如何解决初中数学难点之应用题

如何解决初中数学难点之应用 如何解决初中数学难点之应用题, 应用题联系实际，生动地反映了现实世界的数量关系，能否从具体问题中归纳出数量关系，反映了一个人问题、解决问题的实际能力. 列方程解应用题，一般应有审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等几个步骤.下面从几个不同的侧面选讲一部分竞赛题，从中体现解应用题的技能和技巧. 一.合理选择未知元 例1 (1983年青岛市初中数学竞赛题)某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时9千米的速度走平路到B地，共用55分钟.回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用1.5小时，求A、B两地相距多少千米, 例2 (1972年美国中学数学竞赛题)若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润(按进货价而定)可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少, 解 本题若用直接元x列方程十分不易，可引入辅助元进货价M，则0.92M是打折扣的价格，x是利润，以百分比表示，那么写出售货价(固定不变)的等式，可得: M(1+0.01x)=0.92M[1+0.01(x+10)]. 约去M，得1+0.01x=0.92[1+01.1(x+10)]. 解之，得 x=15. 例3 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合, 例4(1985年江苏东台初中数学竞赛题)从两个重为m千克和n千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克, 解 采用直接元并辅以间接元，设切下的重量为x千克，并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1，n千克的铜合金中含铜百分数为q2，则切下的两块中分别含铜xq1千克和xq2千克，混合熔炼后所得的两块合金中分别含铜[xq1+(n-x)q2]千克和[xq2+(m-x)q1]千克，依题意，有: 二.多元方程和多元方程组 例5 (1986年扬州市初一数学竞赛题)A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64粒，问原来三人各有豆多少粒, 解 设A、B、C三人原来各有x、y、z粒豆，可列出下表: 解得:x=104，y=56，z=32. 答:原来A有豆104粒，B有56粒，C有32粒. 例6(1985年宁波市初中数学竞赛题)某工厂有九个车间，每个车间原有一样多的成品，每个车间每天能生产一样多的成品，而每个检验员检验的速度也一样快，A组8个检验员在两天之间将两个车间的所有成品(所有成品指原有的和后来生产的成品)检验完毕后，再去 检验另两个车间的所有成品，又用了三天检验完毕，在此五天内，B组的检验员也检验完毕余下的五个车间的所有成品，问B组有几个检验员, 解 设每个车间原有成品x个，每天每个车间能生产y个成品;则一个车间生产两天的所有成品为(x+2y)个，一个车间生产5天的所有成品为(x+5y)个，由于A组的8个检验员每天的检验速度相等，可得 答:B组有12个检验员. 三.关于不等式及不定方程的整数解 例7(1985年武汉市初一数学竞赛题)把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分3颗，就剩下8颗;如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子得不到5颗，求猴子的只数和花生的颗数. 解:设有x只猴子和y颗花生，则: y-3x=8, ? 5x-y,5， ? 由?得:y=8+3x, ? ?代入?得5x-(8+3x),5, ? x,6.5 因为y与x都是正整数，所以x可能为6，5，4，3，2，1，相应地求出y的值为26，23，20，17，14，11. 经检验知，只有x=5，y=23和x=6，y=26这两组解符合题意. 答:有五只猴子，23颗花生，或者有六只猴子，26颗花生. 例8(1986年上海初中数学竞赛题)在一次射箭比赛中，已知小王与小张三次中靶环数的积都是36，且总环数相等，还已知小王的最高环数比小张的最高环数多(中箭的环数是不超过10的自然数)，则小王的三次射箭的环数从小到大排列是多少, 解 设小王和小张三次中靶的环数分别是x、y、z和a、b、c,不妨设x?y?z，a?b?c，由题意，有: 因为环数为不超过10的自然数，首先有z?10，否则与?式矛盾. 若设z=9,则由?知:xy=4, ?x=2,y=2,或x=1,y=4, ?x+y+z=13或x+y+z=14. 又由?及c,z知，c|36，?c=6，这时，ab=6. ?a=2，b=3，或a=1，b=6 ?a+b+c=11或a+b+c=13 又由?知:x+y+z=a+b+c=13 ?取x=2，y=2，z=9. 答:小王的环数分别为2环，2环，9环. 例9(1980年苏联全俄第6届中学生物理数学竞赛题)一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初，每辆汽车乘了22人，结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上，已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车,有多少名旅客, 解 设起初有汽车k辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘的旅客为n名，显然，k?2，n?32，由题意，知:22k+1=n(k-1)， ?k-1=1，或k-1=23, 即k=2，或k=24. 当k=2时，n=45不合题意， 当k=24时,n=23合题意， 这时旅客人数为n(k-1)=529. 答:起初有24辆汽车，有529名旅客 四.应用题中的推理问题 竞赛中常见的应用题不一定是以求解的面目出现，而是一种逻辑推理型.解答这类题目不仅需要具备较强的分析综合能力，还要善于用准确简练的语言来表述自己正确的逻辑思维. 例10(1986年加拿大数学竞赛题)有一种体育竞赛共含M个项目，有运动员A、B、C参加，在每个项目中，第一、二、三名分别得p1、p2、p3分，其中p1、p2、p3为正整数且p1,p2,p3，最后A得22分，B与C均得9分，B在百米赛中取得第一，求M的值，并问在跳高中谁取得第二名, 分析 考虑三个得的总分，有方程: M(p1+p2+p3)=22+9+9=40, ? 又 p1+p2+p3?1+2+3=6， ? ?6M?M(p1+p2+p3)=40，从而M?6. 由题设知至少有百米和跳高两个项目，从而M?2， 又M|40，所以M可取2、4、5. 考虑M=2，则只有跳高和百米，而B百米第一，但总分仅9分，故必有:9?p1+p3,??8，这样A不可能得22分. 若M=4，由B可知:9?p1+3p3，又p3?1，所以p1?6,若p1?5，那么四项最多得20分，A就不可能得22分，故p1=6. ?4(p1+p2+p3)=40,?p2+p3=4. 故有:p2=3,p3=1,A最多得三个第一，一个第二，一共得分3×6+3=21,22，矛盾. 若M=5，这时由5(p1+p2+p3)=40，得: p1+p2+p3=8.若p3?2，则: p1+p2+p3?4+3+2=9，矛盾，故p3=1. 又p1必须大于或等于5,否则,A五次最高只能得20分,与题设矛盾,所以p1?5. 若p1?6，则p2+p3?2，这也与题设矛盾，?p1=5，p2+p3=3，即p2=2，p3=1. A=22=4×5+2. 故A得了四个第一，一个第二; B=9=5+4×1， 故B得了一个第一，四个第三; C=9=4×2+1， 故C得了四个第二，一个第三. 1.选择题 (1)打开A、B、C每一个阀门，水就以各自不变的速度注入水槽.当所有三个阀门都打开时，注满水槽需1小时;只打开A、C两个阀门，需要1.5小时;如果只打开B、C 两个阀门，需要2小时，若只打开A、B两个阀门时，注满水槽所需的小时数是( ). (A)1.1 (B)1.1, (C)1.2 (D)1.25 (E)1.75 (2)两个孩子在圆形跑道上从同一点A出发，按相反方向运动，他们的速度是每秒5英尺和每秒9英尺，如果他们同时出发并当他们在A点第一次再相遇的时候结束，那么 他们从出发到结束之间相遇的次数是( ). (A)13 (B)25 (C)44 (D)无穷多 (E)这些都不是 (3)某超级市场有128箱苹果，每箱至少120只，至多144只，装苹果只数相同的箱子称为一组，问其中最大一组的箱子的个数n，最小是( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)24 (E)25 (4)两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是p:1，而在另一个瓶子中是q:1，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是( ). (5)汽车A和B行驶同样的距离，汽车A以每小时u千米行驶距离的一半并以每小时υ千 米行驶另一半，汽车B以每小时u千米行驶所行时间的一半并以每小时υ千米行驶另一半，汽车A的平均速度是每小时x千米，汽车B的平均速度是每小时y千米，那么我们总有( ) (A)x?y (B)x?y (C)x,y (D)x,y (E)x,y 2.填空题 (1)已知闹钟每小时慢4分钟，且在3点半时对准，现在正确时间是12点，则过正确时间______分钟，闹钟才指到12点上. (2)若b个人c天砌f块砖，则c个人用相同的速度砌b块砖需要的天数是____. (3)某人上下班可乘火车或汽车，若他早晨上班乘火车则下午回家乘汽车;又假若他下午回家乘火车则早晨上班乘汽车，在x天中这个人乘火车9次，早晨乘汽车8次，下午乘汽车15次，则x=_______. (4)一个年龄在13至19岁之间的孩子把他自己的年龄写在他父亲年龄的后面，从这个新的四位数中减去他们年龄差的绝对值得到4289，他们年龄的和为______. (5)一个城镇的人口增加了1200人，然后这新的人口又减少了11%，现在镇上的人数比增加1200人以前还少32人，则原有人口为_____人. 3.(1982-1983年福建省初中数学竞赛题)一个四位数是奇数，它的首位数字小于其余各位数字，而第二位数字大于其余各位数字，第三位数字等于首末两位数字之和的二倍，求此四位数. 4.(第2届《祖冲之杯》)甲乙两人合养了几头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，两人分钱方法如下:先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该分给乙多少钱, 5.(1986年湖北省荆州地区初中数学竞赛题)完成同一工作，A独做所需时间为B与C共同工作所需时间的m倍，B独做所需时间为A与C共同工作所需时间的n倍，C独做所需时间为A与B共同工作所需时间的x倍，用m，n表示出x来. 6.(1988年江苏省初中数学竞赛题)今有一个三位数，其各位数字不尽相同，如将此三位数的各位数字重新排列，必可得一个最大数和一个最小数(例如，427，经重新排列得最大数742，最小数247)，如果所得最大数与最小数之差就是原来的那个三位数，试求这个三位数. 7.(1978年四川省数学竞赛题)某煤矿某一年产煤总量中，除每年以一定数量的煤作为民用、出口等非工业用途外，其余留作工业用煤，按照该年度某一工业城市的工业用煤总量为标准计算，可供这样的三个工业城市用六年，四个这样的城市用五年(当然每年都要除去非工业用煤的那一个定量)，问如果只供一个城市的工业用煤，可以用多少年, 练习题 ,(,(,(,(,( ,(设该煤矿该年度产煤总量为,，每年非工业用煤量为,，该工业城市该年工业用煤量为 ,，并设只供这样一个城市工业用煤可用,年，由题意得方程组: