点 面 线

专题十二 化归与转化的思想 【考点聚焦】 转化与化归思想是指把待解决的问题通过转化归结为在已有范围内可解的问题的一种思维方式． 应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化。常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等。 【自我检测】 1．（2006辽宁）设集合 ,则满足 的集合B的个数是（ C ） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8 2．函数f(x)=x3–3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围是 .00， －1< <2， af（－1）=a（－a－3）≥0， af（2）=a（2a+3）≥0． 解得实数a的取值范围为［-3， ］． 图1 【评析】 本题体现了函数与方程的转化、数与形的转化，直观明了． 问题2 空间与平面的转化 例2 如图2所示，图（a）为大小可变化的三棱锥P－ABC． （1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直角梯形P1P2P3A，如图（b）所示．求证：侧棱PB⊥AC； 图2 （2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中PA=AC，PB=2，求侧面PAC与底面ABC所成角； （3）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定其展开图刚好是一个三角形P1P2P3，如图（c）所示．已知P1P3=P2P3，P1P2=2a，若三棱锥相对棱PB与AC间的距离为d，求此三棱锥的体积． 【解】（1）在平面图中P1B⊥P2B，P2B⊥P2C．故三棱锥中，PB⊥PA，PB⊥PC，∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC． （2）由（1）在三棱锥中作PD⊥AC于D，连结BD．由三垂线定理得BD⊥AC，∴∠PDB是所求二面角的平面角，在展开图中，连BP3得BP3⊥AC，作AE⊥CP3于E，得AE=P1P2=4． 设PA=AC=x，则P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，CE=EP3= = ，∴EP3=2． 故CP3= ，P2P3= ，由AC·DP3=CP3·AEDP3= ，又BP3=eq \r(BP\o(2,2)+P2P\o(2,3))=6，∴BD= ． 在△PDB中，cos∠PDB= ， ∴侧面PAC与底面ABC所成的角的大小为arccos ． （3）在平面图中，由剪法知，A、B、C分别是三角形三边的中点． 由此得：AB=BC，AC=a．在三棱锥中，取AC中点D．连PD、BDAC⊥PD，AC⊥BD，故AC⊥平面PDB，且D到PB的距离为异面直线PB与AC之间的距离d， ∴S△PDB=eq \f(1,2)ad，∴V= a2d． 【评析】 立体几何中有关位置关系的论证实际上是位置关系的相互转化，有关空间角的计算总是转化为平面内的角来求解． 问题3 未知与已知的转化 例3 对任意函数f(x), x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下 ①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0)； ②若x1 D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去。现定义 （1）若输入x0= ，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项； （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值； （3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn＜xn+1；求x0的取值范围 分析：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目，解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言 解：（1）∵f(x)的定义域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞) ∴数列{xn}只有三项， （2）∵ ,即x2–3x+2=0 ∴x=1或x=2，即x0=1或2时 故当x0=1时，xn=1，当x0=2时，xn=2（n∈N*） （3）解不等式 ，得x＜–1或1＜x＜2 要使x1＜x2，则x2＜–1或1＜x1＜2 对于函数 若x1＜–1，则x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2 若1＜x1＜2时，x2=f(x1)＞x1且1＜x2＜2 依次类推可得数列{xn}的所有项均满足 xn+1＞xn（n∈N*) 综上所述，x1∈(1,2) 由x1=f(x0),得x0∈(1,2) 评析：本题主要考查学生的阅读审题、综合理解的能力，涉及函数求值的简单运算、方程思想的应用，解不等式及化归转化思想的应用 专题小结 1．掌握转化和化归的思想方法，在运用时应注意用“变换”的方法解决数学问题，依据问题本身提供的信息，去寻求有利于解决问题的变换途径和方法，进行合理的选择． 2．转化时要注意转化的方向性，使转化的目的明确，以致解题思路自然流畅，此外还要注意转化前后的等价性． 3．在训练中应重视数学化归思想，强化在解决数学问题中的应变能力，提高解决数学问题的思维能力和技能． 【临阵磨枪】 1．已知两条直线l1:y=x,l2:ax–y=0，其中a∈R，当这两条直线的夹角在(0, )内变动时，a的取值范围是( ) A．（0，1） B．（ ， ） C．（ ，1）∪（1， ） D．（1， ） 2．（2006年江西卷）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若 EMBED Equation.DSMT4 ，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ ） A．100 B. 101 C.200 D.201 3．若 ，则 的值为( ) A．0 B．-1 C．1 D．2 4．（2006年上海卷）若关于 的不等式 ≤ ＋4的解集是M，则对任意实常数 ，总有（ ） （A）2∈M，0∈M； （B）2 M，0 M； （C）2∈M，0 M； （D）2 M，0∈M． 5．（2005辽宁）在R上定义运算 若不等式 对任意实数 成立，则（ ） A． B． C． D． 6．（2006年全国卷I） 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且 ，则 ( ) A． B． C． D． 7．若 ，则点 的轨迹是( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 8．（2006年全国卷I）设集合 ,选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( ) A． B． C． D． 9．(2006辽宁)与方程 的曲线关于直线 对称的曲线的方程为( ) (A) (B) (C) (D) 10．已知直线 （a，b不全为0）与圆 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A．66条 B．72条 C．74条 D．78条 11．（2005湖南卷）设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f－1(x)，f (4)＝0，则f－1(4)＝ 　. 12．（2006辽宁）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ,则 =______. 13．（2006年四川卷）如图，把椭圆 的长轴 分 成 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点， 是椭圆的一个焦点，则 ______. 14．若关于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0在区间 上有两个不同的解，则实数a的取值范围是 . 15．（2006年江西卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， 底面为直角三角形，(ACB＝90(，AC＝6，BC＝CC1＝ ， P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是____. 16．（2006江苏）对正整数n，设曲线 在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为 ，则数列 的前n项和的公式是　 　. 17 直线y=a与函数y=x3–3x的图象有相异三个交点，求a的取值范围 18．已知f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R是参数） (1)当t=–1时，解不等式f(x)≤g(x); (2)如果x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围 19．(2006湖北)设数列 的前n项和为 ，点 均在函数y＝3x－2的图像上. （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ， 是数列 的前n项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数m. 20．（2006年江西卷）如图，椭圆Q： （a(b(0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点 （1） 求点P的轨迹H的方程; （2） 在Q的方程中，令a2＝1＋cos(＋sin(，b2＝sin(（0((( ），确定(的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？ 21．( 2006年重庆卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA 底面ABCD, DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、F分别为PC、CD的中点. （Ⅰ）试证：CD 平面BEF; （Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于 ,求k的取值范围. 【答案及点拨】 1 C 2 A 点拨:依题意，a1＋a200＝1，故选A 3 C 4 A 点拨:方法1：代入判断法，将 分别代入不等式中，判断关于 的不等式解集是否为 ； 方法2：求出不等式的解集： ≤ ＋4 ； 5 C 6 B 点拨: 中，a、b、c成等比数列，且 ，则b= a， = ，选B. 7 C 8 B 点拨:若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有 =10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有 =10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有 =5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有 =1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有 =10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有 =5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有 =1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有 =5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有 =1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有 =1种；总计有 ，选B. 解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集， 从5个元素中选出2个元素，有 =10种选法，小的给A集合，大的给B集合； 从5个元素中选出3个元素，有 =10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法； 从5个元素中选出4个元素，有 =5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法； 从5个元素中选出5个元素，有 =1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法； 总计为10+20+15+4=49种方法。选B. 9 A点拨: 本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解,同时还考查了转化能力. ， ，即： ，所以 ，故选择答案A。 10 B 11 －2 12 点拨:不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故 . 13 35 点拨:如图，把椭圆 的长轴 分成 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点， 是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知， ，同理其余两对的和也是 ，又 ，∴ EMBED Equation.DSMT4 =35 14 a= 或 ＜a≤1 15 点拨：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示， 连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值. 通过计算可得(A1C1C＝90(又(BC1C＝45( ((A1C1C＝135( 由余弦定理可求得A1C＝ 16 2n+1-2 点拨:应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点,否则容易出错. ，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n 切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn= .数列 的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2 17 提示 f′(x)=3x2–3=3(x–1)(x+1) 易确定f(–1)=2是极大值，f(1)=–2是极小值 当–2