1.3.2无理数战有理数实数及其近似数

1.3.2无理数战有理数实数及其近似数 1.3.2. 实数及其近似数 〇(无理数战有理数 :无理数的由来. 一. 有理数与无理数 1. 有理数定义 ? 整数与分数的统称. m? 分数(m,n都是整n 数,且n?0)叫做有理数. ? 有限小数与无限循 环小数统称为有理数. 2. 无理数定义 无限不 循环小数叫做无理数. 例 证明2是无理数. 证: 用反证法，见教材. 3. 无理数的种类 2 (1) 开不尽的方根:如; (2) 特殊意义的数:如π和e; (3) 人造无理数:如0.1010010001…; (4) 三角函数值:如sin1º; (5) 对数:如lg2; 等等. 例 求证: 连分数是无理数. 证: 221则=x，x+2x=1，(x+1)=2, 2，x 2? x=-1，是无理数. 1(判断: ? 正数,负数和零统称有理数.( ) ? 有理数都是有限小数. ( ) ? 有根号的数都是无理数. ( ) ? 无理数就是开不尽的数. ( ) ? 所有小数都属于有理数集合. ( ) ? 形如q/p(p?0)的数都是有理数. ( ) ? 有理数与无理数之和是无理数( ) ? 有理数与无理数之积是无理数. ( ) ? 无理数与无理数之和是无理数 ( ) ? 无理数与无理数之积是无理数. ( )( 2(下列数中无理数有 . ,303，,512841,13978,,,,, 0, 3.14159265,, 0.101001000…, -1.. (5)3 3(无理数就是( ). A(开方开不尽的数 B. 无限小数 C. 无限循环小数 D.实数中不能化成分数的数 74. 的小数部分b是一个无理数,则(4+b)b是一个( ). A. 整数 B. 无限小数 C. 无限循环小数 D. 无理数 5(设a是非零有理数,β是无理数,则下列数中一定是无理数的是( ). 33 3 A. a+βB. (a+β)C. β(a+β) D. a(a+β) 二. 实数与数轴 1. 定义 有理数与无理 数统称为实数. 数的范围还可以扩充. 实数+虚数=复数. 2. 实数与数轴上的点一一对应 2数轴上的点不都是有理数. 如、都可以在数轴上表示. , 例 数轴上任意两个点之间必有( C ). A. 整数点 B. 有限个有理点 C. 无数个有理点 D. 有限个无理点 解: 线段上两个点之间必有无限个点. 有理数点是稠密的,实数点是连续的. 3. 在数轴上画开不尽的无理数 例 在数轴上作出13的对应点. 解: 利用勾股定理,可如图作出(图中A点). 1. 判断: ,3 ? 是实数. ( ) ? 所有小数都是实数. ( ) ? 两个实数的和,差,积是实数. ( ) ? 两个实数的商是实数. ( ) ? 实数乘方还是实数. ( ) ? 实数开方还是实数. ( ) ? 算术根开方一定是实数. ( ) ? 算术根开方一定是正实数. ( ) ? 实数和数轴上的点一一对应. ( ) ? 数轴上任意两个点之间必有无数个无理点.( ) 13aa 2. 如果是实数,那么在-,,||,,中一定是实数的有 . aaaa 23. 实数a,b在数轴上的位置如图,化简|a-b|-的结果是 . a 53 4. 用作图法在数轴上作出-与的对应点. 5. 右图是由边长为1的小正方形拼成的方格纸,组成很多矩形，这些矩形的对角线对应的数可以是整数或者无理数. (1) 画出一条矩形对角线,对应的数是整数; (2) 画出4条彼此不相交的长度不同的对角线,对应的数都是无理数; (3) 在更大的正方形方格纸上,矩形对角线可以对应哪些无理数?(写出10个) 三. 实数的大小比较 在实数范围内,相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同. 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1. 一般方法 用近似的有理数代替无理数,再用有理数的比较方法. 111, 例 比较,,的大小. ,,3,10 111,10,10,,,3 解: ?3.162,, ?>>. ,,,310 33a,ba,b2. 利用性质法 若a>b>0,则;若a>b,则. 10033,34, 例 比较 . 3 100 解: ?-34<-, ?填<. 3 3. 两边平方法 32例 比较|-4| 3. 2232解: ?|-4|=32, (3)=27, ?填>. 4. 放缩法 11111，，，，5例 . 2345 11111,,,,解: ?,?填>. 2345 5. 特值法 a，4a，5例 . a，5a，6 解: 取a=1, ?填<. ,7171. 大于,小于的整数有 个. 56192. 从,,…,各数中,有 个在3和4之间的数. 15103. 比小但比-大的所有整数和是 . ,11114. 实数,,,,由小到大的顺序是 . ,527 5. 比较大小: 3，57，133,1313,3(1) (2) 111，，2989,12898，13(3) (4) 345 1a，1a，21(5) (6) (>0) a15,144,15a，2a，3 四(近似数 1. 运算规律 有理数的运算律与运算 性质在实数范围内仍然成立. 222222 例 (+1)-(-)=2+-2=. 2. 近似数 44 例 12000,1.2×10,1.20×10的精确位数与有效数字相同吗? 请比较. 解: 12000精确到个位,有5个有效数字; 41.2×10精确到千位,有2个有效数字; 41.20×10精确到百位,有3个有效数字. 3. 近似数的计算 例 用计算器根据要求计算(精确到0.01): -1.3? -0.80 . ,,7 1. 由四舍五入得到的下列近似数,分别精确到哪一位?各有几个有效数字? (1) 某同学身高1.60m: 精确到 位,有 个有效数字. 3 (2) 地球半径约为6.4×10km: 精确到 位,有 个有效数字. 2. 按要求用科学记数法表示下列四舍五入得到的近似数: (1) 某人一天饮水1950Ml,如果精确到百位,应? , 如果精确到千位,应? . (2) 某种光的波长为0.0000705cm, 如果精确到百万分位,应? , 如果 精确到十万分位,应? . 3. 用科学记数法表示下列四舍五入得到的近似数,并指出它的精确度: (1) 中国人口近似有13.7亿= 人,精确到 位. (2) 某种电子显微镜的分辨率为0.000000014cm= cm,精确到 位. 4. 根据要求用计算器计算: ,11(1) 精确到0.01, ,? . 52 316(2) 精确到0.001, ? . 5. 计算(保留根号): 8-1333，(1) 3(-2)-(-3)+2|-2|= 27 023555125(2) (-3)-(2-)-3(-3)-=