数字人体数学模型

数字人体数学模型 毕思文 ()中国科学院遥感应用研究所遥感信息科学重点实验室 ,北京 100101 [ 摘 要 ] 本文围绕数字人体的研究内容 ,主要从 9 个方面来构建数字人体的数学模型 。主要内容有数字人体的数论 、非线性微分方程 、人体动力系统的稳定性 ,数字人体并行算法的设计与分析 、自适应 、随机系统 、计算几何 、数值逼近和 排队论等 ,为深入研究数字人体提供了数学理论依据 。 [ 关键词 ] 数字人体 ;数学模型 ;构建 () 文章编号 ] 100323289 2003S20046206 [ [ 中图分类号 ] TP391. 9 [ 文献标识码 ] A Mathematics Models of Digital Human Body B I Si2wen ( Key L aboratory of Remote Sensing Inf ormation Sciences , Institute of Remote )Sensing Application , Chinese Academy of Sciences , Beijing 100101 , China Abstract Mathematics models of digital human body were constructed from nine aspects surrounding the research contents of digital hu2 man body in this paper. The nine aspects are numeral theory analysis of digital human body , nonlinear differential equation , stability of dy2 namical system of human body , design and analysis of distributed algorithm , auto2adaption , randomicity system , algorithmic geometry , nu2 merical approximation and queuing theory , providing mathematical theoretical evidence for studying of digital human body. Key words Digital human body ;Mathematics models ; Constructing 数字人体的数学模型主要由数学和计算机来实现。计算( ) ( ) e是 E 的一组基而 x = xe, 则二次型 f x= x?x 由果 i ii ?机是数学与工程技术结合的产物 ,而在其发展的每个历史关 公式头 ,数学都起了关键的作用。科学计算已经同理论与实验共 2 ( )a x x , a = e ?ef x = a x x =+ 2 a同构成当代科学研究的三大支柱。围绕着数字人体 ———人体 ij i j i ij i j ij i j ? ??i , j i , j i < j 系统数字学研究的内容 ,笔者主要从 9 个方面来概述数字人 1 () 1. 1给体的数学模型。 出。因此 , 该式中非对角项的系数是偶数。f 的判别式[ 即 1 数字人体的数论分析t ( ) ( ) ( ) det a]等于 ?1 。改变基 e意味着矩阵 A = a代之以iji ij 1. 1 判别式为 ?1 的整二次型 在某些预备知识、二次互反 ( ) BAB , 其中 B ?GL n , Z。从型 f 的观点 , 这意味着将变量 律、P2adic 域和 Hilbert 符号研究的基础上 ,将计算应用学科、 ( ) x作矩阵 B 的线性代换。如此得到的型称为与型 f 等价 i [1 ] ( ) 计算方法和科学可视化的结果用于判别式 ?1 的整二次型。 这是在整数环 Z 上的等价。 这种二次型出现在模函数、微分拓扑和有限群等各种问中。 1 . 1. 2 结果陈述 1. 1 . 1 预备知识:设 n ?0 且为整数 , 我们对下面的范( ) ( ) 定义 ( ) 群 KS 是以I 和I 为基的自由 Abel 群。 定理 1+ - 畴 S 感兴趣。( ) τ( ) σn 定理 2 对于每个 E ?S , 我们有E= E。 n( ) S 的对象 E 是秩 n 的自由交换群即同构于 Z, 其上有 定理 3 如果 E ?S 是不定的 , 则 E 表示零。 n 如果 E ?S 是不定的并且是第 I 类的 , 则 E 同构定理 4 ( ) 双线性型 E ×E ?Z , 表示成 x , y| ?x ?y , 使得 ?由型 x ?y 于 sI ? tI , 其中 s , t 为 ?1 的整数。 ( ) + - 定义的 E 到 Hom E , Z中的同态是同构。易知这条件等价于 s t ( ) 下面的条件; ?如果e是 E 的一组基 , 而 a= e?e, 则矩阵 i ij i j 22 - 于是对应的二次型在 Z 上等价于型 xy i j ??i = 1 j = 1 ( ) A = a的行列式等于 ?1 。 ij 系设 E 和 E为′ S 中两个元素 , 有同样的秩和符号差。则 两个对象 E , E?′S 的同构用显然的方式加以定义 , 这n ? 或者 E ? I ? E?′ I , 或者 E ? I ? E?′ I 。+ + - - E ? E。′为方便起见 , 引入 S = ?S 。 时记成 n n = 0 τ( ) 定理 5 如果 E ?S 是第 II 类的不定型 ,E?0 , 则 E 如果 E ?S , 函数 x | ?x?x 使 E 成为 Z 上的二次模。如n Γ( ) τ同构于 pU ? q, 其中 p , q 均为正整数。如果E?0 , 将此 8 定理用于模2E 得到一相应的结果 , 这里2E 是从 E 将其二次 型变号得到的模。 ( ) [ 作者简介 ] 毕思文 1956 - , 男 , 北京大学和清华大学双博士后 , 研究 1 1 τ( ) τ( ) ( ) 注意 : q = E, p = [ r E- E] 。这表明不计 员 ,北京医药信息学会“数字人体 ———人体系统数字学”专业委员会主任 8 2 委员。研究方向 :数字人体 ———人体系统数字学。 同构 E 可由它的秩和符号差完全确定。因为这对第 I 类是E2mail : bisw @irsa . ac . cn [ 1 ] ( ) 同样正确的定理 4。 定理 6 如果是 E , E?′S 不定的 , 并且有同样的秩、符 2 数字人体的非线性微分方程 号差和奇偶类 , 则它们同构。2. 1 具单自由度的自治系统 υ( ) 1. 2 模形式x? = x , x , 如果令 x = y , 这方程能化成方程组 :?? υ( )1. 2 . 1 模群x = y , y = x , y ?? ( ) 令 H 表示 C 的上半平面 , 即集合{ z ?C| Imz> 0} 。υ根据 的类型 , 有时不用 x = y , 而用其他的变换方程式 ? a b 化为含有两个方程的一阶方程组 , 倒便为有利。 ( ) 令 SLR为群 : | a , b , c , d ?R , ab - bd = 12 c d 张驰振荡的 van der Pol 方程和 Liénard 方程 : ( ) 我们用下述方式将 SLR作用在 C = C ?{ ?} 之上 : `2 van der Pol 方程 :是在一个电学问题中导出的方程 2 a b az + b()λ( ) 2. 1 x? + x - 1x + x = 0? ( ) 如果 g =?SLR, z ?`C , 我们令 : gz = 2 cz + d c d λ 其中 ,为一常数 , 而 x 与电流强度成正比。 容易验证有公式 : Linéard 方程 : ( )Imz 2 ( ) ()Imgz= 1. 2 ωω ( ) 2 ()x? + f xx? + x = 02. 2 | cz + d| ω ( ) 其中 , f x 对所有有限的 x 都连续 , 为大于零的常( ) ( ) H 在 SLR的作用下仍旧是 H 。注意 SLR中 这表明 2 2 [ 1 ] 数。- 1 0 元素 - 1 =在 H 上的作用平凡。因此我们可以考虑 2 . 2 具单个自由度的非自治系统0 - 1 ( ) ( ) ( 作用群是 PSLR= SLR/ { ?1} 这个群的作用是忠实 2 2 2 . 2. 1 自治系统 : ?自治系统可以用向量符号记为[1 22 ] ) ( )的 , 甚至可以证明这是 H 的解析自同构群。x? = X x ()2. 3 1. 2. 2 Theta 函数 要确定它的周期解的问题相当于确定其闭轨线: 奇点和环。() 1Poisson 公式 :设 V 是 n 维实向量空间 , 具有不变测度 ( ) 由于确定奇点就是求解方程组 X x= 0 , 因此通常并不困难。 μ。设 V′是 V 的对偶空间。令 f 为 V 上快降光滑函数。f 的 关于环的确定 , 已经对 n = 2 的情形进行了很广泛的讨论, 且 Fourier 变换 f ′定义为 : 已经给出了环存在与不存在的准则。?如果系统 2. 3 方程的 π( ) - 2i x , y个数 n > 2 , 困难就变得相当大了。 ( ) μ( )( ) ()f ′y= e f xx1. 3 ?v 2 . 2. 2 周期的非自治系统 :对于系统这是 V上的快降光滑函′数。 )( )(x? = f t , x 2. 4 μ( Γ) 设 v = V / , 则有 :()( ωω)) ( ) (2. 5 f t + , x= f t , x, > 0 1 )(( )1. 4 ( ) f x= f ′y 如果假定解对初值条件惟一性成立 , 此外还存在一个有??v Γ x ?y ?Γ界解 , 且所有解都在 0 ?t < + ?或 - ?< t ?0 上有定义 , 则 - 1μμ( Γ) μΓ 用 v 代替之后 , 我们可设 V/ = 1 。取 的一ωJ . L . Massera 定理在保证存在以 为周期的解上 , 起着基本的 n n μ Γ 组基 e, , e, 我们可以把 V 等同于 R, 而 等同于 Z,为1 n 作用。 n n Γ积测度 dx, , dx。这时我们有 V=′ R,= ′ Z, 从而我们 归1 n 然而 , 如果 n > 2 , 即使系统满足上述条件 , 也可能不存在 结为古典的 Poisson 公式。 [ 1 , 3 ] ω周期为 的解。 () 2二次型的应用 : 设 V 具有正定非退化双线性型 x ?y 2 . 3 周期解( ) 即 x ?0 时 , x ?x > 0。利用这个双线性型我们把 V等同′于 2 . 3. 1 线性齐次系统ΓV , 于是格 变′成 V 中的格。我们有 : ( ) )(y = A ty ?2. 6 ) Γ( Γy ?Ζ′ x?y ?Z 对一切 x ?3 总有一个周期解 , 即平凡解。Γ 对于格 , 我们结合一个定义在 R 上的函数 :+ - πtx?x 2 . 3. 2 线性非齐次系统Θ( ) ()t=e 1. 5 Γ ?Γ x ?()( ) ( )x? = A tx + a t 2. 7 ε,是 V 的正 n με我们在 V 上选取不变测度, 使得若, 1 ( ) 可能没有周期解 , 其中 a t不恒为零。例如 , 系统 x? = 1 , εΓ 交基 , 则由定义的单位立方体的体积是 1 。于是格 的体 i ( ) n = 1。μ( Γ) 积可以定义成 v = V / 。 为了求出式 2. 7 有周期解的条件 , 其通解可表为 :我们有恒等式 ) ( ) ( ) (( ))(x t= U tx 0+ b t 2. 8 - n/ 2 - 1- 1 )(Θ( ) Θ( )1. 6 t= t v t Γ Γ 其中 :() Γ 3矩阵解释 :设 e, , e是的一组基。令 a= e?e。 1 n ij i j t - 1 τ) τ ( ) ( ) (( ) ( )b t= U tU t a d2. 9 ( ) = 则矩阵 A = a是非退化正定对称的。如果 x xe??ijii 0 ? 3 人体动力系统的稳定性V , 则 : x ?x = ax?x iji j?1 ,4 3. 1 差分方程、离散半动力系统的稳定性与不稳定性Θ函数 可以写成 : Γ π - t axx差分方程的研究为微分方程、微分 - 差分方程和泛函微分方?ijijΘ( ) ()t= 1. 7 e Γ ? x ?Z n n () ) ( 1若给定 H 的一邻域 U 包含 H? 的开集,必存在 H 的 π( ) π P , 具有一动力系统,n , p= Tp 与之相对应。以 Tp 的n( ) ( π) 一个邻域 W ,使得对所有的 n ?J ,有 TW< U ,则称 H 为稳 预紧性代替Tx 的有界性 , 即 J , p是预紧的。通常称此+ + [1 ,4 ] 为拉格朗日意义下的稳定性。 定的。 () 2设 H 是一个紧的正不变集 , 则当且仅当 H^ = H 时 , H 3 . 3. 2 非自治差分方程的离散过程 () ( ) 是稳定的 H^ 称为 H 的拓展; 设 H 是一个闭不变集 ,且包含 1考虑非自治差分方程 : 在一个有界的正不变集 G 内 ,则 H^ 是不变的。 )(( )3. 1 x=′ T n , x () 3如果存在 H? 的一个邻域 U ,使得 x ?U ,蕴含当 n ??, 这里 : J ×X ?X , X 是一个弗雷谢空间 , 且 T 是连续的。n 有 T x?H? ,则称集合 H 是吸引集 ; 如果 H 即稳定 ,又是吸引 ,( ) ( ) ( ) T n: X ?X 定义为 T nx = T n , x,m 则称 H 为渐近稳定的。此外 ,如果对一切 x ?R,当 n ??,有( ( ) T : J ×X ?X 是一个 T 的变换 , 定义为 : T n , x = T n k k n T x?H? ,则称 H 为全局渐近稳定的。如果 H 即不是稳定的 ,)+ k , x n n 又不是吸引的 ,则称之为强不稳定的。0 对每一个和 n?J 和 n ?J , T ?X ?X , 由 ^T= I 和nn 0 + 00m () () 4设 V?R?R 是连续的 ,用 T0= 0 。在原点的任意附 n n n + 1 ( ) = TT定义。^T?J ×J ×X ?X , 由 ^T n , n, x= ^TIn n + n n + 0 n( ) () 0近都存在一些点 ,使得 V x> 0 、V 0= 0 。在原点邻域 N 内 0 0 0 n - 1 () β() () ( ) 相对于方程 x′= Tx 有 :Vx=V x+ Wx,这里 ,或者 Wx?n 是 n 个函数的复合。 , x 定义。T =T , n+ j ) n ( ?0 ββ0是非负的 ,且> 0 ;或者?0 而 W 是正定的 ,则原点是不稳 j = 0 定的。 注意到 : 3. 2 常微分方程、局部动力系统的稳定性与不稳定性 这 nnn + k ()3. 2 T T = Tn+nk n 3 3 n 0 00里 ,我们只限于考虑 G内集合 H 的稳定性。G是在 R内紧 ()( ) ( )3. 3 ^Tn , n, x= ^T n , n+ k , x k 0 0 ( ) ρ( ) δ的 ,则集合 BH= {x ;x , H<} 产生 H 的完整领域系统 δ3 () ( ) (( ) ) δ 方程3. 2对正向时间解是惟一的。方程3. 3表示 , 如对充分小的,BH< G。δ () 1如果给定一个 H 的邻域 U ,有一个 H 的邻域 W 使得 () ( ) ( ) 果 x 是方程3 . 1的一个解 , 则 x n + k是 : x=′ T n + k , x3 ( ) π对所有的 t ?0 ,x ?W 蕴含t ,x?U ,则称紧集 H < G是稳 ( ) = Tn , x的一个解。k 定的。 () 2一映射 ^T : J ×J ×X ?X 若满足+ () 2如果存在 H 是一个邻域 U , 使得 c ?U 蕴含当 t ?? 3 () P对每个 n?J 和 x ?X , 有 ^T 0 , n, x= x ;1 0 0 π() 时 , t ,x?H。则称紧集 H < G是一个吸引集。如果对每 3 P对所有的 n , k ?J , n?J , x ?X 有 : 2 + 0 () π一个 x ?G,有t ,x?H ,则称 H 为全局吸引集 ; 如果 H 既 是稳定的又是吸引的 ,则称 H 是渐近稳定的 ; 如果 H 既是稳 ( ( ) ) ( ) ^T n , n+ k , ^T k , n, x= ^T n + k , n, x0 0 0 定的又是全局吸引的 ,则称它是全局渐近稳定的。 P^T 是连续的。 3 () 3不稳定性意即不是稳定的。如果 H 既不稳定又不吸 则称 ^T 为 X 上的一个离散过程。 对于每一个非自治差引 ,则称 H 是强不稳定的。 ( ) 分方程 3. 1, 上面所定义的 ^T 是 3. 3 抽象离散动力系统及其过程、非自治差分方程一个离散过程 , 反之 , 如果 ^T 是一个过程 , 则与之相应的差分 3. 3. 1 离散动力系统、自治差分方程( ) ( ) ( ( ) 方程就是其中方程 3 . 1T n , x = ^T 1 , n , x 。如果 < n , () ( ) 0 0 0 1弗雷谢FrechetL 类空间 :如果集合 P 中每一个序列() ( ) ) n, x, T是方程3. 1满足 单元

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