第十一讲 含参变量的无限积分

第十一讲 含参变量的无限积分 三、含参变量的无穷积分 fxu(,)Daxu(,),,，,,,,,,,u[,],,设二元函数在区域有定义，，无 ，,,,u[,],,穷积分fxudx(,)都收敛，即都对应唯一一个无穷积分(值),a ，,，,[,],,fxudx(,)，于是，fxudx(,)是上的函数，表为 ,,aa ，,,,,()(,),[,]ufxudxu,,， ,a 称为含参变量的无穷积分，有时也简称为无穷积分，是参变量( u ,，,u已知无穷积分fxdx()与数值级数的敛散性概念、敛散性判别法及其,n,a,n1 ，,fxudx(,)性质基本上是平行的，不难想到含参变量的无穷积分与函数级数,a, ux()之间亦应如此(讨论函数级数的和函数的分析性质时，函数级数的一致,nn1, 收敛性起着重要作用;同样，讨论含参变量的无穷积分的函数分析性质时，一致 收敛性同样也起着重要的作用( ，,,,u[,],,,,u[,],,fxudx(,)，无穷积分都收敛，即，有 ,a ，,Afxudxfxudx(,)lim(,),， ,,aaA,，, 即，有 ,,，,,,,0,,AaAAuu A，,，,( (4) fxudxfxudxfxudx(,)(,)(,),,,,,,,aaA 一般来说，相等的之下，不同的也不同。是否存在一个通用的，uA,Aa,,u0 [,],,，有(4)式成立呢,事实上，有些参变量的无穷积分在,,,,AAu,[,],,0 上存在，于是，有下面的一致收敛概念: A0 定义 若有 ,,，,,,,,,0,,,,AaAAuI00 A，,，,， fxudxfxudxfxudx(,)(,)(,),,,,,,,aaA ，,，,fxudx(,)fxudx(,)则称无穷积分在区间I一致收敛;若无穷积分在区间I,,aa 1 ，,不存在通用的，就称fxudx(,)在区间非一致收敛( IAa,0,a 现将一致收敛与非一致收敛对比如下: ，,一致收敛: 有; ,,，,,,,,,0,,,,AaAAuIfxudx(,),,00,A ，,非一致收敛:有( ，,,,，,，,,0,,,，AaAAuIfxudx(,),,00000,A0 ，,xu,[,](0)aba,[0,)，,例5 证明:积分uedx在区间一致收敛，在上非一,0 致收敛( A,0证:设，则 ，,，,，,1xuttAuAa,,,,,( uedxxutuedtedteeaub,,,,,,(),,,AAuAuu 1111,Aae,,,,,0，要使不等式成立，只要。取，于是，,,,Aln0Aln0,,aa 11,,,0，，，有 ，,,,,,,AAuab,[,]Aln000,a ，,xuAa,,uedxe,,,， ,A ，,xu,[,](0)aba,uedx即积分在区间一致收敛( ,0 1,2,,,,,，,，,,，,另外，由于存在eAAAu0,0,,[0,)，有 000A0 1,A0，,,,xuAuA,,120000uedxeeee,,,,， 0,A0 ，,xu,[0,)，,uedx即在非一致收敛( ,0 ，,fxudx(,)定理5(柯西一致收敛准则)在区间一致收敛I,a ,,,，,,0,,Aa0 有 ,,,,,AAAAuI,,,1020 A2( fxudx(,),,,A1 证:“”由一致收敛的定义，有 ,,,，,,,,,,0,,,,AaAAuI00 ，,， fxudx(,)2,,,A 从而，，分别有 AAAA,,,1020 2 ，,，, 与 ， fxudx(,)2,,fxudx(,)2,,,,AA12于是， A，,，,2 fxudxfxudxfxudx(,)(,)(,),,,,,AAA112 ，,，,,,( ,，,，,fxudxfxudx(,)(,),,,AA1222 “” 有 ,,,，,,,,,,,0,,,,,AaAAAAuI01020 A2， fxudx(,),,,A1 ，,，,令，有，即fxudx(,)在区间一致收敛( IA,，,fxudx(,),,2,,aA1 ,,,,xauI,定理6 若，有 fxuFx(,)(),， (5) ，,，,Fxdx()fxudx(,)且无穷积分收敛，则无穷积分在区间一致收敛( I,,aa ，,Fxdx()证:已知收敛，根据?12.1定理2(无穷积分的柯西收敛准则)，,a 有 即,,，,,,,,0,,,,AaAAAA01020 A2， Fxdx(),,,A1 由不等式(5)，有 ,,,,,,,AaAAAAuI,,,,01020 AAA222， fxudxfxudxFxdx(,)(,)(),,,,,,,AAA111 ，,fxudx(,)由定理5知，无穷积分在区间一致收敛( I,a Fx()定理6中的函数称为优函数，定理6亦称为优函数判别法或M判别法 (魏尔斯特拉斯判别法)( M ，,cosxy例6 证明:dx在R一致收敛( 22,1，xy ，,1cos1xy,,yR证:，有，已知收敛，由判别法知Mdx,2222,1xxyx， ，,cosxydx在R一致收敛( 22,1，xy fxugxu(,),(,)定理7(狄利克雷判别法)若满足下列条件: 3 p(1),,pafxudx,(,)在上一致有界; I,a gxu(,)(),,uI2)是的单调函数，且当时，在上一致收敛于(Ix,，,x 0( 则 ，,fxugxudx(,)(,) ,a 在上一致收敛( I fxugxu(,),(,)定理8(阿贝尔判别法)若满足下列条件: ，,I,[,],,(1)fxudx(,)在上一致收敛; ,a gxu(,)(),,uI(2)是的单调函数，关于一致有界( xu则 ，,fxugxudx(,)(,) ,a 在上一致收敛( I ，,sinxyx,[0,)，,例7 证明:在一致收敛( edx,0x sinx,yx证:设，则 ,,fxygxye(,),(,)x ，,，,sinxy,，,[0,)(1),收敛，从而关于一致收敛; fxydxdx(,),,00x ,yx,,，,y[0,)(2)对，关于单调，且关于一致有界: ygxye(,),x 1,,yxyx， gxyee,,,,(,)1yxe ，,sinxyx,[0,)，,由阿贝尔判别法知:在一致收敛( edx,0x fxu(,)Daxu(,),,，,,,,,定理9 若函数在连续，且无穷积分 ，,,()u[,],,[,],,,()(,)ufxudx,在一致收敛，则函数在连续( ,a 证明:由一致收敛的定义，有 ,,，,,,,,,,,0,,,[,],AaAAu00 ，,( fxudx(,)3,,,A ,,，,uuu[,],[,],,,,,取有 00 4 ，,，,， fxudxfxuudx(,)3,(,)3,，,,, 00,,AA A[,],,根据?12.3定理1，函数pufxudx()(,),在连续，当然在任意一点,a ,,,,，,,0,0,, u有也连续，即对上述同样的 u,[,],,0 AA， puupufxuudxfxudx()()(,)(,)3，,,，,, ,0000,,aa ,,，,,,，,,,,,0(,),0,,AaAAu 有于是， 00 ，,，, ,,()()(,)(,)uuufxuudxfxudx，,,，, 0000,,aa AA，,，, ,，，，,,fxuudxfxuudxfxudxfxudx(,)(,)(,)(,) 0000,,,,aAaA AA，,，, ,，,，，，fxuudxfxudxfxuudxfxudx(,)(,)(,)(,) 0000,,,,aaAA ,,,， ,，，,,333 ,()u[,],,即函数在连续( fxu(,)Daxu(,),,，,,,,,定理10 若函数在连续，且无穷积分 ，,,()u[,],,[,],,,()(,)ufxudx,在一致收敛，则函数在可积，且 ,a ,,，,， ,()(,)udufxududx,,,,,,a,, 即 ,,，,，,， fxudxdufxududx(,)(,),,,,,,,,,aa,, 简称积分号下可积分( ,()u,()u[,],,[,],,证:根据上面定理9，函数在连续，则函数在区间可 积(由一致收敛的定义，有 ,,，,,,,,,,,0,,,[,],AaAAu00 ，,( (6) fxudx(,),,,A 根据本节定理3，有 ,,AA， fxudxdufxududx(,)(,),,,,,,,,,aa,, 从而，，由不等式(6)，有 ,,AA0 ,,,，,，,A ,()(,)(,)(,)udufxudxdufxudxfxudxdu,,，,,,,,,,,,,aaA,,, 5 ,,A，, ,，fxudxdufxudxdu(,)(,),,,,,,,,aA,, A,,，,， ,，fxududxfxudxdu(,)(,),,,,,,,,aA,, 于是，有 ,,,A，, ,()(,)(,)udufxududxfxudxdu,,,,,,,,,,,aA,,, ,,，,， ,,,,fxudxdudu(,)(),,,,,,,A,, 即 ,,,A，,( ,()lim(,)(,)udufxududxfxududx,,,,,,,,,,,aa,,,A,，, ,fxufxu(,),(,)Daxu(,),,，,,,,, 定理11 若函数在区域连续，且无u ，,，,,[,],,,()(,)ufxudx,fxudx(,)穷积分在区间收敛，而无穷积分在区间u,,aa ,()u[,],,[,],,一致收敛，则函数在区间可导，且 ，,,,,()(,)ufxudx,， u,a即 ，,，,d,， (,)(,)fxudxfxudx,,,aaduu,简称积分号下可微分( ,,u[,],,证明:，讨论积分 u，,,( fxtdxdt(,)t,,,,,a 根据上面定理10，有 ，,u，,，,uu,,,fxtdx(,), fxtdxdt(,)fxtdtdx(,),,,tt,,,,,,,,,,,aaa ，,，,,,,,,()()u,,fxudxfxdx(,)(,),( ,,aa 所以， ，,,,,()(,)ufxudx,， u,a即 ，,，,d,(,)(,)( fxudxfxudx,,,aaduu, 同样地，含参变量的瑕积分也有一致收敛及其判别法，它所定义的函数也有 相似的分析性质，这里从略( 6 四、例(?) ,,axbx，,eea,ln,0例8 证明:( dxab,,,,0xb ,,axbxee,x,0证:首先注意不是被积函数的瑕点( x ,,,,,axbxbxaxyx,yxbbbeeeee,,e,yx,,,,,,,,()( dyedyy,,aaaxxxx ，,，,,,yxaxaxyx,,ee,,,yab[,]已知，有，而edx收敛，根据本节定理6，edx在,,00 [,]ab一致收敛，根据上面定理10，交换积分次序，有 ,,axbx，,，,，,bbbeea,1,,yxyxdxedydxedxdydy,,,,ln( ,,,,,,,,,,000aaaxyb ，,sinx例9 求狄利克雷积分( ,Idx,0x ，,sinx解:?12.1例11(P260)证明了无穷积分收敛(条件收敛)( dx,0x sinx因为的原函数不是初等函数，所以不能直接求此积分，为此，在被积x ,yx函数中引入一个“收敛因子”，讨论无穷积分 ey(0), ，,sinxyx,( (7) ,Iyedx(),0x II,(0)显然，(无穷积分(7)的被积函数及其关于y的偏导数 sinsinxx,,,,yxyxyx eeex,()sin,,xyx, Dxy(0,0),,，,,,，,在连续(作连续开拓)(由例7知无穷积分 ，,sinxyx, edx,0x [0,)，,,,,0在一致收敛(下面证明，，无穷积分 ，,，,,sinxyxyx,, ()sinedxexdx,,,,00,yx [,),，,在一致收敛( 7 ，,x,,,yxyxx,,,,,，,y[,),exeesin,,事实上:，有(已知edx收敛，由本,0节定理6知， ，,，,,sinxyxyx,, ()sinedxexdx,,,,00,yx [,),，,一致收敛。 在 ,,，,y[,),由上面定理11，，有 ，,，,,sinxyxyx,,, Iyedxexdx()()sin,,,,,00,yx ,yx，,eyxx(sincos)1，,,, ， 22011，，yy 从而， 1( (8) Iydyyc()arctan,,,,，2,1，y ,,y0，(8)式成立。下面确定常数(有 c ，,，,，,sinsinxxyxyxyx,,,,,,Iyedxedxedx() ,,,000xx ,yx，,e1,,,,,，,0()y， 0yy 即(由(8)式，得 lim()0Iy,y,，, ， lim()limarctanIyyc,,，yy,，,,，, ,,即 于是， 0,,,,，,cc22 ,( (9) Iyy()arctan,,，2 [0,)，,Iy()y,0下面证明在右连续(事实上，已知无穷积分(7)在区间一 Iy()y,0致收敛，根据上面定理9，在右连续(由(9)式，得 ,， lim()limarctanIyy,,，，，xx,,002 8 ，,,sinx,即，即( I(0),,,,IIdx(0),02x2 ，,sinyx( 例10 求无穷积分dx,0x ，,1sinyxy,0y,0解:时，;时，设，由例9，有 yxtdxdt,,,,dx0,0yx ，,，,，,sinsin1sinyxtt,,,,,,， ydxdtdt0,,,,000xtyyt2 ，,,,，,sinsinsinyxtu, ( ,,,,,,ydxdtdu0,,,,000xtu2于是，有 ,2,0y,,，,sinyx,， dxy,,0,0,,0x,,,2,0y,,从而，有 ，,2sinyx( ,sgnydx,0,x ，,pt,laplaceFpedtp()(0),,例11 无穷积分称为拉普拉斯()变换，它,0 Fp()ft()将函数变换成函数(例如，求 ，,ptt,,,Fpetedtp()(),,,,( ,0 ，,，,1()ptx,,，,解:Fptedtptxxedx,，,, ()()2,,00p，(), 11,,,,,,( 1()p22，，()()pp,, 9