1.1.2 弧度制（平行班教学设计）

1.1.2 弧度制（平行班教学） 1.1.1 弧度制 【课题】:弧度制 【设计与执教者】:广州六中，张萍，weng-zhangping@163.com 【学情】:教学对象是高一的学生，在前面已经系统学习了任意角的概念，学生对用角度来示角已经相当熟练，在此基础上引进角的另一种度量方式——弧度制。由于这种度量方式的定义较抽象，是以比值来定义角的大小，不像角度制那样可以看得见，能体会得到，而高一学生的抽象思维水平发展有限，因此应多结合具体实例来说明弧度制的合理性和必要性，从具体实例出发，慢慢抽象概括，最后得角的弧度制定义，这符合学生的认知规律。 【教学三维目标】: 一、知识与技能 1、1弧度的角的定义; 2、弧度制的定义; 3、角度与弧度的换算; 4、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式; 5、角的集合与实数集之间建立的一一对应关系; R 二、过程与方法 1、理解1弧度的角、弧度制的定义; 2、掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算; 3、熟记特殊角的弧度数; 4、理解角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系; 5、掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会运用弧长公式、扇形面积公式解决一类问题; 三、情感态度与价值观 使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的，二者虽单位不同，但是互相联系、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质. 【教学重点】:理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用. 【教学难点】:理解弧度制定义，弧度制的运用. 【课前准备】:计算器、投影机、三角板 【教学过程设计】: 教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引【创设情境】 为探索新知识做准入 有人问:海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答备. 约160英里，请问那一种回答是正确的,(已知1英里=1.6公里) 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢,那是因为 所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是 不同的，但是，他们之间可以换算:1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再 陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制. 二、探究新【探究新知】 知 1(角度制:将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周 等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 弧度制是什么呢,1弧度是什么意思,一周是多少弧度,半周呢, 直角等于多少弧度,弧度制与角度制之间如何换算,请看课本PP,，67鼓励学生自己看 自行解决上述问题. 书，积极用自己的 2.弧度制的定义 语言概括，引导学 [展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作生对弧度制的探索 1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). rad 3.探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的r ,x 正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格. AB y B ,A xO 旋转的方向 的弧度数 的度数 弧的长 OB，AOB，AOBAB ,r逆时针方向 逆时针方向 2,r r 1 2r,2 ,, 0 : 180 : 180 我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如 -π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. 4.思考:如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是,那么,al 的弧度数是多少? l角,的弧度数的绝对值是:，其中，l是圆心角所对的弧长，,, r r是半径. :5.根据探究中填空: 180,,rad :,度 1___rad,1___,rad 显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. :'教师出示例题:例1.按照下列要求,把化成弧度: 6730 (1) 精确值; 例1、例2都是角度(2) 精确到0.001的近似值. 与弧度的换算，在0135,,:'教学时，“度”的单解:(1)因为， 6730,,,2,,位“?，′，″” 不能省略。刚开始,1353:'所以 ,，,rad6730rad,“弧度”的单位18024 “”暂不要省rad(2)略 教师出示例题:例2.将3.14换算成角度(用度数表示,精确到0.001). 略，并且不要用rad ”的中文名“rad:注意:角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算180,,rad称“弧度”作单位 器计算非特殊角的方法. 写在数据的后面。 教师出示练习:填写特殊角的度数与弧度数的对应表: :::::::度 03045120120120120 ,,3, , 弧度 322 角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一R 一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对 应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的 角)与它对应. :教师出示例题:例3.利用计算器比较和的大小. sin1.5sin85 注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别. 解:略. ,教师出示例题:例4. 计算和 sintan1.5 4 2,,,, sin,sin45,解:? ? ,45424 ,,, 1.5rad,57.30，1.5,85.95,8557' ,? tan1.5,tan8557',14.12 教师出示例题:例5. 将下列各角化成0到的角加上的2k,(k,Z)2, 形式 19,? ? ,,315 3 ,19 解: ,,，6, 33 ,,,, ,315,45,360,,2, 4 教师出示例题:例6. 利用弧度制证明下列关于扇形的公式: 由例6看出,采用弧112 (1); (2); (3). ,,lR,,SlR,SR度制时，弧长公式22和扇形面积公式简 R其中是半径,是弧长,,,,(02),,为圆心角,是扇形的面Sl单了.这正是引入 弧度制的原因之积. 一. l解:(1)由公式 立即可得 ,,lR,, r 0R下面证明(2)、(3).由于半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面n 2nRnR,, 积公式分别是:，， Sl,,360180 n, 0将转换为弧度，得 ， ,n, 180 1 2于是 . ,,SR 2 1 将代入上式，即得. lR,,SlR, 2 教师出示例题:例7(求图中公路弯道处弧AB的长熟悉弧长公式 (精确到1m)图中长度单位为:m l , ,解: ? 60, 3 ? , l,,R,，45,3.14，15,47(m), 3 A B 教师出示例题:例8(已知扇形的周长是6cm， AOB 新疆王新敞奎屯该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积 加深弧长公式的使 o 解:设扇形的半径为r，弧长为，则有 用。 l 2r，l,6,r,2,,l , ,,,1l,2,,r, 1 2 ? 扇形的面积 S,rl,2(cm) 2 教师出示例题:例9. 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ? 4, , ? 165 3 440,, 解: ? l,,r,，10,(cm)r,10cm, 33 11,, , (2) 165,，165(rad),rad 18012 1155,, ? l,，10,(cm) 126 教师出示例题:例10. 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中 心角的弧度数( 解:设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l，半径为r， l，2r,10,,21由题意: ,r,5r，6,0 ,l,r,6,2, r,2r,3,,l4? 或 ? =3 或 ,, ,,l,6l,43r,, 教师出示例题:例11.一扇形周长为20cm，问扇形的半径和圆心角各取什 么值时，才能使扇形面积最大, 分析:最值问题途径有二:一是利用几何意义，从图中直接找到(本例不 好找);二是利用函数求解，即设出未知量，建立函数关系式，然后用函 数的方法解决。 解:设扇形中心角为，半径为，则 r熟悉面积公式 , 202,r ， ,220rr，,,, r 11202,r 222 ,Srrrrrr,,,,,,,,1010，，扇形 22r 10当时，，此时 . S,25,,2r,,,5 扇形最大21，,，， 小结:研究实际应用问题的最值问题，往往是将其转化为二次函数的最值 问题，这是经常运用的数学思想方法。 教师出示例题:例12.一条弦的长度等于半径r，求(1)这条弦所对的 劣弧长;(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积。 ,加深面积公式的使分析:由已知可知圆心角的大小为，用。 3 然后用公式求解 解:(1)如图1-2-6所示，半径为r的 中弦ABr,，则为等边三角O,ABC , 形，所以AOB，则弦所对的AB，, 3 , 劣弧长为。 3 132 (2) SOAOBAOBr,,,,，,sin,AOB24 11,, 222 Srrr,,，，,,扇形AOB 2236 ,,,,33222 SSSrrr？,,,,,,,,,AOB弓形扇形AOB,,6464,, 小结:图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例把弓形看成是扇形与三角形的差组成的，即可运用已知知识解决所要求解的问题。 三、练习巩1( 把下列角度化成弧度: 巩固知识，培养技 固 能. 0'00(1);(2);(3). 2230,2101200 2. 把下列弧度化成度: ,4,3,(1);(2);(3). ,12103 3.利用计算机比较下列各对值的大小(精确到0.001): 00(1)和; (2)和; cos0.75cos0.75tan1.2tan1.2 04(分别利用角度制\弧度制下的弧长公式,计算半径为1的圆中,的m60圆心角所对的弧的长度(可用计数器). 5.已知半径为120的圆上,有一条弧长144,求该弧所对的圆心角mmmm 的弧度数. ,7,20,答案: 1((1);(2);(3). ,836 000 2. (1);(2);(3). 15,24054 003.(1)>; (2)<; cos0.75cos0.75tan1.2tan1.2 ,4(. m3 5.. 1.2 四、拓展与1(已知集合,,,α,2,π?α?π，2,π，,?,,，B,,α,,4加深弧度制概念的提高 ?α?4,，求A?B. 理解.进一步巩固 知识，培养技能. 12(圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来 2 的 倍. 答案: 1. A?B,,α,,4?α?,π或0?α?π, 2. 2 五、小结 1(你知道角弧度制是怎样规定的吗? 反思归纳，培养学 2(弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗? 生反思数学思想方 3(弧长公式的灵活应用。 法的习惯。 六、作业 巩固新知。 课本P11 7,8,9,10