韦达定理的若干应用

周刊2008年第14期 例3:已知数列{an}满足:a1=1,a2=3,且 an+2 an+1! =an+1an ,求该 数列的通项公式。 解:由递推公式得lg( an+2 an+1 )=2lg( an+1 an ),由定义知数列 {lg( an+1 an )}是公比为 1 2 ,首项为lg( a2 a1 )=lg3的等比数列,于是 lg( an+1 an )=lg3·( 1 2 ) n-1 = 1 2 n-1 lg3=lg3 1 2 n-1 , an+1 an =3 1 2 n-1 , an=a1· a2 a1 · a3 a2 ⋯⋯ an-1 an-2 · an an-1 =3 2-( 1 2 ) n-2 。 故所求数列的通项公式 an=3 2-( 1 2 ) n-2 。 四、由递推公式采用拆分变换 形如an+1=can+d(其中c,d为不等于零的常数),由递推公式 可以拆分转化为等比数列。 例4:已知数列{an}满足:a1=1,an+1=- 1 2 an+1,求an。 :若令an+1=y,an=x,则an+1=- 1 2 an+1,颇像直线方程的斜 截式y=- 1 2 x+1,它应当可以写成点斜式,而且,由于c≠1,则直 线y=- 1 2 x+1必与直线y=x有交点( 2 3 , 2 3 )。 解:假设an+1=- 1 2 an+1 可化为an+1- 2 3 =- 1 2 (an- 2 3 ) 则an+1=- 1 2 an-(- 1 2 )( 2 3 )+ 2 3 =- 1 2 an+1 ∴an+1=- 1 2 an+1 即 (an+1- 1 1 + 1 2 )÷(an- 1 1 + 1 2 )=- 1 2 ∴由定义知,数列{an- 2 3 }是公比q=- 1 2 的等比数列。 则an- 2 3 =(a1- 2 3 )·(- 1 2 ) n-1 ,便得到数列{an}的通项公式 an= 2 3 [1-(- 1 2 ) n ]。 五、由递推公式用待定系数法变换 形如pan=qan-1+f(其中p,q为不等于零的常数),由递推公 式,可以尝试用待定系数法,变换为等比数列的形式。 例5:在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3n+1,求an。 解:用待定系数法构造新数列{bn} bn=an-(Bn+C) 即an=bn+(Bn+C)(其中B、C为待定系数) 由an+1=2an+3n+1可得 bn+1+B(n+1)+C=2(bn+Bn+C)+3n+1 即bn+1=2bn+(B+3)n+(C-B+1) 令(B+3)=0,C-B+1=0,可得B=-3,C=-4。 这样,bn+1=2bn,即数列{bn}是公比为2,首项为b1=a1-(B+C) =1-[(-3)-4]的等比数列。 ∴bn=8·2 n-1 故 an=8·2 n-1 +[(-3)n-4]=2(2 n+1 - 3n 2 -2)。 六、由递推公式巧用累差法 如果数列的递推公式可以化为an-an-1=f(n)的形式,而且f (1)+f(2)+⋯⋯+f(n)是可求得的,那么可以用“累差法”求得通项 公式an。 例6:在数列{an}中,a1=-3,an+1=an+2n(n∈N),求an。 解:由an+1=an+2n可得an+1-an=2n,an-an-1=2(n-1)⋯⋯,a3-a2= 4,a2-a1=2 将上面各式相加,得 (an+1-an)+(an-an-1)+⋯⋯(a3-a2)+(a2-a1) =2[n+(n+1)+⋯⋯+2+1] ∴an+1-a1=2[n(n+1)]/2 即an+1=n(n+1)-3 ∴an=n(n-1)-3 以上几种由递推公式进行各种适当变换,解出数列的通 项公式,灵活运用多种处理,有利于开发学生的思维,有 助于提高解能力。 摘 要:韦达定理及其逆定理是初中数学极为重要的基 础知识之一,在中学数学中应用较为广泛,在一些数学竞赛中 常出现巧用韦达定理来解决问题。本文从六个方面来谈韦达 定理及其逆定理的应用。 关键词:韦达定理 韦达定理的逆定理 初中数学竞赛 一元二次方程 一元二次方程的根与系数关系定理是韦达定理的特殊情 况,它的逆命题也是正确的。初中阶段我们不妨称之为韦达定 理和逆定理。 韦达定理及逆定理是初中数学极为重要的基础知识之 一,在解决初中数学的许多问题中,它是有力的工具,在初中 数学竞赛中巧用韦达定理及逆定理来解的竞赛题屡见不鲜。 本文通过六个方面的应用探讨如何利用韦达定理及逆定理解 题目的方法和技巧。 一、求值,当所求代数式是某个一元二次方程两根对称 时,可应用韦达定理使计算简便。 例1.若α、β为方程2x 2 - 3! x-4=0的根,求 1 2 α 4 + 1 2 β 4 + 3αβ 3 +3α 3 β的值。 说明:1.求代数式值的问题常规方法是先求出代数式中 求知数的值,然后代入。此例如按上述方法解将陷入复杂的计 算,没有用韦达定理求解简便。 韦 达 定 理 的 若 干 应 用 (雷官初级中学,安徽 来安 239200) 李恒松 ○ 数学教学与研究 50 2008年第14期周刊 2.这种解法必须能熟练地将要求的代数式化为用α+β和 αβ示的形式。 3.这种方法一般适用于求关于方程根的对称式。 解:由韦达定理得α+β= 3! 2 ,αβ=-2 则α 2 +β 2 =(α+β) 2 -2αβ=4 3 4 ∴ 1 2 α 4 + 1 2 β 4 +3αβ 3 +3α 3 β= 1 2 (α 4 +β 4 )+3αβ(α 2 +β 2 ) = 1 2 [(α 2 +β 2 )-2α 2 β 2 ]+3αβ(α 2 +β 2 )=- 679 32 例2.若p、q都是自然数,方程x 2 -p(3q+1)x+74=0的两根都 是质数,求7p+2q的值。 分析:要求7p+2q的值,应先求出p、q的值,而此例中方程 的两根都是质数,由韦达定理知两根之积为74,故必有一根为 偶数,而2是唯一的偶质数,则方程两根是2和37,再结合 p、q 是自然数可求p、q的值。(解略) 二、构造一元二次方程,当问题中出现a+b=m、ab=n的形 式时,可用韦达定理和逆定理把a、b看作t 2 -mt+n=0的两个根, 由△≥0可解决不定方程、高次方程和无理方程等问题。 例3.求方程组 x+y=2 xy-z 2 = $ 1 的实数解的情况。 解:由原方程组可得x+y=2,xy=1+z 2 根据韦达定理的逆定理知 x、y是方程t 2 -2t+(1+z 2 )=0的两 个实数根, 而△=4-4(1+z 2 )=-4z 2 ≤0, 显然,当z=0时,△=0,这时方程有一实数解,否则方程无 实数解。 故z=0,易得x=1,y=1。 仿照此解方程组 x 3 +x 3 y 3 +y 3 =17 x+xy+y= $ 5 三、求二次函数的解析式,用此方法主要是能掌握一元二 次方程与二次函数之间的联系。 例4.m为何值时,抛物线y=x 2 -(m+2)x+4与x轴两个交点间 距离是3? 解:设抛物线与x轴两个交点坐标为(x1,0)(x2,0) 则方程x 2 -(m+2)x+4=0的两个根为x1,x2 由韦达定理得x1·x2=4,x1+x2=m+2 |x1-x2|= (x1+x2) 2 -4x1·x2! =3 (m+2) 2 -4×4! =3 解得m1=-7,m2=3 ∴当m=-7或m=3时,抛物线与x轴两个交点间距离是3。 说明:此类问题利用二次函数图像与x轴交点横坐标是函 数值为零时自变量的值,即方程的根,再利用韦达定理把图像 与x轴交点的距离与函数解析式联系起来。 四、研究一元二次方程的整数解,此法主要是应用韦达定 理结合题意把问题转化为不定方程组或不等式,再进一步求 不等式的整数解,以达到解决问题的目的。 例5.若k、p为整数,一元二次方程(k-1)x 2 -px+k=0有两个 正整数根,求k pk (p p +k k )的值。 解:设方程(k-1)x 2 -px+k=0的两个根为x1,x2 由韦达定理得x1+x2= p k-1 ,x1·x2= k k-1 ∵方程有两个正整数根 ∴ △≥0 (x1-1)(x2-1)≥0且(x1-1)、(x2-1)为非负整数。 x1·x2≥1,x1+x2> $ 1 由x1·x2= k k-1 ≥1可得k>1。 令 k k-1 =t(t是正整数),则有k=1+ 1 t-1 。 ∵k为整数 ∴t-1=±1,k=2或k=0(舍去,因为k>1) ∴k=2 由△=p 2 -4k(k-1)=p 2 -8≥0得p≥2 2’ 或p≤-2 2! (1) x1+x2= p k-1 =p>1(x1,x2为正整数) (2) (x1-1)(x2-1)=x1·x2-(x1+x2)+1= k k-1 - p k-1 +1=3-p≥0 p≤3 (3) p为整数,结合(1)(2)(3)得p=3 ∴k pk (p p +k k )=2 6 (3 3 +2 2 )=1984 说明:此类问题解题思路是利用韦达定理列出不等式组, 然后消去x1,x2,得不等式或不等式组,再利用整数性质,求出 未知数p、k的值。 五、研究一元二次方程两根之比问题,根据两根之比找出 方程系数与一个根之间的关系以达解决问题的目的。 例6.如果一元二次方程ax 2 +bx+c=0的两根之比为2∶3,求 证:6b 2 =25ac。 证明:设方程两根为2x1,3x1,由韦达定理得 2x1+3x1=5x1=- b a (1) 2x1·3x1=6x 2 1= c a (2) 由(1)、(2)消去x1得6(- b 5a ) 2 = c a 整理得6b 2 =25ac。 六、证明不等式。 例7.已知:a、b、c为实数,且a+b+c=0,a·b·c=1,求证:a、b、 c中必有一个大于 3 2 。 分析:已知条件是三个数的和与积,把它转化为两个数的 和与积的问题,然后利用韦达定理解决。 证明:由 a+b+c=0 a·b·c= $ 1 知a·b·c>0,且a、b、c中有一个正数两个 负数,不妨设a>0,b<0,c<0, 那么 b+c=-a b·c= 1 a $ , 则b、c是方程x 2 +ax+ 1 a =0的两个实数根。 △=a 2 - 4 a ≥0,a>0,则a 3 ≥4 ∵a>0 ∴a≥ 4 3 ! = 32 8 3 ! > 278 3 ! =32。 说明:1.在此题的证明中用了转化思想,这种思想方法很 重要,在解题时根据需要化未知为已知。 2.在由 32 8 3 ! > 278 3 ! 时,我们采用了缩放的手法,这是证 明不等关系常用的手法。 参考文献: [1]吴志翔.中学数学教学参考书 证明不等式[M].1982 年02月第1版. [2]唐耀庭.一元二次方程的特殊解法[J].中学生数理化 初中版,2007年Z1期. [3]杨茜,郑建平.谈韦达定理的应用[J].成都教育学院学 报,2002年01期. ○ 数学教学与研究 51