平行四边形的判定定理

课 ?8(1(2 平行四边形(二) 教学目标 (一)教学 1(推理论证能力的培养( 2(能够用综合法证明平行四边形的判定定理( )能力训练要求 (二 1(经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力( 2(能够用综合法证明平行四边形的判定定理( 3(体会在证明过程中所运用的类比、转化、归纳等数学思想方法( (三)情感与价值观要求 1(通过猜想、证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学 态度和积极参与的主动精神( 2(体会在解决问题的过程中，如何与他人合作交流( 教学重点 平行四边形的判定定理( 教学难点 探索、寻找判定定理( 教学方法 探索、归纳法( 教学过程 I(探索、寻找平行四边形的判定定理 ?(解决问题: [师]上节课我们研究了平行四边形的性质定理(下面我们来做一练习以复习上节课的 知识( 如上图; (1)若四边形ABCD是平行四边形，则?A, ，?B ; (2)若四边形ABCD是平行四边形，则AB= ，BC, ; (3)若四边形ABCD是平行四边形，则AB CD; (4)若平行ABCD的对角线AC、BD交于点O，则OA, ，OB= . [生]若四边形ABCD是平行四边形，则?A,?C，?B,?D;AB,CD，BC,AD;ABCD; OA,OC，OB,OD; [师]任何一个命题都有逆命题，那大家来想一想:对于上述四个性质，你想到了什么? [生甲]若?A,?C，?B,?D，则四边形ABCD是平行四边形( [生乙]若AB,CD，BC,AD，则四边形ABCD是平行四边形( [生丙]若ABCD，则四边形ABCD是平行四边形( [生丁]若四边形的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB,OD，则四边形ABCD是平行四边形( [师]由此我们得出平行四边形可能的判别条件，这些判别条件成立吗? 这节课我们就来研究平行四边形的判定定理( [师]刚才我们得出四个猜想，它们对不对呢?能不能用它们来判定平行四边形呢?如果能判定，你能证明吗?如果不能判定，那请你举出反例(下面我们分组来讨论( [生甲]因为任意一个四边形都可以由一条对角线把它分成两个三角形，而一个三角形的内角和为180?，所以由此可知，四边形的内角和为360?(即?A+?B+?C+?D,360?(因为?A=?C，?B,?D，所以就可得?A+?B,180?，?B+?C,180?(利用平行线的判定定理可知:AD//BC，AB//CD(再利用平行四边形的定义可以得到:四边形ABCD是平行四边形( [生乙]因为研究平行四边形的主要辅助线是对角线，所以我连结AC(因为AB,CD，BC=AD，所以根据全等三角形的判定定理:“三边对应相等的两个三角形全等”得?ABC??CDA，因为全等三角形的对应角相等，所以?DAC,?ACB，?BAC,?ACD(利用平行线的判定定理可以得到:AB//CD，BC//AD(根据平行四边形的定义得到:四边形ABCD是平行四边形( [生丙]证明第3个命题时，我同样连接了对角线(如下图，连结AC，因为AB//CD，所以?1,?2，又因为AB,CD，CA,AC，所以?ABC??CDA，所以?3,?4，所以得AD//BC，因此，四边形ABCD是平行四边形( [生丁]老师，我们已经证明了第2个命题是正确的命题，就可以把它作为定理直接应用，所以，我们组在证明第3个命题时，也证明三角形全等，只是最后利用了:“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来证明四边形ABCD是平行四边形，即?ABC??CDA(?BC,DA( ?AB,CD，?四边形ABCD是平行四边形( [生戊]对于第4个命题我们也通过证三角形全等，得证了四边形ABCD是平行四边形(即 如图，?OA,OC，?1,?2，OB,OD， ??AOB??COD， ?AB,CD( 同理可以证明:BC,AD( ?四边形ABCD是平行四边形( [师]很好，通过同学们的讨论、证明、说明平行四边形的性质定理的逆命题都是正确的(这时我们把它们叫做平行四边形的判定定理( 定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形( 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形( 定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形( 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形( [师]刚才我们通过口述证明了以上四个命题是正确的，大多数同学是应用了平行四边形的定义来证明的;也有少部分同学先用平行四边形的定义证明一个命题是正确的，然后利用它来证明其他命题，这很好，这也就开阔了你的思路(下面大家来书写一下证明过程( „„ [师]同学们来交流一下你的证明思路( (也可以把学生的证明过程用幻灯片来演示，一来发现错误，以及时纠正;二来开阔同学们的思路) [师]我们有了这四个定理后，在做题时要根据题目条件从中灵活选用方法来解题(下面我们来做一做( 证明:如图中的四边形MNOP是平行四边形( [生甲]从图中可知，?MON是直角三角形，而每边长又用数或代数式表示(要证四边形MNOP是平行四边形，需要知道这个四边形的四条边长，由此想到在Rt?MON中利用勾股定理列出方程，即可求出边长，结论自然就明白了( [生乙]顺着甲同学的思路，解答如下: 222 解:在Rt?MON中，OM+ON,MN( 222 即4+(x-5),(x-3)( 整理，得 4x,32， 解得 x=8( 从而可得:ON=3，MN,5，PM,3( 所以MN,PO，PM,ON( 因此，四边形MNOP是平行四边形( [师]很好，这是一个综合运用勾股定理、方程、平行四边形的判定定理进行推理的问题，由此我们也看到了代数与几何的联系，同学们能想到用代数的方法来解决几何问题，我很高兴，为你们感到自豪( 接下来，我们通过做练习进一步巩固平行四边形的判定定理( 例2(如下图，已知在平行四边形 ABCD中，BF,DE( 求证:四边形AFCE是平行四边形( 证明:在 ABCD中，AB,CD,AB//CD( ?BF,DE， ?AF,CE( ?四边形AFCE是平行四边形( (也可以证:AE,CF，CE,AF;或证:AE//CF;或证明对角相等) ?(课堂练习 然后小结( ?(课时小结 本节课我们主要探讨并证明了平行四边形的判定定理、课本以“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”和“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这两个定理为主，以其他两个为辅，但我们都要掌握，并且在解题过程中应灵活应用( ?(课后作业 ，大多数同学是应用了平行四边形的定义来证明的;也有少部分同学先用平行四边形的定义证明一个命题是正确的，然后利用它来证明其他命题，这很好，这也就开阔了你的思路(下面大家来书写一下证明过程( „„ [师]同学们来交流一下你的证明思路( (也可以把学生的证明过程用幻灯片来演示，一来发现错误，以及时纠正;二来开阔同学们的思路) [师]我们有了这四个定理后，在做题时要根据题目条件从中灵活选用方法来解题(下面我们来做一做( 证明:如图中的四边形MNOP是平行四边形( [生甲]从图中可知，?MON是直角三角形，而每边长又用数或代数式表示(要证四边形MNOP是平行四边形，需要知道这个四边形的四条边长，由此想到在Rt?MON中利用勾股定理列出方程，即可求出边长，结论自然就明白了( [生乙]顺着甲同学的思路，解答如下: 222 解:在Rt?MON中，OM+ON,MN( 222 即4+(x-5),(x-3)( 整理，得 4x,32， 解得 x=8( 从而可得:ON=3，MN,5，PM,3( 所以MN,PO，PM,ON( 因此，四边形MNOP是平行四边形( [师]很好，这是一个综合运用勾股定理、方程、平行四边形的判定定理进行推理的问题，由此我们也看到了代数与几何的联系，同学们能想到用代数的方法来解决几何问题，我很高兴，为你们感到自豪( 接下来，我们通过做练习进一步巩固平行四边形的判定定理( 例2(如下图，已知在平行四边形 ABCD中，BF,DE( 求证:四边形AFCE是平行四边形( 证明:在 ABCD中，AB,CD,AB//CD( ?BF,DE， ?AF,CE( ?四边形AFCE是平行四边形( (也可以证:AE,CF，CE,AF;或证:AE//CF; 或证明对角相等) ?(课堂练习 (一)课本P 78 (二)看课本P,然后小结( 77 ?(课时小结 本节课我们主要探讨并证明了平行四边形的判定定理、课本以“两组对边分别相等的四 边形是平行四边形”和“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这两个定理为主，以 其他两个为辅，但我们都要掌握，并且在解题过程中应灵活应用( ?(课后作业 (一)课本P 87