[教学]矩形、正方形和菱形的剖断方法

[教学]矩形、正方形和菱形的剖断方法 一、考点分析: 矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重 要的考点。 二、教学目标: 1( 掌握矩形、正方形和菱形的判定方法 三、教学内容 正方形巩固 例1 如图,正方形ABCD的边长为12,点E是BC上的一点,BE=5,点F是BD上一动点.(1)AF与FC相等吗?试说明理由.(2)设折线EFC的长为y，试求y的最小值,并说明点F此时的位置. 【解】(1)AF与FC相等,其理由如下: 可证:?ABF??CBF，?AF=CF D (2)连接AE,则AE与BD的交点就是此时F点的位置 A F 22此时有最小值,最小值为12513，,. y B C E 第28题图 例题2 如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上一动点，PE?AB，PF?BC，垂足分别为E、F小红同学发现:PD?EF，且PD=EF，且矩形PEBF的周长不变(不知小红的发现是否正确，请说说你的看法( 【解】小红的发现是正确，其理由如下: A D 连接BP,延长DP交EF于Q. (1)?四边形ABCD是正方形 ?CB=CD,?BCP=?DCP=45? P E ??BCP??DCP，?PD=PB Q 又?PE?AB，PF?BC， B C F ??BEP=?BFP=?EBF=90?，?四边形BEPF是矩形 ?PB=EF,?PD=EF (2)?PE?AB，PF?BC，??AEP和?CFP均为等腰直角三角形 ?AE=PE,CF=PF ?矩形PEBF的周长=AB+BC=2AB(为定值) (3)?PF?CD，??FPQ=?PDC ??BCP??DCP，??PDC=?PBF ?四边形PEBF是矩形,??PBF=?PEF ??PEF=?FPQ 又??PEF+?PFE=90?，??FPQ+?PFE=90? ??PQF=90?，?PD?EF. 【另证】延长EP交CD于点R,则CFPR为正方形 ?可证?PEF??RDF ??PEF=?PDR 又??DPR=?EPQ 而?PDR+?DPR=90?，??PEF+?EPQ=90? ??EQP=90?，?PD?EF. ABCDBCDCEF课堂练习1 如图1，在边长为5的正方形中，点、分别是、 AEEF,BE,2边上的点，且， CPP于点AEEP与EF(1)如图2，延长交正方形外角平分线，试判断的大小关系，并说明理由; MABDMEP(2)在图2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形,若存在，请给予证明;若不存在，请说明理由( A D A D P F F B E C B C E 图1 图2 梯形 回顾梯形性质及判断定理 梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形( (1)一些基本概念(如图):底、腰、高( 底:平行的一组对边叫做梯形的底.(较短的底叫做上底，较长的底叫做下 底) 腰:不平行的一组对边叫做梯形的腰. 高:两底间的距离叫做梯形的高. 直角梯形:一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形. 等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形. (2)等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形( (3)直角梯形:有一个角是直角的梯形叫做直角梯形( 结论: ?等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴( ?等腰梯形同一底上的两个角相等( ?等腰梯形的两条对角线相等( 解决梯形问题常用的方法: (1)“平移腰”:把梯形分成一个平行四边形和一个三角形; (2)“作高”:使两腰在两个直角三角形中 (3)“平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中 (4)“延腰”:构造具有公共角的两个等腰三角形 (5)“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形(图5)( 图1 图2 图3 图4 图5 综上所述:解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决( 例1(如图，梯形ABCD中，AD?BC，?B=70?，?C=40?，AD=6cm，BC=15cm(求CD的长( 分析:设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题(其方法是:平移一腰，过点A作AE?DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到?ABE是等腰三角形(EA=EB)，因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm( 解(略)( 例2 (补充) 已知:如图，在梯形ABCD中，AD?BC，?D,90?，?CAB,?ABC， BE?AC于E(求证:BE,CD( 分析:要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是:平移一腰，过点D作DF?AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则 DF=AB，由已知可导出?DFC=?BAE，因此Rt?ABE?Rt?FDC(AAS)，故可得出BE=CD(证明(略) 另证:如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明?ABE??FDC即可( 例3:如图4.9-4，梯形ABCD中，AD?BC，?B=70?，?C=40?，AD=6cm， BC=15cm,求CD的长. 练习1 已知等腰梯形的锐角等于60?它的两底分别为15cm和49cm，求它的 腰长. 练习2 已知:如图4.9-5，梯形ABCD中，AD?BC，E是AB的中点，DE? CE，求证:AD+BC=DC. 练习3: 1、填空 (1)在梯形ABCD中，已知AD?BC，?B=50?，?C=80?，AD=a，BC=b，,则DC= . (2)直角梯形的高为6cm，有一个角是30?，则这个梯形的两腰分别是 和 . (3)等腰梯形 ABCD中，AB?DC，A C平分?DAB，?DAB=60?，若梯形周长为8cm，则AD= . 432、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分?DAB，AB,，(1)求梯形的各角.(2)求梯形的面积. 3、(1)在梯形ABCD中，已知AD?BC，?B=50?，?C=80?，AD=a，BC=b，,则DC= ( (2)直角梯形的高为6cm，有一个角是30?，则这个梯形的两腰分别是 和 ( (3)等腰梯形 ABCD中，AB?DC，A C平分?DAB，?DAB=60?，若梯形周长为8cm，则AD= ( 4(已知:如图，在等腰梯形ABCD中，AB?CD，AB,CD，AD=BC，BD平分?ABC，?A=60?，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长( (AD=DC=BC=4，AB=8) 课堂小结 1、梯形的定义及分类 2、等腰梯形的性质: (1)具有一般梯形的性质:AD?BC. (2)两腰相等:AB=CD. (3)两底角相等:?B=?C，?A=?D. (4)是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线. (5)两条对角线相等:AC=BD. 两条对角线的交点在对称轴上. 两腰延长线的交点在对称轴上. 等腰梯形的判断 例2(补充) 证明:对角线相等的梯形是等腰梯形( 已知:如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD(求证:梯形ABCD是等腰梯形( 分析:证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角 形(在ΔABC和ΔDCB中，已有两边对应相等，要能证?1=?2，就可通过 证ΔABC ?ΔDCB得到AB=DC( 证明:过点D作DE?AC，交BC的延长线于点E， 又 AD?BC，? 四边形ACED为平行四边形， ? DE=AC ( ? AC=BD ， ? DE=BD ? ?1=?E ? ?2=?E ， ? ?1=?2 又 AC=DB，BC=CE， ? ΔABC?ΔDCB( ? AB=CD( ? 梯形ABCD是等腰梯形( 说明:如果AC、BD交于点O，那么由?1=?2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰 梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽 不能直接引用，但可以为以后解题提供思路( 问:能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE?BC，DF?BC， 可证 RtΔABC?RtΔCAE，得?1=?2( 例3(补充) 已知:如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF?BE交BD于G，F是垂足(求证:四边形ABGE是等腰梯形( 分析:先证明OE,OG，从而说明?OEG,45?，得出EG?AB，由AE，BG延长交于O，显然EG?AB(得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形( 例4 (补充)画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积( 分析:梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形( 如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE，然后完成 AECD的画图( 画法:?画ΔABE，使BE=12—4=8cm( . ?延长BE到C使EC=4cm. ?分别过A、C作AD?BC ，CD?AE，AD、CD交于点D( 四边形ABCD就是所求的等腰梯形( 解:梯形ABCD周长,4，12，5×2,26cm ( 12S,，(4，12)，3,24cm(梯形ABCD2 2cm 答:梯形周长为26cm，面积为24( 例5:.如图4.9-4，已知等腰梯形ABCD的腰长为5cm，上、下底长分别是6cm和12cm，求梯形的面积. (方法一，过点C作CE?AD，再作等腰三角形BCE的高CF，可知CF=4cm.然后用梯形面积公式求解;方法二，过点C和D分别作高CF、DG，可知，从而在Rt?AGD中求出高DG=4cm. ) 课后练习 1、填空 (1)在梯形ABCD中，已知AD?BC，?B=50?，?C=80?，AD=a，BC=b，,则DC= . (2)直角梯形的高为6cm，有一个角是30?，则这个梯形的两腰分别是 和 . (3)等腰梯形 ABCD中，AB?DC，A C平分?DAB，?DAB=60?，若梯形周长为8cm，则AD= . 432、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分?DAB，AB,，(1)求梯形的各角.(2)求梯形的面积. 3、(1)在梯形ABCD中，已知AD?BC，?B=50?，?C=80?，AD=a，BC=b，,则DC= ( (2)直角梯形的高为6cm，有一个角是30?，则这个梯形的两腰分别是 和 ( (3)等腰梯形 ABCD中，AB?DC，A C平分?DAB，?DAB=60?，若梯形周长为8cm，则AD= ( 4(已知:如图，在等腰梯形ABCD中，AB?CD，AB,CD，AD=BC，BD平分?ABC，?A=60?，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长( (AD=DC=BC=4，AB=8)