求导法则

null第四节 多元复合函数与 隐函数的微分法一、多元复合函数求导法则二、隐函数的求导公式第四节 多元复合函数与 隐函数的微分法第九章 多元函数微分学null一、多元复合函数求导法则定理 设一元函数 u = (x) 与 v = (x) 在 x 处均可导，且为 二元函数 z = f (x , y)在 x 的对应点(u , v) 对 x 的导数存在，则复合函数null证从而 z = f (u , v) 有全增量 z = f (u , v) 在 (u , v) 偏导数连续，从而知其可微，根据假设，所以①　　　　　　　　　　　　　则 u ，v 有相应的增量 u，v，null又因一元函数 u 与 v 可导，所以 u 与 v 均连续，得于是null则得null例 1解因null则null设函数 z = f (u , v) 可微， 这时，复合函数 z = f [u(x , y), v (x , y)] 对 x 与 y 的偏导数都存在且的一阶偏导数都存在，null例 2设 z = eu cos v，解因为null可得 null应用两个公式时， 可参考下图 表示　　　　　　　　　　　　　　　 函数的复合关系和求导的运算途径.zuvxzuvxynull当 z = f (u , v , w ),其求导公式可参考关系图如下 .null又如 z = f (u , v ) ,则null例 3解于是因为null所以null式中的 f i 表示 z 对第 i 个中间变量的偏导数 (i = 1 , 2 , 3)， 有了这种记法， 就不一定要明显地写出中间变量 u， v， w .类似地，可求得null例 4解在这个函数的表达式中， 乘法中有复合函数，所以先用乘法求导公式.null二、隐含数的求导公式1. 一元隐函数的求导公式设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)， 两端对 x 求导，得则这就是一元 隐函数的求导公式.null例 5解则由公式得null2. 二元隐函数的求导公式 设方程 F (x , y , z) = 0 确定了隐函数 z = z (x , y),若 Fx，Fy，Fz 连续， 　两边分别对 x ，y 求导，得null这就是二元隐函数的求导公式.所以null例 6解因为所以null故null例 7解所以null再求二阶导数，有null例 8其中 a , b , c 为常数，证两边对 x 求导解得①null同理②a  ① + b  ② 于是有即为所证.