计算定积分

计算定积分 sinx其次估计这个近似值的精确度，在的幂级数展开式(第四节(8)式)中 ,令，得 x,20 357111,,,,,,,,,,, sin,,，,，...,,,,,,20203!205!207!20,,,,,, 等式右端是一个收敛的交错级数，且各项的绝对值单调减少，取它的前两项之和 ,作为的近似值，其误差为 sin205111,,, 50.2，，r,,,,,,25!20120300000,,3,,,,因此取 ,0.157080,,0.003876,,2020,, 0于是得 sin9,0.15643 ,5这时误差不超过 10 利用幂级数不仅可计算一些#数#值的近似值，而且可计算一些定积分的近 似值，具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则把这个幂级数 逐项积分，用积分后的级数就可算出定积分的近似值。 例4 计算定积分 122,x2 edx,0, ,,1的近似值，要求误差不超过0.000 1,,0.56419, 取,,,,, x2,xe解 将的幂级数展开式(第四节(7)式)中的换成，就得到被积x 函 数的幂级数展开式 232222，，xx，，x，，,,,,xe,1，，，，... 1!2!3! n2n,x 1，，，，,,,,,x,，,,!nn,0 于是，根据幂级数在收敛区间内逐项可积，得 n221，，11xn,,2 ，，,2,edxxdx22,,,,,!,,nn00，，,01n21,，，,2 n 2xdx,,,!,0n0n,1111,, ,1,，,，...,,246,2,32,5,2!2,7,3,, 取前四项的和作为近似值，其误差为 226 111 r,,4n90000294!,,, 所以 121111,,22 ,x,,，,edx1,,,246,0,,,,,,,23252!273!,, 122,r2算得 edx,0.5205.,0, 例5 计算积分 1sinx dx,0x 的近似值，要求误差不超过0.0001. sinxx,0,解 由于lim1 ，因此所给积分不是反常积分.如果定义被积函数在处x,0x 的值为1，则它在积分区间0,1上连续. ,, 展开被积函数，有 246sinxxxx ,,，，，,,,,，,1...().xx3!5!7! 0,1在区间上逐项积分，得 ,, 1sin111x dx,,，,，1...,0x3.3!5.5!7.7因为第四项的绝对值 11,, 7.7!30000所以取前三项的和作为积分的近似值: 1sin11xdx,,，1, ,0x3.3!5.5! 1sinxdx,0.9461.算得 ,0x 二、欧拉 设有复数项级数为 uivuivuiv，，，，，，，...... ， (1) ，，，，，，1122nn uvn,1,2,3,,,,,其中为实常数或实函数.如果实部所成的级数 ，，nn uuu，，,,,，，,,, (2) 12n u收敛于和,并且虚部所成的级数 vvv，，,,,，,,, (3) 12n 227