指数与指数
一、教学目标
1(理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质(
图象和性质. 2(掌握指数函数的概念,
二、重点、难点讲解
1. 指数
(1)根式
n,若x=a(n>1,且),则x叫做a的n次方根. n,N
n当n为奇数时,a的n次方根是. a
n当n为偶数时,若a>0,a的n次方根有2个,这两个方根互为相反数,即,其 ,a
n中正的一个叫做a的n次算术根;若a=0,0的n次方根只有一个,是0;若a<0,a的n次方根不存a
在(在实数范围内).
nn当n为奇数时,. a,a
(a,0), a,nn当n为偶数时, a,,(a<0). ,a,
(2)指数概念的推广
nnn,n0nn0?零指数.若运用指数运算法则,,又有,因此规定. a,1(a,0)a,a,a,aa,a,1
1nn0n0,n,n1,a,?负整数指数.若运用指数运算法则,,又有,因此规定1,a,a,a,a,ana
1n,,. a,(a,0,n,N)na
mmn,nmnn?正分数指数.若运用指数运算法则,,因此规定(a),a,a
mm,nn a,a(a,0,m,n,N,且n,1).
mmmmm0,,10nnnnn?负分数指数,若运用指数运算法则,,又有1,a,,因此1,a,a,a,a,am
na
m,11,n规定. a,,(且a,0,m,n,N,且n,1)mnmanap?无理数指数,若a>0 ,p是无理数,则a也表示一个实数(因知识的原因,教材中对具体的规定已
省略)
(3)指数运算法则
若a>0,b>0,,则有下列指数运算法则: r,s,Q
rsr,s?; a,a,a
1
rsrs?; (a),a
rrr?. (ab),ab
实际上上述法则当r,s为无理数时也成立.
2(指数函数
1xxx (1)形如y=a的函数叫做指数函数,因此都是指数函数,而(a,0,a,1)y,(),y,,3
xx均不能称为指数函数. y,2,3,y,,4
xxx (2)在y=a中,当时a可能无意义,当a>0时x可以取任何实数,当a=1时,,a,1(x,R)a,0
xx无研究价值,且这时不存在反函数,因此规定y=a中 y,1,1a,0,且a,1.
(3)指数函数的图象和性质
xa < 1 a > 1 0 < y,a
图 象
定义域 R
值域 (0 , +?)
过定点(0,1),即x = 0时,y = 1 性
定点 (1)a > 1,当x > 0时,y > 1;当x < 0时,0 < y < 1。 质
(2)0 < a < 1,当x > 0时,0 < y < 1;当x < 0时,y > 1。 单调性 在R上是减函数 在R上是增函数
x,x对称性 和关于y轴对称 ya,ya,
1xxxx(4)指数函数y=a的性质可以由的图像这三条曲线来记忆. y,10,y,2,y,()2x 由图可见,当a>1时,指数函数y=a的底数越大,
xy1xy=10()y=x2y=2它的图象在第一象限部分越 “靠近y轴”,在第二象限部分越
1x1x“靠近x轴”.又因函数y=a和y,()的图像关于y轴对称, ax101xx,x实际上,因此当0
题
题型1:根式与分数指数幂的运算
34351132,32324例1((1)15,6,5,3;(2)(3) (4) (,a)ab841682,3
题型2:指数式的化简求值
21,1,1,1032例2(1)计算: 0.25,(6),0.008,10,(2,3),(3,1);4
12n,1n,10,122 (2)计算: 2,4,(5,3),(2,1),[(1,2)]
13,,a83 (3)化简: ()6b27
41223333,a,8ab2ba,a3 (4)化简: ,(a,),2253aa,a3334b,2ab,a
3
,12,23,3例3((1)已知,求与的值 a,a,3a,aa,a
1122,,xx,,222(2)已知,求的值 xx,,333,22xx,,3
题型3:指数比较大小问题
36例4(1) 试比较的大小。 a,b,ca,2,b,9,c,51
65315183,, (2)试比较的大小。 a,b,ca,b,c,236
题型4:恒等式的证明
x,xx,xe,ee,e(),()例5:已知函数求证 f(2x),2f(x)g(x)fx,gx,22
4
题型5:指数函数的图像和解析式
xxxx例6:如图为指数函数(1)(2)(3)(4)的图像,则 a,b,c,dy,ay,by,cy,d的大小关系
题型6:指数函数的定义域与值域
1x1,()2例7:函数的定义域 y,x,1
x例8:(1)函数在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则是多少, y,a(a,0,a,1)a
x,1(2)求函数的值域, y,2
xx(3)函数在区间[0,1]上的最大值为3,求实数的值, y,4,a,2,1a
5
题型7:过定点问题:
x,2必过定点, 例9:函数y,a,1(a,0,a,1)
题型8:指数函数单调性问题
2ax,x例10:函数在区间(1,,?)上是单调递减,则实数的取值范围, y,3a
6
例11:比较大小
1,1.50.80.48(1),, c,()a,4b,82
221111333(2) (),(),()522
题型9:指数函数的综合应用
21x,6x,17例12:对于函数 y,()2
(1) 求函数的定义域,值域
2) 确定函数的单调区间 (
7
2112x,mx,x,4例13:已知对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围。 ,()mx,R2x,x22
xx,1例14:(1)方程的解 4,2,8,0
11xx,1 (2)若方程有正数解,则实数的取值范围, (),(),a,0a42
1x例15:已知 f(x),a,(a,1,x,R)xa
f(x)(1) 判断并证明的奇偶性与单调性
8
22(2) 若对任意的均成立,求实数的取值范围, x,[0,1]mf(,2x,3x),f(m,x,x),0
xa,2,1例16:设函数,且对任意,均满足。 f(x),(a,R)f(,x),,f(x)x,Rx1,2
(1) 求的值 a
(2) 求的值域 f(x)
150,f(2x,1),(3) 解不等式: 17
课后练习:
1、化简下列式子
21,1,1,1032(1) 0.25,(6),0.008,10,(2,3),(3,1);4
12n,1n,10,122(2). 2,4,(5,3),(2,1),[(1,2)]
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aaa2、.当时,的大小关系是( ) a,a,a0,a,1
aaaaaa A( B( a,a,aa,a,aaaaaaa C( D( a,a,aa,a,a
3、若函数 是奇函数~则= a
33,1122,a,a,2224、(1)已知a>0,且求的值; a,a,3,2,2a,a,3
3x,3xx (2)已知a>0,且求的值. a,a,14,a
2,,,,xx345、求函数y,2的定义域、值域和单调区间(
xx6、画出函数的图象~并利用图象回答:k为何值时~方程3,1,k无解,有一解,有两解, y,|3,1|
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