二 我国古代数学家关于π的研究

二 我国古代数学家关于π的研究 π和e 二 我国古代数学家关于π的研究 上面我们已经证明了π是一个常数，而且也说明用几何方法怎样来确定它的近似值. 事实上，在这方面，我国古代数学家早已作出了巨大的贡献. 在东汉初年的数学书《周髀算经》里已经载有“周三径一”，称之为“古率”. 就是说，直径是1的圆，它的周长等于3. 估计这个知识在很早的年代就有了. 后来，经过长期的实验，人们发现这个比率太小，到西汉末年，刘歆(约公元前50年到公元23年)定圆周率为3.1547，他首先开创了不沿古率的例. 到东汉时代，张衡(公元 92,3.172411078—139年)求得两个比，一是„„，另一个是，约等于3.1622. 29 一直到三国时，魏人刘徽(公元263年)创立了求圆周率准确值的原理. 首先，他在注释《九章算术》一书时，看到古率“周三径一”很不同意. 他证明了圆的内接正六边形的周长是直径的三倍，说明所谓周三径一，实际上是圆的内接正六边形的周率，而不是圆周率. 他创立了割圆术——用圆的内接正多边形的面积接近于圆的面积. 用现代的表达方式来叙述，他的方法有下面的五个要点: n3，2(1)圆的内接正边形，当n增加时，它的面积越大而它的面积与圆的面积的差越小. 当n无限制地增加时，正多边形的面积与圆的面积几乎相等. (2)设A是圆的面积，S是圆的内接正n边形的面积，那末 n S,A,S，(S,S). (19) 2n2n2nn (3)设圆的半径是R，圆内接正n边形的一边的长度是a，周长是P，那末 nn Ra1nS,n，,PR. (12) 2nn22 (4)圆的内接正六边形的一边的长度等于半径的长度. (5)设圆煌半径是R，圆内接正n边形的一边的长度是a，他利用勾股定理证明了 n 222a,2R,R4R,a. (20) nn2 现在我们来对这五点作一些说明. 其中第一点表明刘徽已具有了极限概念. 第二点是一个重要的发现. 因为利用了它，在估计圆的面积时，就不要用圆外切正多边形的面积，而只要计算出圆的内接正多边形的面积就可以了. 这样，计算就简便得多. 因为计算圆外切正多边形的面积比内接正多边形的面积难. 此外，我们要注意到， limS,limS,A， n2n,,,,nn 所以当n无限增大时，(19)式的两边都是以A为极限. 因而这个估计式(19)，可以用来算出A的颇为准确的近似值. 现在我们来证明它. 设O是圆心，A、B是圆内接正n边形相邻的两个顶点，C是弧AB的中点，那末A、C 是内接正2n边形相邻的顶点. 弦AB与半径OC直交于D. 作矩形AECD如图8. 我们知 道 扇形AOC的面积,?AOC的面积，?AEC的面积， (21) 而 ?AEC的面积 =?ADC的面积 =?AOC的面积 ,?AOD的面积. (22) 把(21)和(22)两式结合起来，我们得到 扇形AOC的面积,?AOC的面积 1,，(?AOC的面积?AOB的面积). (23) 2 把(23)式的两边乘以2n，得到 A,S，(S,S). 2n2nn S,A很明显. 因此(19)式成立. 2n 第三、四两点，在前面已经讲到过. 下面来证明第五点. 证法1 (刘徽原来的证法) 根据勾股定理(图8)，得到 2a,,222n,,,,. ODOAADR,,2,,另一方面 2a,,2n,,,,,. DCOCODRR,,2,,所以，再由勾股定理得到 22a,AC,AD，DC2n 222 ，，aa,,,,2nn,,••••••••RR••.,，,,,,,,22,,,,,,，，把上式右边根号内的项加以整理，就得到(20)式. 我们也可以用三角法导出(20)式. ，AOD为q证法2 设，那末 an,AD,Rsinq， 2 类似地 aACq2nsin,,R. 222 因此 qq1,cosaRR,2sin,22n22 222 ••••RRq,2,21,sin 2a,,22n••••221••.,R,R,,,2R,, 整理后就得到(20)式. 刘徽设圆半径是1(尺)，利用第三、四、五三点，从圆的内接正六边形着手，逐步推求圆内接正12边形，正24边形，„„一直到正96边形每边的长，从而求得圆内接正192边形的面积. 虽然刘徽所创的割圆术可以求到更多边数的圆内接正多边形的面积，但是从现有的历史资料看来，刘徽只求到圆内接正192边形的面积，这也许因为，他所获得的结果 157,,对实际应用来说已是足够精确的缘故吧. π,3.14或化为,,50,, 根据第四点，当R=1时， a,1 6 把这个值代入(20)式，并且使R=1，得到 ,2,4,1,2,3a12 1••••,(6,2),0.517638？？ 2 由此得到圆内接正24边形面积[在(12)式里取n=12，R=1] a12S,12，,3.105828？？ 242 一般说来，依次应用(20)(其中使R=1)式，得到 a,2,2，324 a,2,2，2，348 a,2,2，2，2，396 ？？？？？？？？？？？？？？ a,2,2，2，2，？？，2，2，3k6，2,,,,,,,,,,,,,,,,, (k,1)个根号 ？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？再应用(12)式，得到 1k,kS,6，2，a，2. k，1662， 我们把刘徽算出的一些结果列表于下: 圆内接正多边每边的长 周 长 面 积 S2n 形的边数 a P S +(S-S) nn2n2nn 6 1 6 12 0.517638 6.211656 3 24 0.261052 6.265248 3.105828 3.211656 48 0.130806 6.278688 3.132624 3.159420 96 0.065438 6.282048 3.139344 3.146064 192 3.141024 3.142704 上表里所列出的小数部分只是近似值，就是在a的值里只取前6位小数而舍去其余数值. 而n 且P、S的值都是根据a的近似值计算得到的，根据(19)式，得到 n2nn . (26) 3.141024,π,3.142704 我们注意，在计算a时已经舍去了第6位小数后的小数，因此，(26)里右边最后两位小数n 是不可靠的. 但是不管怎样，由(26)式可以得到π的两位准确小数，也就是: π=3.14„„ 刘徽了3.14作为圆周率，并且指出这个比还较真值略微小些. 后世称3.14为徽率，来表彰他的贡献. 在刘徽以后重新推算圆周率而作出了卓越贡献的是南朝祖冲之(公元429—500年). 他推算出 3.1415926,π,3.1415927. (27) 也就是π=3.1415926„„. 祖冲之是世界上第一个确定圆周率准确到7位小数的人. 他的方法原来载在他的数学著作“缀术”里. 估计这本书是内容丰富的杰出著作，大概是公元460年左右完成的. 可惜这本书已于公元1023年到1031年间失传，这是我国古代数学上一个重大的损失. 因而我们已经很难推究祖冲之定圆周率的原来方法. 近代、现代的中国数学史工作者一般认为祖冲之仍是利用刘徽的“割圆术”继续做下去 11的. 根据(24)和(25)两式可以算出圆内接12288(就是6×2)边形的面积 S,3.14159251？？ (28) 12288 12而圆内接正24576(就是6×2)边形的面积 S,3.14159261？？ (29) 24576 再利用(19)式(取n=12288)就得到(27)式. 而我们注意，要算出(28)、(29)式这两个结果是一件不太容易的事，因为运算很复杂，要进行相当多次的开方运算. 所以祖冲之在那时得到(27)式这个结果是一项杰出的工作. 后面我们将利用不完全是初等的方法，然而较为简单的数值计算，求出π的前8位小数(见第35页) 祖冲之又用了两个近似于π的分数值，一个是 ,,22,142857. 7 上式右边是循环小数，以142857为循环节，这个数比π大0.0012„„，称为“约率”. 另一个是 355,3.1415929„„， 113 这个数就相当接近于π了，比π只大0.0000002„„. 我们可以看到，用这样接近于π的一个简单的分数来表示π，确是祖冲之的空前杰作. 这个数称为密率. 由于“缀术”一书失传，我们也就无从探知他怎么会发现这个密率的. 在祖冲之发现密率后一千多年欧洲人安托尼兹(A(Anthonisz，16—17世纪人)才重新发现这个值，这说明了古代我国数学家的卓越成就. 此外，在清初康熙年代(18世纪初叶)所编的“数理精蕴”一书中已算出π的值到小数19位.