数学问题解决

数学问题解决 数学问题解决 体验成功教育 海盐高级中学 卢明良 海盐高级中学 王鹏峰 【摘要】本文就学生对数学问题的解决，使学生体验到成功的快乐。当今社会竞争的日益激励，学生要适应这个环境，让学生受一定的挫折和困难也是必要的，但同时也更让学生接受成功的快乐更为重要，失败后的成功更让人回味无穷，所以，学生探索数学问题，解决数学问题，来感受问题解决的成功喜悦。 【关键词】数学问题 成功教育 一:成功教育的背景与数学问题的实践 上海闸北八中校长刘京海倡导的一种新的理论和方法，旨在使学习困难学生获得诸方面成功的一种教育。让学生感受到成功的快乐，能促使学生更有效发展自己的潜力。在平时的教育中，各种各样的挫折是学生无法避免的，有时也让学生刻骨铭心，而有时有意无意的成功却容易被教师、学生所忽视。怎样去克服这种被动局面,我以为让学生在数学问题的解决过过程中接受和体验学习的快乐，也是符合学生的心智发展。 ?成功教育的背景与数学问题的实践必要性:在数学问题的解决的过程中，无法避免地会遇到挫折，历经挫折和每一点成功，都是每一个学生的一种体验,令人欣慰。因而问题解决中教师对学生的鼓励、赞赏，让学生感悟成功。 ?成功教育的背景与数学问题的实践时代性:当前的教育指向全体学生，人人发展，教育为学生的终身教育作准备和服务。在一系列的解决问题过程中，经受着失败的考验;同时也经历成功的交织体系。时代要求学生必须学会学习，即解决问题获取知识的能力，而一个个问题的解决的源动力之一是不断地成功，不会一直的失败，否则会失去学生学习的动力。 数学问题与数学问题的解决 ,,,,年美国数学教师联合会给第四届国际数学教育大会提交了一份纲领性:《关于行动的议程——关于,,年代中学数学的建议》(这份文件明确地指出，“问题解决是,,年代学校数学的核心”(第一条)，“数学课程应当围绕问题解决来组织”，“数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境”，“在问题解决方面的成绩如何，将是衡量数学教育成败的有效标准”(由此在世界各国掀起了以数学问题解决为主题的一系列数学教育改革和研究的热潮(我国数学教育工作者纷纷对此积极倡导和探索(张乃达先生指出“数学教育应该以解题为中心”，“解题教学正是达到教学目的的最好手段”;张奠宙先生在总结我国数学教育历史经验的基础上，认为“以问题解决为主导”是改革我国数学教育的突破口;张国杰先生也提出问题解决将对数学教育与数学学习、对改善数学差生、对中考高考试题的改革等显示出它应有的威力。所以研究和实施数学问题的解决有现实的意义。 问题解决的英文是problem solving，是心理学研究领域的一个老课题，不同的流派对它持有不同的观点。早期行为主义派别在研究条件反射时把桑代克的猫逃出迷箱和动物学会走迷宫称为问题解决。格式塔学派认为问题是完形上的缺口，强调顿悟式解决问题。1996年奥苏伯尔和鲁宾逊提出这样一个问题解决模式，把问 1 题解决分为四阶段:1:呈现问题情境命题。2:明确问题目标与已知条件。3:填补空隙过程。4;解答之后的检验。 数学问题的客观陈述和解题者对问题客观陈述的理解，一般认为问题解决是一种以目标定向的搜寻问题空间(信息加工心理学根据个人的问题起始、中间和目标状态的不同把问题空间分成四种)的认知过程，这一说法包含四个要点:目标定向(必须有目标)、在头脑内或认知系统中进行(不包括动作技能)、包含一系列心理运算(不能过于简单)、个人化的(对于不同的人过程不同)。 一般来说，问题解决分为四步:问题表征、解题、执行解题计划和监控。在不同学科中，不同的知识在解题过程中作用也不同;专家和新手解决问题能力存在差异。加涅指出，最高级的智慧技能:高级规则可以通过解决问题来习得;创造--最终产生新的有社会价值的成品的活动或过程，则是解决问题的最高形式。而培养学生的创造力和创造精神，一直是教育所追求的目标之一方法解决问题。 数学问题的涵义，关于“数学问题”的定义概括为四种类型:(,)数学问题是一种需要行动的情况(代表人物:波利亚、贝尔等);(,)数学问题是一种题系统(奥加涅相，戴再平等);(,)数学问题是一种情境(曹才翰等);(,)数学问题是一种集合(斯托利亚尔等)(通常人们采用的数学问题的定义是:对人具有智力挑战特征的，没有现成方法、程序或算法可以用数学的方法可以研究并能解决的问题。 数学问题解决的涵义，以思考为内涵，以问题目标为定向的心理活动或心理过程，是指人们在社会实践和理论学习中，面临新情境、新课题，而这些新情境与新课题用已有知识不能直接解决，并且自己没有现有对策、答案或解决方法时，所引起寻求处理问题的一种紧张心理活动。具有某种程度的创造性。 探索数学问题的解决过程中主要有二种形式:试误与顿悟 二:课堂教学中如何实施处理数学问题，让学生体验成功。 (,)数学问题解决的目标正确定位，把握好体验成功的尺度 不同层次学生，采用合理的分层教学。不同学生解决问题的敏捷性、严密性、逻辑性不尽相同，学生对成功的渴望也不同，高中教学具有双重的任务,为高一级学校输送优秀人才和为社会培养合格的劳动者。教学目标的下限是达到会考合格的要求，对学生定一个目标，以达成目标，同时发展目标，超越自我，超越他人，不同水平的学生确定其达到的最近区域目标，学生往往能达到这一目标而获得成功，为下一步提出远景目标打下基础，准确地定位，提出的下一个目标，要有利于适合学生的各人的特点，由成功走向成功，转化成一个良性循环，不要形成学习过程中的反复失败而形成失败者的心态。成功教育就是帮助学生成功来强化学生学习动机的启动和形成学生学习的内部动力，以鼓励表扬为主的成功教育，适合于学生的心理特点，通过一次次的不断成功，提高了学生学习的积极性，从而为提高数学成绩打下基础，当然不同的学生对同一题有不同的期望，不同的问题对同一学生有不同的思考与反应。 (,)教学中调整认知策略，调整教学要求和进度，为成功体验创设条件 教学现状中对学生数学问题的解决有三种不利状况。其一:已经带过几届高考 2 的老教师对有关知识能力和要求比较清楚，往往从高一起就主张一步到位，强调与高考接轨，因而往往起点要高一些。其二:年青教师，由于对教材不熟悉或对教材整体把握不够准确或因为研究教材缺乏力度，认为教材比较简单而进度较快或盲从老教师而加大难度，达不到教学目标或超纲等等。其三:普高一味地跟重点高中作参照，各类教学参考资料往往以重点中学作比照，学生因为参考资料常造成学习困难。因而我认为要从学生较合理的认知角度出发，对学生调整教学要求和进度，同时教师也要提高自己的认知任务和认识现状。从学生的具体情况出发，不可盲目与盲从，有的放矢。数学教学中对数学问题的解决是衡量学生的数学水平的一介重要指标，学生从所给出的问题情境中辨认出模式，是一个主动积极的思维过程，如何开展这个思维过程，并能有效地完成对问题的解答是一个难点，学生在解决数学问题，从已有的知识获取灵感与解题思路，需要平时的不断积累，所以作为教师，要调节好教学的进度，帮助学生创造出一个客观的学习氛围，一个循序渐进过程。教师的引导起一个重要作用，从各个环节抓起，重视学生的学习习惯的培养，能力的训练，从而完善数学问题解决的内部机制。让学生能充分感受在学习中获得成功的快乐。 (,)教师宏观把握，学生具体分析，寻找成功的渠道 解决问题的起点是教师的引导开始，教师在宏观上加以把握，定好基调，让学生加入进来，到这条路子上来，把学生领进门，再让学生独立思考，教师的指导作为学生创设学习的情境，启迪思维，引导方向，比如采用一种一石激起千层浪手法，提出一个问题，让学生提出数学问题来，再让另外的学生来解决，或教师提出一个方法，让学生对应内容来编出一些类似问题，采取分组交流等。如在讲函数的单调性，教师复习单调函数的定义之后，例举: 问:求函数y,x,3x，2的单调递增区间。 由此引出对函数单调性的讨论及变形。 2xx,，32 学生甲:2y, 21x,3x，2 学生乙:y,()2 显然学生自然可以想到如下的问题: 2，， 学生丙:求函数y,lgx,3x，2 2xx,，32，， 学生丁求函数:logy,a 从学生的认知角度出发，层层递进，进一步来巩固函数单调性区间的求法。也体现学生的主动性与参与性，学生是学习的主体，从学生中来，到学生中去，学生也乐于接受，也感受到学习所带来的愉悦，体会成功之路并不复杂和艰苦，只要参与与努力是每一个人都能达到的，并不是不可逾越的。 (,)实行“小步子”、“多活动”，数学问题解决分步实施，让学体验成功之路。 3 了解学生，从实际出发，要考虑学生对数学问题解决的习惯认识，学生对知识往往单列起来，然后再重组，这时小步走，有利于学生对知识把握，将新知纳入知识渠道，融入已知的知识体系中去。这种过程常常是对理论的认识和理解，通常还要结合图形来教学，图形较直观，易让学生理解，借助图形有利于问题的解决，直观教学也越来越受到重视，最后把数形结合起来综合分析，让学生感到对自己了解比较清晰，感到有这个能力去解决数学问题，当然跨出的一步只能是一小步。让学生找到对数学问题解决的信心。学生的每一个问题的解决都带有一定的创造性。不管是对是错、是简是繁都要合理地予以分析。高中数学教学中学生较缺乏活动，往往老师讲得多，学生活动少。新大纲中已经指出要加强学生的交流合作。所以多活动，让学生自己动手解决问题才是最终目的。往往学生对问题的解决多有一种自我激励作用。所以在活动中体现，在活动中感悟成功的喜悦。让学生从成功走向成功。 (,)充分应用评价机制，激励学生对数学问题解决，使学生积累成功的经验 改变评价方式与机制，不是简单地分数或等级制作定论。一次次把测试、分数、等第的划分常会伤及学生的学习动力。适当调整，如课堂中提问题，对学生的评价不能简单地说对、错。应加以考虑学生的具体情况及当时本身问题的情境。调查表明在大多数环境中，人是愿意接受表扬。即使有时的错误，也要态度温和才易让接受，因而面对学生更要多地加以表扬，尤其是在正确时，应充分抓住机会。激励学生勇敢、大胆地尝试对数学问题的解决和质疑。进行阶段性评价，这个阶段可以是学习过程时间上的阶段:如一个单元，一个章节的评价，也可以是解题过程阶段的评价，尤其上课提问，暴露学生思维过程中应加以适当评价鼓励。 如学生在参与知识形成的评价，在评价中学会实践。比如两个非零向量共线的充要 ,,中λ的意义是什么,方向,大小, 条件，，a,,b,,0 又如学生参与对错误解法的剖析，在评价中学会对思维的监控和反思;如: 将四封不同的信随机投入到,个不同的信箱中，试求,个信箱都不空的概率。 试看下面的解题过程并评价: 4由于每封信都不得有,种不同的投法，因此事件总数为，“设每一个信3,81箱都不空”为事件,，第一步从,封信中取出,封投入到,个不同的信箱中共有 31AC8133143()种投法，第二步投剩下的,封是，于上共有，所以 ACACPA,,3443493 点评上述解题中的失误原因，在数学问题解决过程中评价，学会比较与优化解题方法等。 三、研究性学习中数学问题解决与成功体验 研究性学习已纳入数学教学之中。主要注意思维过程，对问题探索，重知识的运用，对各类问题提出解决的方法或。在新大纲中也明确提出研究性教学在数学教学中的地位。要让学生感悟到数学问题解决的过程美，感受到问题解决的创造美，从而体验数学问题解决美的自然感受。试看下面的实例:酒杯中的数学问题 4 问题一:张华同学家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形，称之为直角酒杯(如图,)，另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽,,,，杯深,,,，称之为抛物线酒杯(如图,): 一次张华在游戏中注意到一个现象，若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，则任何玻璃球都不可能触及酒杯杯底(直角顶点)，但若将这些玻璃放入抛物线酒杯中，则有些玻璃球能触及酒杯底部(抛物线顶点)。张华想用数学知识研究一下，当玻璃的半径,为多大值时，玻璃球一定能触及底部。你能帮助张华解决这个问题吗, 问题二:张华在酒店里又见到了一种轴截面近似大半个椭圆的椭圆形酒杯，测量后得知杯口宽敞,,,，杯深为,,,，中间最宽处距杯底为,,,(如图3)，请你帮助张华研究一下，如果将一个玻璃球放入杯中，玻璃球的半径,为多大时，玻璃球一定会触及这种椭圆酒杯的杯底 问题三:设想在抛物线酒杯或椭圆形酒杯中放入一根粗细均匀，长为2，假设细棒的端点与酒杯壁之间的摩擦忽略不计，试问细棒最后到平衡状态时的位置(如图,)。 对这里的实际问题，首先转化为一个数学问题，然后进行研究，利用数学中解析几何问题加以解决。问题也比较实在，也易让学生感受这一实际情形，在解决的过程中体验研究成功的快慰。在上述几个问题中，只要适当建立坐标系求出方程 12问题一建立坐标系以杯底中心为原点则抛物线方程为,于是,,,　xy　2 10可得　,r,4 20同样可以得到问题二的结论0,R, 9 这种把实际问题数学化本身对学生来说也具有很大的吸引力，教师通过指导学生开展讨论，总结并展示研究的成果，也一定受学生的欢迎，在做中学，在活动中享受成功的喜悦，从成功走向成功。 四、合作交流，促进数学问题解决，感受成功的快乐 合作交流已作为大纲的要求，也是数学问题解决的一条重要途径，促进学生终身教育的极佳途径。也是学生走向社会，适应社会的手段和方式。经过合作与交流，也感受交流与合作的重要性，有助于对问题的解决，也让学生体验合作交流对成功的快感。 (1)合作交流对数学问题解决的促进作用。小组合作，分组讨论交流，已作为教学的一个新型模式在应用。对一些教学问题，分小组合作，各人提出不同方法， 5 各个角度。寻找一条比较适合的解决方法。瞄准目标，设计思路，然后分头解决，最后交流，总结提炼出最后的解决途径与思路。 (2)合作交流中应让学生人人参与，让学生在活动中得到成功的快乐。弗兰登培尔指出数学是大众的数学，数学教学是应有一个让每个人都能达到数学，而不是高不可攀，所以人人参与其中，不能只注重几个学生，在合作中让学生每个要发表见建，在交流中充分发挥每个学生的能量，如让平时比较沉默的学生来表达出小组中的情况来提高表达能力和善言的能力。从中感受到数学课堂教学的轻松和快乐， (3)合作交流中数学问题解决也需注意几个问题，提高成功的质量。 合作与交流已作为新大纲的一个要求，也是数学问题解决的一个重要方法与途径，促进学生终身教育的有效方法。但也要注意几个问题，防止出现负面影响;如(,)数学交流与合作的多样性;(2)数学交流与合作的全面性;(3)数学交流与合作的广泛性。 五、调节数学问题解决的影响因素，让成功教育突围: (,)问题情境因素: 问题的不同类型及难度，是影响个体问题解决的重要因素,问题大体上三种类型:?安排在各小节的练习，基本题?每章每一单元教材之后的“习题”;课内或课外作业?每章末的“复习参考题”巩固性训练性的，常可分成A、B两组,从类型上来说,有是非题,选择题,填空题,计算题,证明题等,对于简单计算、混合运算、应用题等，往往由于情境因素的不同会影响到数学问题的解决，有时也会因为在训练时由于呈现的先后也会影响到问题的解决，新教材中将复习题分成,组,组题，,组题供总复习本章知识或复习全书时用，,组题供学有余力的学生用，所以教师在给学生的问题要充分考虑这些因素，这有利于学生对数学问题的也有助于学生获得成功。 (,)学生的个人特征: 知识经验基础:数学问题的解决是以已有知识的掌握及运用知识的经验为基础，对掌握的基本知识与基本技能越牢固，对问题的解决越容易，因为对题目的理解与分析，依靠这些能力，也只有有了这样的知识面积累，才会有成功的可能。教师平时就应注重对基础知识的剖析，让学生形成一个良性循环。 学生的学习目的明确，兴趣浓厚，毅力强，这样的学生往往容易获得成功，各类学生表现出的学习情况也不尽相同，学生的非智力因素对学生的问题解决的促进作用是明显的，意志坚定，有较强信念的学生在遇到困难时会知难而进，也易获得成功，否则只能浅尝辄止，遇到困难就退缩，获得成功也不易，所以教师要创设一个良好的教学环境，锻炼学生的意志品质，形成一个良好的竞争机制。 学习能力有一定的差异，这也导致教师教学中产生一定困难，学生对数学这一高度抽象化材料的认识能力与已有的知识经验相匹配和整合认识能力，逻辑思维能力的提高与空间认识能力空间想象能力的建立，运算能力的高底等这些能力也是高中学生所必备的也是高考所要求的，既然学生差异性是存在的。这就需要教师如何来组织教学，分组讨论，小组交流等各种不同形式，同时对问题的解决还应作出适当的正确的评价。综合各类因素，才能较好地完成数学问题的解决，也能获得最大 6 的成功之快。 (,)问题解决中的认知策略 解决数学问题是人用来调节他们自己的注意、学习、回忆和思维的技能的一种综合能力的反应。在这一认知过程中，教师要调整策略，让学生配合一起完成教学任务，提高学生的综合实力。常用策略:突破常规的创造性思维，改变思考问题的方向，多角度，多方位考察问题，认清问题要点，联系条件和结论的关系等等。改变学生认知过程中的不良定势:刻板，固定，只有教师的讲，没有学生的参与的模式，灵活多变的教学方法与手段来提高学生的学习兴趣和韧劲。教师的改变方法的直接结果是增强和提高了学生应变能力。识别问题的能力、解决问题的能力。从而也让成功教育胜利突围。 急需改变的问题是: (,)针对学生特点和存在的心理状况，变“灌式”为“接受式”，从“不愿”到“爱学”克服过程中的排斥与挖苦，让不同学生发表不同观点，共同研究与探讨问题，从而过成问题的胜利解决。 (,)注意师生感情交流，教师的知识点拨，促使不同层次解决不同层次的数学问题，让各个层次的学生都不得能体验到成功。当前在应试教育中，如何作好数学问题教育与成功的体验,摆正位置，在进步,退步,问题的症结又是什么,这些之间是否有矛盾，相互促进，相互提高。这都有待于大家一起讨论研究。 六、成功体验对数学问题解题的促进作用 二者相互相承。数学问题的解决有利于学生获得成功体验，反之，成功体验有利于对数学问题解决，激发学习兴趣，提高学习数学的毅力，对学习数学充满自信。 成功体验的情景:学生的成绩差异很大，从高中学生来看，原来在初中的领先优势失去，高中的学习竞争更加激励。学习科目增加，因而对数学问题的解决是每一个学生的重任。如何去激起学生来投入到爱数学中去，针对这种状况，成功教育体验就不失一种新的思路。用成功来塑造更大成功，用成功来解决更多的数学问题。 成功教育体验也需要与知识的结合，在数学问题解决的过程中能很好的反映出来。当一个问题被解决了的时候，学生会更加投入其中，也会更加相信自己能够较好地完成学习任务。 展望成功教育体验与数学问题解决的前景。我们不难看到，只要合理地控制各把握好，学生的学习积极性必然会调动起来，也更有利于数学教学的进一步发展，我们也期待着这么一天的到来。 参考资料 马忠林 数学学习论 广西教育出版社 邵瑞珍 学与教的心理学 华东师范大学出版社 林崇德 教育的智慧 开明出版社 7 8