一元二次函数教案

一元二次函数 精品文档 一元二次函数教案 第二讲:一元二次方程 一、考点、热点回顾 1. 一元二次方程的四种解法: 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 2. 根的判别式: 关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0 ??b2?4ac 当??0时，方程有两个不相等的实根 当??0时，方程有两个相等的实根 当??0时，方程无实根 3. 根与系数关系 关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0 当??0时，有x1?x2??b a，xc 1x2?a 二、典型例 一、复习引入 用配方法解下列方程 6x2-7x+1=04x2-3x=52 移项，得:6x2-7x=-1 二次项系数化为1，得:x2-71 1 / 14 精品文档 6x=-6 配方，得:x2-772172 6x+=-6+ 225 12=14x-7 12=?5 1 x577?5 1=12+12=12=1 x=-5 12+7 12=7?5 12=1 26 略 总结用配方法解一元二次方程的步骤( 移项; 化二次项系数为1; 方程两边都加上一次项系数的一半的平方; 原方程变形为2=n的形式; 如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解( 二、探索新知 2 / 14 精品文档 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题( ?b? 问题:已知ax+bx+c=0且b-4ac?0，试推导它的两个根x1 =，2a22 x2 分析:因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去( 解:移项，得:ax2+bx=-c bcx=- aa bb2cb 配方，得:x2+x+=-+a2aa2a 二次项系数化为1，得x2+ b2b2?4ac 即=2a4a ?b2-4ac?0且4a2>0 b2?4ac ??04a b 直接开平方，得:x+= ?a2a 即 ?x1 x2 3 / 14 精品文档 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0的根由方程的系数a、b、c而定，因此: 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac?0时，?将a、b、 c代入式子 这个式子叫做一元二次方程的求根公式( 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法( 由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根( 例1(用公式法解下列方程( 2x2-4x-1=0 x+2=3x2 =04x2-3x+1=0 分析:用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可( 解:a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=2-4×2×=24>0 x=??2?2?? ?x1 x2 将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2 b2-4ac=2-4×3×=49>0 5? 4 / 14 精品文档 ?7 6 x1 1=2，x2=-3 将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0 a=3，b=-11，c=9 b 2-4ac=2-4×3×9=13>0 ?x=??112?3?6 ?x1 x2 a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=2-4×4×1=-7 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根( 三、巩固练习 教材P4 练习1(、、 四、应用拓展 例2(某兴趣小组对关于x的方程xm2?2+x-1=0 提出了下列问题( 若使方程为一元二次方程，m是否存在,若存在，求出m并解此方程( 5 / 14 精品文档 若使方程为一元二次方程m是否存在,若存在，请求出( 你能解决这个问题吗, 分析:能(要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足?0( 要使它为一元一次方程，必须满足: ?m2?1?1?m2?1?0?m?1?0??或??或?? m?2?0????0?m?2?0 解:存在(根据题意，得:m2+1=2 m2=1 m=?1 当m=1时，m+1=1+1=2?0 当m=-1时，m+1=-1+1=0 ?当m=1时，方程为2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b2-4ac=2-4×2×=1+8=9 x=?1??2?24 1 1(x1=，x2=-因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=- 存在(根据题意，得:?m2+1=1，m2=0，m=0 因为当m=0时，+=2m-1=-1?0 所以m=0满足题意( 6 / 14 精品文档 ?当m2+1=0，m不存在( ?当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3?0 所以m=-1也满足题意( 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得:x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-1 1( 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1;当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 五、归纳小结 本节课应掌握: 求根公式的概念及其推导过程; 公式法的概念; 应用公式法解一元二次方程; 初步了解一元二次方程根的情况( 六、布置作业 1(教材P复习巩固4( 2(选用作业设计: 一、选择题 1(用公式法解方程4x2-12x=3，得到( A( 7 / 14 精品文档 x=3??3? B( x=2 C( 3? D( x= 2 的根是( A(x1 x2 B(x1=6，x2 C(x1 x2 D(x1=x2 3(-8=0，则m2-n2的值是( A( B(- C(4或- D(-4或2 二、填空题 1(一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式是________， 条件是________( 2(当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4( 3(若关于x的一元二次方程x2+x+m2+2m-3=0有一根 为0，则m的值是_____( 三、综合提高题 8 / 14 精品文档 1(用公式法解关于x的方程:x2-2ax-b2+a2=0( 2(设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，试推导x1+x2=-bc，x1?x2=;aa?求代数式a+b+c的值( 3(某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，?那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10?元用电费外超过部分还要按每千瓦时A 100 元收费( 若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元, 会用判别式的符号解释二次函数图象与x轴交点及一元二次方程的根。 理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。 能力目标:体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。 情感目标:培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神 教学过程: 一、引入 等式ax2?bx?c?0?a?0?是关于x的一元二次方程，关系式y?ax2?bx?c?a?0?则是关于自变量x的二次函数。今天我们将进一步研究它们之间的关系。 二、新授 观察思考: 9 / 14 精品文档 1、 几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如 ?方程x?2x?3?0与函数y?x2?2x?3; 2 ?方程x?2x?1?0与函数y?x2?2x?1; 2 ?方程x2?2x?3?0与函数y?x2?2x?3。 研讨探究 问题:一元二次方程的根与二次函数图象和x轴交点坐标有什么关系 , 探究点一:二次函数图象与一元二次方程根的关系。 ?以?为例 结论:一元二次方程x?2x?3?0的判别式?,0 ?一元二次方程x?2x?3?0有两个 不相等的实数根?对应的二次函数y?x2?2x?3的图象与x轴有两个交点为，。 再研究??，能得类似的结论吗, 22 结论:一元二次方程x?2x?1?0判别式?=0一元二次方程x?2x?1?0?有两 22 等根?对应的二次函数y?x?2x?1的图象与x轴有唯一的交点为。 10 / 14 精品文档 22 一元二次方程判别式x?2x?3?0?，0 ?一元二次方程x?2x?3?0 2 方程无实数根?对应的二次函数y?x2?2x?3的图象与x轴没有交点。 联想发散 2 2、一元二次方程ax?bx?c?0根的个数及其判别式与二次函数 y?ax2?bx?c图象与x轴的位置之间有什么联系,) 思考:当二次函数y?ax2?bx?c时，是否也有类似的结论呢, 探究点二:函数的零点 一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的的实数根就是二次函数y?ax2?bx?c的值为零时自变量的x的值，也就是二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交点的横坐标，因 2 此一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的的实数根也称为二次函数 y?ax2?bx?c?a?0?的零点。 一般地，对于函数y?f，把使f?0的实数叫做函数y?f的零点。 函数y=f的零点、方程f=0的根、函数y=f的图 11 / 14 精品文档 象与x轴的交点的横坐标之间的关系: 函数y?f的零点?方程f?0实数根?函数y?f的图象与x轴的交点横坐标。 探究点三:函数的零点的求解与判定 练习:说出几个具体一元二次方程的根并指出其相应的二次函数的零点情况: 2 ?方程x?2x?3?0与函数y?x?2x?3; ?方程x?2x?1?0与函数y?x2?2x?1;2 ?方程x?2x?3?0与函数y?x?2x?3 x 2 注:函数的零点是数，不是一个点。 并不是所有函数都有零点。 例1、 求证:一元二次函数 y?2x?3x?7有两个零点 小结:函数零点的求解与判断 ?求方程 f=0的实数根; ?对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f的图象联系起来，并 利用函数的性质找出零点( 例 如图是一个二次函数y?f的图象。?写出这个二次函数的零点;?写出这个二次函数的解析式; 12 / 14 精品文档 ?试比较ff，ff与0的大小关系。 2 解:?由图象可知此函数的零点是:x1=–3，x2=1。 ?由?可设f=a ?f?4?a?1 ?f??。 即这个二次函数的解析式为f??x2?2x?3。 ??f??5,f?4,f?3,f??5， ?ff??20，0，ff??15，0。 设问1:已知二次函数f的图象，判断f、f、f、f与0的大小;如果 开口向下呢, 设问2:如果二次函数y,f的零点是,1和5，如图3，试判断ff、ff 与0的大小。 设问3:如果不知道二次函数y,f的零点，但是有ff 得出什么样的结论,你能否画出它的大致图像,根据图像你能够得到什么样的式子, 结论:如果二次函数y=f对于实数m,n,m 得f=0,即函数在区间上有一个零点. 2 2 不求a、b、c的值，可以判断方程ax?bx?c?0的两根所在的区间是 ?A???3,?1?和??1,1? ?B? ??3,?1? 13 / 14 精品文档 和?2,4? ?C? ??1,1?和?1,2? ?D? ???,?3?和?4,??? 三、课堂小结 ?函数零点与方程根的联系; ?一元二次方程根的分布与函数图象之间的关系及处理方法; ?本节课运用了哪些数学思想方法. 四、作业 课本 P81习题1、2。 备用:若方程2ax2?x?1?0在?0,1?内恰有一解，则a的取值范围是 ?A?a， ?1 ?B?a，1?C? ?1 ，a，1?D?0?a,1 解:设f?2ax2?x?1 由题意得:ff,0 ?,0解得a，1 ?选B 14 / 14