曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分 第十章 曲线积分与 曲面积分 第一节 第一类曲线积分与第一类 曲面积 ?1.1第一类曲线积分 , 在点函数积分中，若是空间曲线f(,)d,,, ,,则 f(p)d,,f(p)ds,f(x,y,z)ds,,,,,, ,f(p),f(x,y,z)称为函数在空间曲线上的第一 f(p)类曲线积分，其中称为被积函数，称为弧长ds元素. x,x(t),, , ,,t,,,:y,y(t), 设为光滑曲线 .(即,, ,z,z(t),, 173 ,,,x(t),y(t),z(t)连续且不同时为0) t,[,,,] 设, , Q,f(x,y,z)ds,, 有 dQ,f(x,y,z)ds[t,t，,t]，设在区间上，由 222,s,[x(t，,t),x(t)]，[y(t，,t),y(t)]，[z(t，,t),z(t)] 222,,,,x,()，y(,)，z(,),t(223 t,,,,,,,t，,t) 123 222,,,,x(t)，y(t)，z(t),t (与求平面上弧长增量类似)，于是 222,,,ds,x(t)，y(t)，z(t)dt. 因此 ,222,,,，，f(x,y,z)ds,fx(t),y(t),z(t)x(t)，y(t)，z(t)dt,,,, . ,,, 若是平面曲线，设为光滑曲线, x,x(t),, ,,t,,,: . , y,y(t),, 174 ,,t,, 设，, 则 Q,f(x,y)ds,, dQ,f(x,y)ds. ,,ds,x(t)，y(t)dt由 ，有 ,,，，dQ,fx(t),y(t)x(t)，y(t)dt ，则 ,22,,，，f(x,y)ds,fx(t),y(t)x(t)，y(t)dt,,,, . ,y,,(x)x,[a,b] 若曲线方程为:，, 有 b2,. f(x,y)ds,f[x,,(x)]1，,(x)dx,,,a ,x,,(y)y,[c,d] 若曲线方程为:，, 有 d2,. f(x,y)ds,f[,(y),y]1，,(x)dy,,,c ,r,r(,),,[,,,] 若曲线方程为:，, 有 ,22,f(x,y)dsf[rcos,,rsin,]r(,)r(,)d,,，,,,, . 第一类曲线积分也具有点函数积分的八个性质. 175 f(p),1 当，则 f(p)ds,ds,s 为,,,, ,曲线的弧长. 44 33(x，y)ds 例1 , 其中C为内摆线,C 222 333x，y,a的弧 (). a,0 解 由曲线C关于两坐标轴对称，被积函数关于 x是偶函数且关于y是偶函数，则 4444 3333(x，y)ds,4(x，y)ds . ,,CC1 3,x,acost, C是第一象限内的曲线， 设 C: ,113yat,sin,, , 0,t,. 于是 2 44 33(x，y)ds,c ,4 443,4a(cost，sint)3acostsintdt 2, 0 176 ,,4 553 ,2a[sintcostdt，sintcostdt]22,, 00 ,,44 5533,24asintcostdt,24asintdsint22,, 007 3. ,4a x,acost,y,asint,z,bt 例2 求螺旋线 ,(0,t,2,)对z轴的转动惯量，设曲线的密度为 (常数). 解 22I,(x，y)dsz,, 12,2222222,a(asint，acost，b)dt , 0 1,22222222,a(a，b)dt,2aa，b,. , 0 2 例3 计算, 其中L为球面xds,L 177 2222x，y，z,0被平面所截得的x，y，z,a 圆周. 解 由对称性知 222，所以 xds,zds,zds,,,LLL 12222xds,(x，y，z)ds,,LL3 22a3,ds,,a. ,L33 ?1.2第一类面积分 ,f(p)d, 在点函数的积分中，当是空间曲,,面时，有 S f(p)d,,f(x,y,z)dS 称为函数,,,, Sf(p)f(p)在曲面S上的第一类曲面积分，称为被 积函数，称为曲面的面积元素. dS f(x,y,z)dS,dS,Sf(x,y,z),1当时，是,,,, SS178 曲面的面积. 若曲面S为光滑曲面: ,xyz,z(x,y)(x,y),,xy , (是曲 面在0xy平面上的投影) S Q,f(x,y,z)dS(x,y),,xy设, ，则 ,, S dQ,f(x,y,z)dS. ，，px,y,z(x,y),dS在曲面上取微元，设点，dSS 则在该处曲面的法线矢量为 S , ,, 由与轴正向的夹角余,,nzrn,,z,z,,1,xy 弦为 1 cosr,,. 于是由图10-1知 22,,z，z，1xy 则 dS,cosr,d, 122 ,,, 因此 dS,d,,1，z，zd,xy cosr f(x,y,z)dS,Q,, Ss 179 22,,，，. ,fx,y,z(x,y)1，z，zd,xy,, ,xy z=f(x,y)Zds OY dσ X 图10-1 f(x,y,z),1特别，若, 22,,dS,1，z，zd,,S. xy,,,, Sxy, 注:现对(1)式进行证明 证 由很小，可把看成一个平面，它的面积为 SSS ,xy由是平面的法矢量，平面的法矢量是轴，nzdS ,xyQ因此，平面与平面的夹角(锐角)的余弦dS 1 为: (cos,,,cosr, 22 ,,z，z，1xy 为常数) 180 ,xy现在把平面与平面的图形在显微镜下面来研ds 究. 如图(10-2)建立坐标系，的变化范围是xd,x,[a,b]. AB过作垂直于轴的直线交于与，设xxd,11 b ，有. d,,h(x)dxAB,h(x)11, a AB设与分别是区域中在上的投影点, dSd,A,B11 则, ABcos,,AB11 11 . 于是 AB,AB,h(x)11 ,,coscos OY dsAB aB1x Adb1 X 图10-2 181 bbb111 dS,ABdx,h(x)dx,h(x)dx,d,,,, aaacoscoscos,,, , 即. 则 , cosrdS,d,cos,ds,d, 122 ,,. dS,d,,1，z，zd,xy cosr S:y,y(x,z),(x,z),,xz同理 若曲面, 则 ,,yy22,，，f(x,y,z)dSf(x,y(x,z),z)1()()d,,,,, ,,xzSxz, . (1.3) f(x,y,z),1 特别, 时, ,y,y22f(x,y,z)dS,1，()，()d,,S. ,,,, ,x,zSxz, S:x,x(y,z),(y,z),,yz 若曲面, 则 ,x,x22f(x,y,z)dS,f(x(y,z),y,z)1，()，()d,,,,, ,y,zS,yz (14) f(x,y,z),1 特别时 182 ,,xx22,，，dS1()()d, ,,,, ,,yzsxy, F(x,y,z),0 若曲面S由方程给出，且确定隐函数, z,z(x,y),(x,y),,xy ,F,F,z,zyx,,,,,且 连续，则 ,,,xF,yFzz 222,,,，，FFFxyz ,f(x,y,z)dSf(x,y,x(x,y))d,.,,,,,FzS,yz 而一般曲面可分割成若干块, 使得每一块可利用公式(1.2)、(1.3)、(1.4)来计算. 22(x，y)ds 例4 ，式中S为立体,, s 22x，y,z,1的边界. 解 曲面S由两部分组成，一部分为 22S:z,x，y, 1 22oxy它在x，y,1平面上的投影为;另一部分为S,1, 2 183 22oxy它在平面上的投影也是. 对于这两x，y,1部分分别有: 22,z,zxy221，()，(),1，，,22222,x,yx，yx，y , ,z,z22, 在极坐变1，()，(),1，0，0,1 ,x,y 0,,,1, 换下，于是 ,:xy0,r,1, 222222(x，y)dS,(x，y)dS，(x，y)dS,,,,,, SSS12 ,2132,13,2d,rdr，d,rdr0000,,,, , ,(1，2). 2 , 例5 求密度为的均匀球壳0 2222x，y，z,R(z,0) 对轴的转动惯量. oz 22I,(x，y),dS 解 转动惯量为 z0,, S 184 R22 ,,(x，y)d,0,,222222R,x,yx，y,R 3 r2,R, R,d,dr000,,22,Rr 3rR,2,R,dr00,22R,r ,sinr,R,443422cos. ,,R,,d,,,R,000, 3 例6 计算 zdS, 其中为曲面,,, , 2222z,x，y在柱体内部分(如图x，y,2x 10-3). oxy解 在平面上的投影区域为, 22D:x，y,2x. 185 2,xy221616232,,dS,1，z，z,1，，d,,2d,32xy2222,2cos,d,,2,20x，yx，y, 3339 , 于是 . 22 zdS,x，y2d,,,,, D, , 2cos,22 ,2d,rdr0,,,第二节 第二类曲线积分 , 2 Z ?2.1 第二类曲线积分 的概念 Y 一、第二类 曲线积分概念的引 X入 图10-3 * 设有一个力场，场的力为 F(p),p(x,y,z)i，Q(x,y,z)j，R(x,y,z)k, 一质点在力场的作用下，沿着一条光滑曲线Γ自A点移动到B点，试求此力场(如图10-4)所作的功. 设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Γ上连续. 1.分割 在A与B之间，按从A到B的方向任意186 M,M？M插入n-1分点，将曲线分成n个部12n,1 ,s,,s,,s？,,s,s,s分 ,仍以记为的长度. 12inii o,,2.作和 设为Γ上点T,cos,cos,,cos, M(x,y,z)处的单位切矢量.指向质点运动的方向，由 ,s于的 i B=Mn )F(Pi T PMii Mi-1 F(P)iM3MM12A=M0 ΔSi 图10-4 ,s长度很小，可近似地将它看成直线段，在上任取1 0p(x,y,z),s一点，把Tp看成质点在上的运iiiiii 0,sF(p)动方向，则. 当很小时，,s,,sTi11p0 ,s,sF(p)在上连续，因此，由在变化很小，于是，ii 187 ,s,W力场沿所作的功近似地为 ii 00,W,F(p),,s,F(p),,sT,(F,T),spiiiiiipii 而力场沿Γ从A到B所作的功W近似地为 nnn 0 W,,W,F(p),,s,(F,T),s,,,iiipii ,1,1,1iii ,,,,max,s(1,i,n) 3.取极限设,当越,i ,n, 0,s小，则每一个也越小，则越接(F,T),s,1pii ,1i ,s,0近于W，当，则每一个, 于是 ,,01 nn 0 W,limF(p),,s,lim(F,T),s,,iipii,0,0,,,1,1ii p而此极限与曲线Γ的分法与点的取法无关. i 由 0,,,,F,T,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),cos,,cos,,cos, ,P(x,y,z)cos,，Q(x,y,z)cos,，R(x,y,z)cos, x,y,zG(x,y,z)是曲线Γ上关于的连续函数，记作. 188 即 ,nn, 0 W,lim(F,T),S,limG(x,y,z),S,,piiiiii,0,0,,,1,1ii . 按第一类曲线积分的意义，有 0W,G(x,y,z)ds,(F,T)ds. ,,,, 0T当质点的运动方向相反时，此时的方向也相反，故所作的功改变一个符号，可见这种积分与曲线的方向有关. 还有这个第一类曲线分是一个特殊的第一类 f(x,y,z)ds曲线积分，一般的第一类曲线积分中,, 0(F,T)ds的被积涵数是数量函数，而 ,, 中的被积函数是两个矢量函数的点乘积形式，因此有别于一般形式的第一类曲线积分，我们称它为第二类曲线积分，因此有如下的定义 (*如果空间(或部分空间)中的每一点都对应着一个力，则称在这个空间中确定了一个力场.) 二、第二类曲线积分的定义 定义 设Γ是以A，B为端点的光滑曲线，并指定从A到B的曲线方向，在Γ上每一点p处作曲线 189 的单位切矢量. 0,,,,,(分别 T(p),cos,i，cos,j，Rcos,k 0Ty与轴，轴，轴正向夹角),其方向与指定的zx 曲线方向一致，又设 A(p),A(x,y,z) ,P(x,y,z)i，Q(x,y,z)j，R(x,y,z)k 其中P，Q，R是定义在曲线Γ上的有界函数，则函数 0 在曲线ΓA,T,Pcos,，Qcos,，Rcos, 上的第一类曲线积分 0A,Tds,(pcos,，Qcos,，Rcos,)ds,,,, A(p),A(x,y,z)称为函数沿曲线Γ从A到B的第二类曲线积分. 由于这一类曲线积分的被积函数是一个矢量与 0A,T单位切矢量的数量积，当积分路径的方向改变为相反方向时，即沿Γ从A到B改为从B到A时， 0T单位切矢量的方相与原来切矢量方向相反，因而第二类曲线积分的数值正好变一个符号，即有 190 性质1 00(A,T)ds,,(A,T)ds. ,,,,ABBA ，,,,或者 我们把看成正方向，记成，则,,,，ABBA 有 00(A,T)ds,,(A,T)ds. ，,,,,, 0T 注:左、右两端的单位切矢量正好相差一个 符号. 性质2 若有向曲线Γ是由有向曲线Γ，Γ首12 尾衔接而成，则 000(A,T)ds,(A,T)ds，(A,T)ds. ,,,,,,12 0ds,Tds记称为曲线的有向弧元素(简称有向弧 元)它是一个矢量，这个矢量在三个坐标轴上的投影 ,x,dx,,y,dy,,z,dz分别为. 即 ,,,,x,dx,cos,ds(0,,,时,dx,0,a,时,dx,0,,,,,时,dx,0) 222. ,,,,y,dy,cos,ds(0,,,时,dy,0,,,时,dy,0,,,,,时,dy,0) 222 191 . ,,,,z,dz,cos,ds(0,,,时,dz,0,r,时,dz,0,,,,,时,dz,0) 222 . 0,,ds,Tds,dscos,,cos,,cos, ,,,,,cos,ds,cos,ds,cos,ds,dx,dy,dz, 于是 00(A,T)ds,A,(Tds),A,ds ,AB,AB,AB,,, (Pcos,，Qcos,，Rcos,)ds,Pdx，Qdy，Rdz,AB,AB,,. 所以第二类曲线积可以四种形式出现，即 0(A,T)ds,A,ds,AB,AB,, ,(Pcos,，Qcos,，Rcos,)ds ,AB, ,Pdx，Qdy，Rd . ,AB, ,这是第二类曲线积分特征，要认识清楚，注意是AB有方向的. 而最后一个积分显然可以分解成如下三个积分之和 p(x,y,z)dx,p(x,y,z)cos,ds; ,AB,AB,, 192 Q(x,y,z)dy,Q(x,y,z)cos,ds; ,AB,AB,, R(x,y,z)dy,R(x,y,z)cos,ds. ,AB,AB,, P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)它们分别称为函数 dx,dy,dz沿曲线Γ从A到B关于弧长有向投影的第 二类曲线积分. 三、第二类曲线积分的计算 , 定理1 设光滑曲线的方程为AB x,x(t),, , ,:y,y(t), ,AB ,z,z(t),, tttt点A对应的参数为，点B对应的参数为(、ABAB 谁大谁小不受限制)，且函数 ,,A(x,y,z),P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的 P,Q,R分量在上连续 , 0A,Tds,A,ds则 ,AB,AB,, ,(Pcos,，Qcos,，Rcos,)ds,AB, ,Pdx，Qdy，Rd ,AB, 193 ttBB,,,p[x(t),y(t),z(t)]x(t)dt，a[x(t),y(t),z(t)]y(t)dt,,ttAA tB, ，R[x(t),y(t),z(t)]z(t)dt,tA tB,,,,[p(x(t),y(t),z(t))x(t)，Q(x(t),y(t),z(t))y(t)dt，R(x(t),y(t),z(t))z(t)dt,tA 证 我们来证明 tB, p(x,y,z)dxp(x(t),y(t),z(t)x(t)dt.,,,,tABA 其它两个同理可证，从而可得结论成立. t,ttt (i)当，在与之间插入个分点 n,1ABAB t,t,t,t,？t,t,？t,t,t, AB12i,1in,1nB 于是 ,,,t,t,t,0,,,max,t(1,i,n, iii,1i(x,y,z),(x(t),y(t),z(t)), iiiiii n P(x,y,z)dx,limP(x,y,z),x,,iiii,AB,0,,1i 194 n ,limP(x,y,z)(x,x),iiiii,1,0,,1i n ,limP[x(t),y(t),z(t)][x(t),x(t)],,1iiiii,0,,1i n ,,limP[x(t),y(t),z(t)][x,()(t,t)(t,,,t),iiiiii,1i,1ii,,0i,1 n ,, 这里,limP[x(t),y(t),z(t)]x(t),t,iiiii,0,,1i ,t,0. i 按一元函数定积分的定义，有 tB, P(x,y,z)dx,P(x(t),y(t),z(t))x(t)dt,,,tABA t,ttt (ii)当在与之间插入个分点 n,1ABABt,t,t,t,？t,t,？t,t,t AB12i,1in,1nB ,,, 与(i),t,t,t,0,,,max,t1,i,niii,1i的证法类似 ，有 n ,p(x,y,z)dx,limp[x(t),y(t),z(t)]x(t),t,,ABiiiii,,0,,1i ,t,0 这里，于是 i 195 n ,P(x,y,z)dx,,limp[x(t),y(t),z(t)]x(t),t,,iiiii,AB,0,,1i 按一元函数的定积分的定义，有 n ,limP[x(t),y(t),z(t)]x(t),t,iiiii,0,,1i tA,, 于是 ,P(x(t),y(t),z(t))x(t)dt,tB tA,P(x,y,z)dxP(x(t),y(t),z(t))x(t)dt,,,,,tABB tB,. ,P(x(t),y(t),z(t))x(t)dt,tA tt因此，不论，谁大谁小，都有 AB tA,P(x,y,z)dxP(x(t),y(t),z(t))x(t)dt,,,,tABB 故结论成立. 从证明过程，我们可以再一次清楚的看到. P(x,y,z)dx,,P(x,y,z)dx, 即 ,,,,ABBA 00(A,T)ds,,(A,T)ds. ,,,,ABBA t,t 此外，必须提醒大家，公式中的一定要与AB曲线的起点A终点B相对应，不得错乱，即化成函t数的定积分时，积分的下限必需是起点A对应的参196 数，积分的上限必须是终点B对应的参数，至于上、下限谁大谁小不受限制，与第一类曲线积分的下限必需小于上限的限制，是不同的，这也是第二类曲线积分与第一类曲线积分区别的特征. 同样在平面上有平面曲线Γ的第二类曲线积分 定义 设Γ是平面上以A、B为端点的光滑曲线，并指定从A到B的曲线方向在P上第一点P处作曲线的单位切矢量. 00T,,, (分别是与轴，T(p),cos,i，cos,jxy轴正向的夹角), 其方向与指定的曲线方向一致，设 A(p),P(x,y)i，Q(x,y)j P(x,y),Q(x,y)其中是在曲线Γ上的有界函数，则函数 0A,T,P(x,y)cos,，Q(x,y)cos,在曲线Γ上的第一类曲线积分 0,A,Tds,A,ds,P(x,y)cos,，Q(x,y)cos,)ds,AB,AB,AB,,, 197 ,Pdx，Qd . ,AB, ,A(p),A(x,y)称为函数沿曲线从A到B的第AB二类曲线积分. (或者不写出平面曲线上的第二类曲线积分定义, 可 看空间曲线上第二类曲线积分的特殊情形) , ,oxy若为平面上的曲线，这时, 则 r,AB 2 (Pcos,，Qcos,，Rcos,)ds,AB, ,(Pcos,，Qcos,)ds,Pdx，Qdy ,,AB,,AB P,P(x,y),Q,Q(x,y)其中，若设A(x,y),P(x,y)i，Q(x,y)j，有 (Pcos,，Qcos,)ds,pdx，Qdy,A,ds,AB,AB,AB,,, 00,A,Tds. ,AB, ,x,x(t),y,y(t)若平面曲线为光滑曲线:, 起AB tt点A对应参数，终点B对应参数, 有 AB P(x,y)dx，Q(x,y)dy,AB, tB,,{[((),()]()[((),()]()},Pxtytyt，Qxtytytdt,tA . 198 222,(y,z)dx，2yzdy,xdz 例1 计算, c, 式中C依参数增加的方向进行的曲线 23. x,t,y,t,z,t(o,t,1) 解 原式 146522,[(t,t)，2t,2t,t,3t]dt0, 1164(32). ,t,tdt,0, 35 例2 质点P沿以AB为直径的半圆周，从点 FA(1,2)运动点B(3,4)的过程中受到变力作用(如图 F10-5)的大小等于点P与原点O之间的距离，其方 , y向垂直于线段，且与轴正向的夹角小于，求oP 2 FP变力对质点所作的功. F,F分析关健是求出变力与曲线的方程. 求时，AB 00F只要求出和，则. F,FFF 22F,x，y 解 由, 199 ZB(3,4) F CA(1,2) Γ P(x,y) OY 图10-5 ,0Fy,cos,,0与轴正向的夹角小于，即，由 2 , ,,,y,x,oP(,y),x，x,y,0即. ,,,,yx,, ,,oP有,且,,2222,,x，yx，y,, x ，则 ,cos,,0 22xy， ,,,yx,,0,F, 于是,,2222,,，，xyxy,, 0,,F,FF,,y,x. 200 设AB的中点为C，则C(2,3)为圆心，半径 22(3,1)，(4,2) . R,,2 2 ,,,2，2cos,x ,圆弧的方程为 ,AB y,3，2sin,,, 3 ,,起点A对应的参数, 简写为,,A 4 3,, ,终点B对应的参数, 简写为A,,,,,,B 44 , F，于是变力所作的功为 B,,, 4 YB(2,3) C D(2,1)A(1,1) OX 图10-6 201 , 4W,,ydx，xdy,[2(3，2sin,)sin,，2(2，2cos,)cos,]d,,AB,,3,,4,2(,,1). xydx，(y,x)dy 例3 计算(1)(2)L, ydx，xdy，其中L分别为图10-6中路线: L, 2(i)AB直线; (ii)ACB(抛物线; y,2(x,1) (iii)ADBA(三角形). 解(1)直线AB方程为 x,1，t,, , (A,t,0,B,t,1), 于是, ,y,1，2t, 1xydx，(y,x)dy,[(1，t)(1，2t)，2t]dtAB0,, 2512(152),，t，tdt,. 0, 6 2 (ii) 由曲线ACB方程为y,2(x,1)，1, A,x,1,B,x,2, 于是 xydx，(y,x)dx=ACB, 202 222x[2(x,1)，1]，[2(x,1)，1,x]4(x,1)dx1, 10232. (10x,3x，35x,12)dx,1, 3 (iii)由, L,AD，DB，BAAD:x,x,y,1,A,x,1,D,x,2, DB:x,x,y,y,D,y,1,B,y,3, xydx，(y,x)dy于是 ADBA, ,xydx，(y,x)dy，xydx，(y,x)dy，xydx，(y,x)dyADDBBA,,, 23,xdx，(y,2)dy，xydx，(y,x)dyAB11,,,3258 ，0,,,= 263 (2) ydx，xdy(i)AB, ,1 ,[(1，2t)，2(1，t)dt,(3，4t)dt,5 00,, 203 ydx，xdy(ii)ACB, 22,[2(x,1)，1，x,4(x,1)]dx 1, 22322=. (6x,8x，3)dx,(2x,4x，3x),511, ,ydx，xdy(iii)ADBA, ,ydx，xdy，ydx，xdy，ydx，xdyADDBBA,,, 23,dx，2dy,ydx，xd,1，4,5,0AB11,,, . 注 示封闭曲线上的第二类曲线积分. , ?2.2 格林公式 设区域D的边界是由一条或几条光滑曲线所围成，边界曲线Γ的正向规定为:当人沿边界行走时，区域D总在他的左边，如图10-7所示，若沿与上述 ,L的方向相反，则称为负方向，并记为. 204 2D,RP、Q 定理3 若函数在闭区域上连 续且具有连续的一阶偏导数，则 Y OX 图10-7 ,,p, . (,)dxdy,Pdx，Qd,,,, ,x,yD (2,1) ,这里为区域D的边界曲线，并取正向. 公式(1)称为格林公式. 证 根据区域D的不同形状，分三种情形来证 y (i)若区域D既是型区域又是型区域，这时区x 域D可表示为 ,(x),y,,(x),a,x,b 或 12 ,(y),x,,(y),c,y,d, 12 205 EY(x)y=υ2d (y)x=ψ1x=ψ(y)2 BA c Cy=υ(x)1 OXa 图10-8 y,,(x)y,,(x)这里和 12 :: x,,(y)AEB分别是曲线ACB和的方程，而和1 ::x,,(y)CAECBE分别是曲线和的方程，于是 2 ,,QQ,(y)d2, dxdydydxc,,,,(y),1,,xxD dd::,Q,((y),y)dy,Q(,(y),y)dy,Q(x,y)dy,Q(x,y)dy21cc,,,,CBEBAE ::,Q(x,y)dy，Q(x,y)dy,Q(x,y)dy,,,,CBEEAC 206 ,P,P,(x)b2,dxdy,,dxdya,,,,(x),1,y,yD bb,,P(x,,(x)dx，P(x,,(x)dx 21aa,, ::,,P(x,y)dx，P(x,y)dx ,,AEBAcB ::,,P(x,y)dx，P(x,y)dx,P(x,y)dx,,,,ACBBEA , ,Q,P 因此, . (,)dxdy,Pdx，Qdy,,,, ,x,yD (ii)若区域D是由一条按闭曲线围成(如图10-9 x所示), 则用几段光滑曲线将D分成有限个既是型区域又是型区域的区域，然后逐块将(i)方法推得它y 的格林公式，再相加得(2.1) 区域的共同边界，则因 取向相反，它们的积分值正好互相抵消. 207 FA D1 E D B3 D D2 C Γ 图10-9 例 如图10-9，可将D分成三个既是型区域又x D,D,Dy是型区域于是 123 ,,,,,,,,QpQpQpQp ,,,，,，,()dxdy()dxdy()dxdy()dxdy,,,,,,,, ,,,,,,,,xyxyxyxyDDDD123 ,Pdx，Qdy，Pdx，Qdy，Pdx，QdyEFACDECABCEA,,, ,Pdx，Qdy，Pdx，Qdy，Pdx，QdyEFABCDECEAAEC,,, ,Pdx，Qdy. ,, (iii)若区域D由几条曲线所围成，如图10-10所 ,,,，,，,示，连接AB、CE，则D的边界曲123 208 AB,,,BA,AC,CE,,,EC,CGA线为 . 32由(ii)知 ,Q,p (,)dxdy,, ,x,yD ,AB，,，BA，AC，CE，,，EC，CGA 32, ,Pdx，Qdy,Pdx，Qdy. 格林公,，,，,,,,123 式也可借助行列式来记忆. G Γ2 Γ3F BC Γ1 图10-10 ,, ,x,x dxdy,Pdx，Qdy. ,,, DPQ 22cxydy,xydx, 例4 其中为圆周C, 209 222依反时针方向.如图10-11. x，y,R 22解 由, , C为区域边界P,,xyQ,xy正向, 由格林公式知 Y XO C 图10-11 2222xydy,xydx,(y，x)dxdyC,,, D 4,R,R22,,drrdr. ,00,, 2 例5 计算曲线积分 xx(esiny,my)dx，(ecosy,m)dy, ABo, A(a,o)o(o,o)其中ABO 为由到点的上半圆固 22x，y,ax，如图10-12. o(o,o)A(a,o) 解 在轴上连接点与点，这ox 样，便构成封闭的半形ABOA 于是 210 ,,,由格林公式 ABoABoAoA,,, xx(esiny,mydx，(ecosy,m)dy ABoA, xx ,[ecosy,(ecosy,m)]dxdy,, D 21,,ma2(),,,mdxdym, ,,, 228D YB OA(a,0)X 图10-12 y,0由OA方程为, 则 xx(e,y,my)dx，(ecosy,m)dy,0, 于oA, 是 2,maxx(sin,)，(cos,),eymydxeymdyABo, 8. 注 若加上一个很简单的曲线可构成封闭曲线，然后利用格林公式化成二重积分容易计算时，便可施 211 行这种方法，即加一个简单曲线减一个简单曲线. P,,y,Q,x,在格林公式中，令可得到计算平面区 ,,域的面积的公式，是区域边界曲线正向. S ,ydx，xdy,[1,(,1)dxdy,2S 由 ,,,, D 1 因此, . S,,ydx，xdy,, 2 22222 例6 求双组线所围(x，y),a(x,y)区域的面积. 解 由双曲线关于两个坐标轴对称，因此只需计算第一象限内的面积再乘以4即得所求面积. x,rcos,,y,rsin,,利用极坐标则双纽线，方程 22r,acos2,,r,acos2,为: x,acos,cos2,,y,asin,cos2,, ,,OA，ABO ,ydx，xdy,0在OA上 , 于是 212 Y B OAX 图10-13 , 11224S,4,ydx，xdy,4,,ydx，xdy,2acos2,d,,a,ABo0,,, 22 . ?2.3 平面线积分与路径无关性 回想?2.1中计算第二类曲线积分例3中的两个例子，我们可以看到第(1)个例子，以A为起点，B为终点的曲线积分，若所沿的路径不同, 则其积分值也不同，在封闭曲线线ADBA上的积分也不为零. 而第(2)个例子，以A起点B为终点的曲线积分，只与起点和经点有关与路径无关，而在封闭曲线ADBA上的积分为0，这里面是偶然的巧合，还是具有一定的规律. 下面先介绍平面单连通区域 若对于平面区域D内任一封闭曲线，皆可不经过 213 D以外的点，而连续收缩于属于D中的一点，通俗地说，D内任一封闭曲线所包围的区域包含于D内，即没有洞的区域称为单连通区域，否则称为复连通区域 (即有洞的区域). 我们仔细研究例3中的(1),(2),再利用格林公式. (1)中 ,Q,Q,Q,QP,xy,Q,y,x,,,1,,x,,, ,x,x,x,y ,Q,p,Q,p ,(2) 中,有P,y,Q,x,,1,,1, ,x,y,x,x ,Q,p . dx，Qdy,(,)dxdy,0p,,, ,x,yD ydx，xdy,ydx，xdy而 ACBADB,, ,ydx，xdy,ydx，xdyACB，BDAACBDA,, ,(1,1)dxdy,0 ,, D 因此，第二类曲线积分在满足一定的条件下，满 ,Q,p ,足是个关健，则该第二类曲线积分与路径无 ,x,y 214 关，在封闭曲线上的第二类积分为0 2D,RP,Q 定理2 设是单连通区域，若函数在有界闭区域D内连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价; (i)沿D中任一按段光滑的闭曲线L，有 Pdx，Qdy,0; L, (ii)对D中任一按段光滑曲线L，曲线积分 Pdx，Qdy L, 与路线无关，只与L起点终点有关; Pdx，Qdy(iii)是D内某一函数的全微分，即在Du u(x,y),内有存在一个二元函数使 du,Pdx，Qdy; ,P,Q ,(iv)在D内每一点处, 有. ,y,x :: (i),(ii)ARBASB 证，设与为联结点A，B的 任意两条光滑曲线(图10-14)，由(i)推得 215 A R B 图10-14 ::::Pdx，Qdy,Pdx,Qdy,Pdx，Qdy，Pdx，Qdy,,,,ARBASBARBBSA : ,Pdx，Qdy,0,所以ARBSA, ::Pdx，Qdy,Pdx，Qdy. ,,ASBASB A(x,y)(ii),(iii)B(x,y)设为D内某定点，为00 (ii)D内任意一点，由，曲线积分 Pdx，QdyB(x,y)由与路线的选择无关，故当AB, B(x,y)在D内变动时，其积分值是点函数，即有 u(x,y),dx，Qdy.取充分小使,xAB, (x，,x,y),D，则函数对于的偏增量(图ux10-15) u(x，,x,y),u(x,y),Pdx，Qdy,Pdx，Qdy.ACAB,, 216 因为在D内, 曲线积分与路线无关，所以 Pdx，Qdy,Pdx，Qdy.，Pdx，Qdy.ACABBC,,, t D ByC y0A xxx+Δx0Os 图10-15 由于直线段BC平行于轴，所以BC:x x,t,t,[x,x，,x],y,ydy,0,(常数)，因而且 x，,x,u,u(x，,x,y),u(x,y),Pdx，Qdy,P(t,y)dt.BCx,, 对上式右端应用积分中值定理，得 ,u,,P(x，,,x,y)， 0,,,1.再依P在D上的连续性，推得 217 ,u,u ,lim,limP(x，,,x,y),P(x,y). ,x,0,x,0,x,x ,u ,Q(x,y).du,Pdx，Qdy.同理可证于是有 ,y (iii),(iv) 设存在函数, 使得 u ,,故 du,u(x,y)dx，u(x,y)dy,Pdx，Qdy,xy ,, P(x,y)u(x,y),Q(x,y)u(x,y),,xy 22,P,u,Q,u P,Q,,因此 因为在区域D,. ,y,x,y,x,x,x 内具有一阶连续偏导数，所以 22,u,u,P,Q ,.,从而在D内第一点都有 . ,y,x,x,y,x,x LD(iv),(i) 设为中任一按段光滑闭曲线，记LDD所围的区域为由于内，应用格林公式及在,. ,P,Q ,内恒有，就得到 ,y,x ,Q,P . Pdx，Qdy,(,)dxdy,0L,,, ,x,y, 这个定理也告诉我们，在计算平面上第二类曲线积分218 时, (1)若是在封闭分段光滑曲线上的第二类曲线积, ,P,Q分，如果满足在D以为边界曲线的连通区域D ,p,Q ,上具有连续的偏导，且，则该积分为0. ,y,x (2)若是在某一按段光滑曲L上的pdx，QdyL, 第二类曲线积分且L路径比较复杂, ,p,Q P,Q,如果在区域D上具有连续的偏导，， ,y,x L,D且，则可化为与L起点，终点相同路径简单曲线上的第二类曲线积分.比如可用证明过程中的折线段或直线段等等. f(x) (3)我们知道，一元函数只有在区间上连续，必有原函数但在二元函数中 P(x,y)dx，Q(x,y)dy不一定是某一个函数u(x,y)P(x,y)dx，Q(x,y)dy的全微分，换句话说 P(x,y),Q(x,y)中的既便是连续，也不一定有原函 P,Q数，由定理证明知，如果在某一单连通区域D 219 ,p,Q ,Pdx，Qdy上具有连续的偏导数，且，则必 ,y,x 有原函数. P,Q (4)反过来一个第二类曲线积分中具有连续的偏导数，若满足定理中(i)或(ii)或(iii), 则必有,P,Q ,. ,y,x 例7 若第二类曲线积分 B(x,y)与路径无关，我们p(x,y)dx，Q(x,y)dy,A(x,x)00 可用一元函数定积分来表示. C(x,y)为此，取,沿折线段ACB(如图10-16), 10 x,x, A,x,x,C,x,x由 . AC:01y,y,1 x1P(x,y)dx，Q(x,y)dy=. P(x,y)dxAC0,,x0 x,x1, C,y,y,B,y,y . CB:01 y,y, 220 Y ,y)B(x11 C(x,y)10,y)A(x00 OX 图10-16 y1P(x,y)dx，Q(x,y)dy, ,Q(x,y)dyCB1,,y0 于是 B(x,y)11P(x,y)dy，Q(x,y)dy,A(x,y)00 xy11. (2.3) ,p(x,y)dy，Q(x,y)dy01,,xy00 这个结果，我们可作为一个计算公式记住 . P,Q 由定理证明过程可知，若满足定理的条件，则 二次函数 B(x,y) u(x,y),P(x,y)dx，Q(x,y)dy,A(x,y)00 du(x,y),Pdx，Qdyu(x,y)满足，我们称为 xPdx，Qdy的一个原函数，按公式(2.3)，把换成，x1yy换成，有 1 221 yx是u(x,y),p(x,y)dx，Q(x,y)dx，C0x,,y00 Pdx，Qdy的全体原函数. (o,o),DPdx，Qdy 若，我们又把全体原函数写成 xyp(x,0)dx，Q(x,y)dx，C, 这个公式计算更00,, 方便. du(x,y),Pdx，Qdy 我们还可以证明若, 则 (,)BxyB11Pdx，Qdy,u(x,y),u(x,y),u(x,y)1100A(,),Axy00 , 这个公式称为曲线积分的牛顿一莱布尼兹公式. 事实上由曲线积分与路径无关, 设光滑曲线Γ的方程 x,x(t),y,y(t),A,t,B,t于是 01 B(x,y)11p(x,y)dx，Q(x,y)dy,A(x,y)00 ,,,,uuudxudyB(x,y)t111dx，dy,(，)dt A(x,y)t,,000,,,,xyxdtydt tt11,[u(x(t),y(t))]dt,u(x(t),y(t)=,tt00222 ,u(x,y),u(x,y),u(B),u(A). 1100 例8 计算 (1,2)43224(x，4xy)dx，(6xy,5y)dy. (0.0), 23224 解 由, , P,x，4xyQ,6xy,5y P,Q显然在全平面上具有连续的偏导且,Q,p2,,12xy, ,x,y 因此 曲线积分与路径无关. 所以 原式 14224,xdx，(6y,5y)dy00,, 1179,352(2)16,，y,y,,,. 0 555 xdx，ydy(6,8) 例9 沿不通过坐标原点的路(1.0),22x，y 径. (x,y),(o,o) 解 显然时, xdx，ydy22,dx，y是全微分，于是 22x，y 223 xdx，ydy(6,8)(6,8)(6,8)2222,dx，y,x，y,9(1.0)(1.0)(1,0),,22x，y . xoyQ(x,y) 例10 设函数在平面上具有一阶段连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任总t，总有 (t,1)(1,t)2xydx，Q(x,y)dy,2xydx，Q(x,y)dy(o,o)(o,o),, Q(x,y),求. 解 由曲线积分与路径无关的条件 ,Q2 ， 于是, 其中,2xQ(x,y),x，C(y),x C(y)为待定函数. t(,1)12212xydx，Q(x,y)dy,(t，C(y))dy,t，C(y)dyo0oo(,),,,, t(1,)2tt2xydx，Q(x,y)dy,(1，C(y))dy,t，C(y)dy0(,)ooo,,,, 21tt，C(y)dy,t，C(y)dy由意可知 . 00,, 2t,1，C(t)C(t),2t,1t两边对求导，得, . 2Q(x,y),x，2y,1所以. 例11 利用曲线积分, 求 224 2222的原函(x，2xy,y)dx，(x,2xy,y)dy数. 22 解 由, P,x，2xy,y ,p,Q22,2x,2y,, ， Q,x,2xy,y ,y,x 22 . 取，有 (x,y),R(o.o),R x2y22z,(x，0,0)dx，(x,2xy,y)dy，C00,, 113223. ,x，xy,xy,y，C 33 利用曲线积分与路径相关性，我们还可求某些特殊类型方程的通解 P(x,y)dy，Q(x,y)dy,0若 微分方程 (1) u(x,y)的右端是某个二元方程 的全微分,即 du(x,y),P(x,y)dx，Q(x,y)dy. 则称(1)为全 du(x,y),0微分方程,则方程(1)可写为 u(x,y),C从而方程(1)的通解(隐函数式)为. 由曲线积分与路径无关性可知,方程(1)是全微分方程 ,P,Q ,的充要条件是. ,y,x 225 例 解微分方程 (2x，siny)dx，cosydy,0 解 由 ,P,Q ,cosy,P,2x，siny,Q,xcosy,, ,y,x 22, 取, (x,y),R(o,o),R xy2u(x,y),2xdx，xcosydy ,x，xsiny00,, 2所以 微分方程的通解为. x，xsiny,C P,Q现设在复连通区域D内满足具有连续的偏导且,p,Q ,条件，我们来研究曲线积分 ,y,x pdx，Qdy(2.5) 的性质. ,, (1)若闭曲线l内部没有洞(图10-17),这时所包围的区域为,利用格林公式,可知积分(2.5)为0. , , (2)若l内部有洞(图10-18),这时l所包围的区域不全在D内,因此,对及l不能使用格林公式,从而不, 能断言积分(2.5)是否为0(如图10-18),但我们有下面的定理. P,Q 定理4 设在复连通区域D内具有连续的226 ,p,Q ,偏导数且,则环绕同一些洞(如图10-19)的任 ,y,x 何两条闭曲线(取同方向)上的曲线积分都相等. Y D τ OX 图10-17 Y σ OX 图10-18 227 YM Q B τ2A Pτ1N OX 图10-19 ll 证 如同10-19,设、是环绕同一些洞的两条21 闭曲线，用辅助线段AB将它们联接起来，得到闭曲线AMNABPQBA，在这条闭曲线所包围的区域上，,格林公式仍然成立，有 ,Q,P , Pdx，Qdy,(,)dz,0AMNABPQBA,,, ,x,y, 即 ，，，,0, 有 AMNAABBPQBBA,,,, ,,,, 于是. AMNABPQBll,,,,12 这就是说，环绕同一些洞的闭曲线(取正向)的积分是一个确定的常数(叫做环绕这个洞的循环常数)，若取负向，积分是循环常数的相反数. 228 利用这一结论，我们也可以简化第二类曲线积分的计算 (x4y)dy(xy)dx，，, I 例13 计算 ,C,,22x4y， 其中C为单位圆周的正向. (o,o) 解 由于C所包围的区域中有洞，因此不能用格林公式，如果直接用曲线C的参数方程x,cos,,y,sin,, 则积分比较繁锁，利用上面定理，环绕同一些洞闭曲线(同方向)的积分相同，来计算就比较方便. 1 取椭圆C:x,cos,,y,sin, 取正向，取,,01 2 为起点，为终点 ,,2, 22,p,Q,x，4y,8xy ,,由, 于是 222,y,x(x，4y) (x，4y)dy，(x,y)dx c,22 (x，4y) (x，4y)dy，(x,y)dx , c,22x，4y 229 112,,[(cos,，2sin,)cos,，(cos,，sin,)[(,sin,)]d,0, 22 Y OX 图10-20 12,,sin,,,. 0, 2 ydx,(x,1)dy I, 例2 计算 ， 其中Cc,22 (x,1)，y为 221)圆周x，y,2y 正向(如图10-20); 2)曲线正向(如图10-21). x，y,2 230 Y τ O(1,0)X2 图10-21 y 解 P,, 22 (x,1)，y x,1 Q,,, 22 (x,1)，y 22,Q(x,1),y,P ,,. 222,x,y[(x,1)，y] 22 1)在圆周 上与该圆内部，函x，(y,1),1 P,Q数具有连续的偏导 ,Q,P由格林公式 . I,(,)d,,0,, ,x,yD 2)由曲线C内部有洞(1，0), 以点(1，0) 231 22为中心，在C的内部作用圆周l 沿(x,1)，y,,,正向，充分小，使l在C的内部, , ydx,(x,1)dy由上述定理知I,, ,,22 (x,1)，y x,1，,cos,,y,,sin,,设l的参数方程是起点 ，终点, 则 ,,0,,2, ,,,sint(,sint),cost,cost22,,I,dt,,dt,,2,00,,2 , . 232