.3)×0.3+(1－1.3)×0.3+(2－1.3)×0.2+(3－1.3)×0.2=1.21. 9分 2 因为Dξ＜Dξ,所以技工乙波动较大,稳定性较差. 12 综合以上情况,应选派技工甲去参加比赛. 10分 3116.(本小题10分)进行某种试验,设试验成功的概率为,失败的概率为,以ξ表示试验44首次成功所需试验的次数,试写出ξ的分布列,并计算ξ取偶数的概率. 分析:本题考查如何布列离散型随机变量的分布列,以及如何求它的和的概率.其中ξ=k表示前(k－1)次试验失败而第k次试验成功这一事件,ξ服从几何分布.它是相互独立事件同 时发生的概率模型.设事件A,A,„,A相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事12n 件发生的概率的积,即 P(A?A?„?A)=P(A)?P(A)?„?P(A). 12n12n 解:随机变量ξ的取值是1,2,3,„,k,„. 2分 3?P(ξ=1)=, 4 31P(ξ=2)=?(), 44 312P(ξ=3)=?(), 44 ? 31－k1P(ξ=k)=?(), 44 ? ?ξ的分布列为 ξ 1 2 3 „ k „ 3313131－2k1 P ? ?() ?()„ „ 4444444 7分 取偶数的概率为 313131－2m13P=)+„ ，，，，？，，()(444444 3111=，(，，？，，？) 9分 32m,14444 1 314=. 10分 ，,1451,16 17.(本小题12分)人寿保险中的某一年龄段,在一年的保险期内,每个被保险人需交纳保险费a元,被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元,出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率为p,非意外死亡的概率为p,则保险费a需满足什么条件,保险12 公司才可能盈利？ 分析:本题考查离散型随机变量的期望在现实生活中的应用. 要使保险公司盈利,需使它所收总保险费大于总赔付费,即它的期望大于零.解题的关键是列出分布列,求出数学期望. 解:设ξ为保险公司对每一投保人的盈利数,则ξ的可能取值为a,a－30000,a－10000. 2分 且P(ξ=a)=1－p－p, 4分 12 P(ξ=a－30000)=p, 6分 1 P(ξ=a－10000)=p. 8分 2 随机变量ξ的概率分布为 ξ a a－30000 a－10000 P 1－p－ppp 12 1 2 9分 Eξ=a(1－p－p)+(a－30000)p+(a－10000)p 1212 =a－30000p－10000p. 12 保险公司要盈利,必须使Eξ＞0.于是a＞30000p+10000p. 12分 12 18.(本小题10分)若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在 21%以下设计的,如果某地成年男子的身高ξ~N(175,6)(单位：cm),则该地公共汽车门的高度 应设计为多高？ 分析:本题考查正态分布在现实生活中的应用.它是一道已知正态分布函数的值域,而求其自变量范围的题目.解题的关键是找出正确的函数表达式,运用标准正态分布表,求变量的范围. 解:设该地公共汽车门的高度应设计为x cm, 则根据题意可知P(ξ?x)＜1%. 3分 ?ξ~N(175,62), x,175?P(ξ?x)=1－P(ξ＜x)=1－Φ()＜0.01. 6分 6 x,175x,175化简,得Φ()＞0.99,查表可知＞2.33, 66 解得x＞188.98, 9分 即该地公共汽车门至少应设计为189 cm高. 10分 19.(本小题12分)设一汽车在前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率 31为,遇到红灯(禁止通行)的概率为.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进,ξ表44 示停车时已经通过的路口数,求: (1)ξ的概率的分布列及期望Eξ; (2)停车时最多已通过3个路口的概率. 分析:本题重点考查概率与分布的基础知识.正确确定随机变量的所有可能取值,以及取每一个值的概率是解决本题的关键. 解:(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4. 2分 用A表示“汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)”, k 3则P(A)=(k=1,2,3,4),且A,A,A,A独立. k12344 1故P(ξ=0)=P(A)=, 14 313P(ξ=1)=P(AA?)=×=, 124416 3192P(ξ=2)=P(AA?A?)=()×=, 1234464 31273P(ξ=3)=P(AA?A?A?)=()×, ,123444256 3814P(ξ=4)=P(A?A?A?A)=()=. 7分 12344256 从而ξ有分布列: ξ 0 1 2 3 4 P 1392781 42562561664 8分 1392781525Eξ=0×. 10分 ，1，，2，，3，，4，,456 81175(2)P(ξ?3)=1－P(ξ=4)=1－. ,256256 175答:停车时最多已通过3个路口的概率为 12分 .256