函数的幂级数展开

函数的幂级数展开 教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1( 教学内容 函数的幂级数(Taylor级数)展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2(指导思想 (1)函数的幂级数(Taylor级数)展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 (2)求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展开公式(见下面的(*)式)，但一般来说，直接利用(*)式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。 3. 教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容:设函数f (x)在 x 的某个邻域0O(x, r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x) 在x 的Taylor级数: 00n(),f(x)n0(*) f(x),(x,x),x,O(x,r).,00n!n0, 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式: n,xx (1) f (x) = e= ,n!,0n 23nxxx1x,，，，，？？ + „, x ?(-?, +?)。 2!3!n! n,(,1)2n1，(2) f (x) = sin x = x,(2，1)!nn0, 352n，1xxxn,x,，,？？，(,1) + „, x?(-?, + ?)。 3!5!(2n，1)! 1 n,(1),2n(3) f (x) = cos x = x,(2)!nn0, 242nxxxn,1,，,？？，(,1) + „, x?(-?, + ?)。 2!4!(2n)! n1,,(,1)2n1,x(4) f (x) = arctan x = ,2,1nn1, 352n，1xxxn,x,，,，(,1)？？ + „, x?[-1, 1]。 352n，1 ，n1,(,1)nx(5) f (x) = ln (1 + x) = ,n,n1 234nxxxx,n1x,,，,，？？，(,1) + „, x?(-1, 1]。 n234 ,(6) ，α?0是任意实数。 fxx()(),，1 当是正整数m时， , m(m,1)m m,1m 2mxxf (x) = (1 + x)= 1 + mx + + „ + + x，x?(-?, +?) 2 即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。 当不为0和正整数时， , ,x当,(,1,1),,,1,,,,,,,n,,x当,,, ,(,1,1],,1,,0, ，,(1x)x,,,,nn0,,,,x当,,[,1,1],,0., ,,,,,,,(,,1)？？(,,n，1),,其中 = , (n = 1,2,„) 和,,。 ,1,,,,n!n0,,,, 设函数f (x)在 x 的某个邻域O(x, r)中任意阶可导，要求它在O(x, r)中的幂级000数展开，一开始就考虑利用公式(*)往往不是明智之举。下面我们通过具体实 例介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法: 1( 通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。 1f(x),x,0例1 求 在 的幂级数展开。 23，5x,2x 解 利用部分分式得到 ,,,,1121,,,, ， f(x),,，,,,x2171，2x,,,,1,,,3,, ,,,1再利用(6)式()，得到 ,1111，，1，nn，，f(x),,,2x， x,(,,).,n1，,,7322，，0n, ,3例2 求 在 的幂级数展开。 f(x),sinxx,6 3131,,,,,3f(x),sinx,sinx,sin3x,sin，(x,),cos3(x,)解 ,,4446646,, 2 33,3,1,,sin(x,)，cos(x,),cos3(x,)， 868646利用(2)式与(3)式，即得到 nn,,33(,1)3(,1),,2n，12n,12n f(x),(x,),(2,3,1)(x,),x,(,,,，,).,,8(2n，1)!68(2n)!6n,0n,0 x,1f(x),lnx,(x,0)例3 求 关于变量的幂级数展开。 x，1 1，tx,1解 令 则。利用(5)式，即得到 t,,x,,(0,t,1)x，11,t n，1,,(1)11，t,nn,t，t lnx,ln,ln(1，t),ln(1,t),,nn1,t,,n1n1 ,,11x,12n12n1，，,2,t,2,(),x,0. ,,2n，12n，1x，1n1n1,, 2(对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。 1x,1例4 求 在 的幂级数展开。 f(x),2x,11ng(x),,,(x,1)解 由于，利用逐项求导，即可得到 ,x1，(x,1)n0, ,,n1n,f(x),,g'(x),n(x,1),(n，1)(x,1),x,(0,2). ,,nn10,, x,0求 f (x)= arcsin x 在例 5 的幂级数展开。 1解 利用(6)式 ，可知当x(-1,1)时， (,,,),2 11,,,,,12n222,,(1,x) = = (,x) ,,,2nn01,x,,, 3(2,1)!!n12n42 = 1 + + x+ „ + x+ „， x(2)!!n28 对等式两边从0到x积分，利用幂级数的逐项可积性与 xdt = arcsin x， ,021,t 即得到 ，2n1,(2n,1)!!xarcsin x = x + ， x?[-1, 1]。 ,(2n)!!2n，1,n1 其中关于幂级数在区间端点x = ?1的收敛性，可用Raabe判别法得到。 特别，取x = 1，我们得到关于π的一个级数示: ,(2n,1)!!1,, = 1 + 。 ,(2n)!!2n，12n0, f(x)f(x)g(x)3(对形如，的函数，可分别用 Cauchy乘积与“待定系数法”。 g(x) ,,nnaxbx设 f (x) 的幂级数展开为，收敛半径为R，g(x) 的幂级数展开为, 1,,nnn,0n,0 3 收敛半径为R，则f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积: 2,,,nnnf (x)g(x) = (ax)(bx) = cx , ,,,nnnn,0n,0n,0 n,nabcx其中c = , 的收敛半径 min,R，R,。 R,n12,,nkn,kn,0k,0 f(x)当b? 0时，我们可以通过待定系数法求的幂级数展开:设 0 g(x) ,f(x)n = cx , ,ng(x)n,0则 ,,,nnn(bx) (cx)= ax , ,,,nnnn,0n,0n,0分离x的各次幂的系数，可依次得到 a0 bc = a c = , ,0 000b0 a,bc110 bc + bc = a c = ， ,0 11 01 1b0 a,bc,bc21120 bc + bc + bc = a c = ， ,0 21 12 02 2b0 „„ 一直继续下去，可求得所有的c 。 nx 5 例6 求esin x的幂级数展开( 到x)。 23435xxxxxx 1,，,？解 esin x = ( + „)() ，x，，，x2!3!4!3!5! 11235x，x,x = x + + „， 330 xesinx由于与的收敛半径都是，所以上述幂级数展开对一切x?(-?, + ?)R,, 都成立。 5 例7 求tan x的幂级数展开( 到x)。 解 由于tan x是奇函数，我们可以令 sinx35tan x = = cx + cx + cx + „， 1 3 5 cosx 于是 2435xxxx351,，,？,，,？(cx + cx + cx + „)() = ， x1 3 5 2!4!3!5!35比较等式两端x, x与x 的系数，就可得到 12c= 1, c = , c=, 1 35 315因此 1235tan x = x +x + x + „。 3154( “代入法” 4 对于例7，我们还可采用如下的“代入法”求解:在 ,12n= u = 1 + u + u + „ ,1,un,0 24xx,，？中，以u = 代入，可得到 2!4! 24241xxxx2,，？,，？= 1 + () + () + „ 2!4!2!4!cosx 524 = 1 + x + x + „， 24 1然后求sin x与的Cauchy乘积，同样得到上述关于tan x的幂级数展开。 cosx 需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目 的小邻域中，幂级数展开是成立前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x =x0 ,,的(事实上，tan x的幂级数展开的收敛范围是 (-, )，它的证明需要用到复22变函数的知识)。 f (x)“代入法”经常用于复合函数，例如形如e ，ln(1 + f (x))等函数的求幂级数展 开问题。 4 sinxx,0例8 求 在的幂级数展开( 到x) f(x),e n3,(1),xn，21,sin,,,，？uxxx解 以 代入 ,(21)!6，nn,0 n,sinx111sinx234f(x),e,,1，sinx，sinx，sinx，sinx，？， ,n!2624n0, 即可得到 11sinx24。 f(x),e,1，x，x,x，？,x,(,,,，,)28cosxx,0注 对于求函数在的幂级数展开问题，我们不能采用以f(x),e n,11cosx24,f(x)ucosx1xx 代入的方法，请学生思考为什,,,，,？,n!224,n0么，并思考应该怎样正确使用“代入法”。 sinxsinx4 例9 求ln的幂级数展开( 到x)，其中函数应理解为 xx sinx,,,x,0,f (x) = ,x ,1，x,0., 解 首先，利用sin x的幂级数展开，可以得到 24sinxxx1,，,？ = 。 3!5!x 2324xxuu,，,？，,？令u = 代入ln (1 + u) = u - ，即得 3!5!23 5 2424sinxxxxx12,，,？,，,？ln = () - () + „ 3!5!3!5!x2 24xx,,,？ = 。 6180 利用例9，我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式 2,sinxx(1), = , ,22n,x,n1 2x两边取对数，再分别将ln(1,)展开成幂级数， 22n, 242,,xxsinxx1ln(1)(，，？),ln = = - 。 ,,2244222n,nn,,x,n1n1,24将上式与本例中的结果相比较，它们的x系数，x系数都对应相等，于是就得到等式 2,1, = , ,26n,1n 4,1, = 。 ,490n,1n sinx68如果我们在计算时更精细些，也就是将ln的幂级数展开计算到x，x，„，x ,,11还可以获得，，„的精确值。 ,,68nn,1,1nn 注意点 f(x)1( 如果 在邻域的幂级数展开存在，则幂级数必然是它在 x 的Taylorx00 级数(*);但反之则不然。事实上，我们举出过在 任意阶可导的函x,x0 f(x)f(x)数，它在的Taylor级数并不收敛于。但一般来说，对于有解析x0 f(x)表达式的初等函数，只要它在 任意阶可导，则它在的Taylorx,xx00 级数就是它在邻域的幂级数展开。 x0 2( 要让学生知道，遇到求函数的幂级数展开问题，不要首先想到用(*)式。 事实上，上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法，比起直接利用公式(*) 来都要方便，而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方 法。 3( 一般来说，利用“待定系数法”与“代入法” 求幂级数展开，我们往往只 能求出幂级数的初始几项，而不易求出幂级数的一般项，也不易求出幂级数 的收敛半径。但是对于许多具体问题，只要求出幂级数的初始几项就够了， 例如例9中的问题。关于幂级数的收敛半径，等学生学习了复变函数课程后 就很容易确定。 6