椭圆

第二章 圆锥曲线与方程 2.1曲线与方程 2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力． (三)学科渗透点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础． 二、教材分析 1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． (解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法． (解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．) 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神． 三、教学过程 学生探究过程： (一)复习引入 大家知道，平面解析几何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过方程，研究平面曲线的性质． 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0． 解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM． ∵kOM·kAM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程． 分析： ∵点P在AQ的垂直平分线上， ∴|PQ|=|PA|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R． 故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义 写出P点的轨迹方程． 解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2． 由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆． 3．相关点法 若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)． 例3　 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程． 分析： P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系． 解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0) ∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点． 4．待定系数法 求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求． 例4　 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲 曲线方程． 分析： 因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方 ax2-4b2x+a2b2=0 ∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根． ∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b． (以下由学生完成) 由弦长得： 即a2b2=4b2-a2． (三)巩固练习 用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出． 1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的 2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？ 3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程． 答案： 义法) 由中点坐标公式得： (四)、教学反思 求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍． 五、布置作业 1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程． 2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹． 3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案： 1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线 六、板书设计 2.2 椭 圆 2.2.1椭圆及其标准方程 · 知识与技能目标 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法． · 过程与方法目标 （1）预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程． （2）新课讲授过程 （i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义． 〖板书〗把平面内与两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为 时，椭圆即为点集 EMBED Equation.DSMT4 ． （ii）椭圆标准方程的推导过程 提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系． 无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理． 设参量 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、 的关系有明显的几何意义． 类比：写出焦点在 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程 ． （iii）例题讲解与引申 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 ，求它的标准方程． 分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出 ．引导学生用其他方法来解． 另解：设椭圆的标准方程为 ，因点 在椭圆上， 则 ． 例2 如图，在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足．当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹是什么？ 分析：点 在圆 上运动，由点 移动引起点 的运动，则称点 是点 的伴随点，因点 为线段 的中点，则点 的坐标可由点 来表示，从而能求点 的轨迹方程． 引申：设定点 ， 是椭圆 上动点，求线段 中点 的轨迹方程． 解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设 ， ；②（点与伴随点的关系）∵ 为线段 的中点，∴ ；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵ ，∴点 的轨迹方程为 ；④伴随轨迹表示的范围． 例3如图，设 ， 的坐标分别为 ， ．直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ，求点 的轨迹方程． 分析：若设点 ，则直线 ， 的斜率就可以用含 的式子表示，由于直线 ， 的斜率之积是 ，因此，可以求出 之间的关系式，即得到点 的轨迹方程． 解法剖析：设点 ，则 ， ； 代入点 的集合有 ，化简即可得点 的轨迹方程． 引申：如图，设△ 的两个顶点 ， ，顶点 在移动，且 ，且 ，试求动点 的轨迹方程． 引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 值在变化时，线段 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴． · 情感、态度与价值观目标 通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量 的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质． ◆能力目标 （1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示． （2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力． （3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力． （4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力． （5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径． 练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、 2．1．2　椭圆的简单几何性质 · 知识与技能目标 了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义． · 过程与方法目标 （1）复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质． （2）新课讲授过程 （i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？ 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）椭圆的简单几何性质 ①范围：由椭圆的标准方程可得， ，进一步得： ，同理可得： ，即椭圆位于直线 和 所围成的矩形框图里； ②对称性：由以 代 ，以 代 和 代 ，且以 代 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以 轴和 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴； ④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率（ ）， ； ． （iii）例题讲解与引申、扩展 例4 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出 ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量． 扩展：已知椭圆 的离心率为 ，求 的值． 解法剖析：依题意， ，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在 轴上，即 时，有 ，∴ ，得 ；②当焦点在 轴上，即 时，有 ，∴ ． 例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 上，片门位于另一个焦点 上，由椭圆一个焦点 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 ．已知 ， ， ．建立适当的坐标系，求截口 所在椭圆的方程． 解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为 ，算出 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定． 引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心 为一个焦点的椭圆，近地点 距地面 ，远地点 距地面 ，已知地球的半径 ．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程． 例6如图，设 与定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常数 ，求点 的轨迹方程． 分析：若设点 ，则 ，到直线 ： 的距离 ，则容易得点 的轨迹方程． 引申：（用《几何画板》探究）若点 与定点 的距离和它到定直线 ： 的距离比是常数 EMBED Equation.DSMT4 ，则点 的轨迹方程是椭圆．其中定点 是焦点，定直线 ： 相应于 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点 ，相应于 的准线 ： ． · 情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能． ◆能力目标 （1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力． （2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力． （3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力． （4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径． 练习：第52页1、2、3、4、5、6、7 作业：第53页4、5 补充： 1.课题:双曲线第二定义 学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化. 教学目标 知识目标：椭圆第二定义、准线方程； 能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义； 3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用； 情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值. 教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 教学难点：椭圆的第二定义的运用； 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神． 教学过程： 学生探究过程：复习回顾 1．椭圆 的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为 ，离心率为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 EMBED Equation.3 ，（准线方程为 ）. 2．短轴长为8，离心率为 的椭圆两焦点分别为 、 ，过点 作直线 交椭圆于A、B两点，则 的周长为 20 . 引入课题 【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为 ，M1，M2为椭圆上的点 1 求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 2.6 . 2 若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）的距离吗？ 解： 且 代入消去 得 【推广】你能否将椭圆 上任一点 到焦点 的距离表示成点M横坐标 的函数吗？ 解： 代入消去 得 问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述） 椭圆上的点M到右焦点 的距离与它到定直线 的距离的比等于离心率 问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率） 动点 到定点 的距离与它到定直线 的距离的比等于常数 的点的轨迹是椭圆． 【引出课题】椭圆的第二定义 当点 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数 是椭圆的离心率． 对于椭圆 ，相应于焦点 的准线方程是 ．根据对称性，相应于焦点 的准线方程是 ．对于椭圆 的准线方程是 ． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义． 由椭圆的第二定义 可得：右焦半径公式为 ；左焦半径公式为 典型例题 例1、求椭圆 的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 解：由题意可知右焦点 右准线 ；左焦点 和左准线 变式：求椭圆 方程的准线方程； 解：椭圆可化为标准方程为： ，故其准线方程为 小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出 例2、椭圆 上的点 到左准线的距离是 ，求 到左焦点的距离为 . 变式：求 到右焦点的距离为 . 解：记椭圆的左右焦点分别为 到左右准线的距离分别为 由椭圆的第二定义可知： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 又由椭的第一定义可知： 另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为 小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用 例1、 点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线 的距离的比是1：2，求点P的轨迹； 解法一：设 为所求轨迹上的任一点，则 由化简得 ，故所的轨迹是椭圆。 解法二：因为定点A（2，0）所以 ，定直线 所以 解得 ，又因为 故所求的轨迹方程为 变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线 的距离的比是1：2，求点P的轨迹； 分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解呢？ 解法一：设 为所求轨迹上的任一点，则 由化简得 配方得 ，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0） 解法二：因为定点A（2，0）所以 ，定直线 所以 解得 ，故所求的轨迹方程为 问题1：求出椭圆方程 和 的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率； 问题2：求出椭圆方程 和 长轴顶点、焦点、准线方程； 解：因为把椭圆 向右平移一个单位即可以得到椭圆 所以问题1中的所有问题均不变，均为 长轴顶点、焦点、准线方程分别为： ， EMBED Equation.3 ； 长轴顶点、焦点、准线方程分别为： ， EMBED Equation.3 ； 反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为 另一方面离心率就等于 这是两上矛盾的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。 小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大； 解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。 例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ） A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？ 解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为 ； 过点A、B、M分别作出准线 的垂线，分别记为 由梯形的中位线可知 又由椭圆的第二定义可知 EMBED Equation.3 即 又 且 EMBED Equation.3 故直线与圆相离 例5、已知点 为椭圆 的上任意一点， 、 分别为左右焦点；且 求 的最小值 分析：应如何把 表示出来 解：左准线 ： ，作 于点D，记 由第二定义可知： ⇒ ⇒ 故有 所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值： 即 的最小值是 变式1： 的最小值； 解： 变式2： 的最小值； 解： 巩固练习 1．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离为_____________． 2．若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是______________． 答案：1．      2．1或2   教学反思 1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 2．椭圆定义的简单运用； 3．离心率的求法以及焦半径公式的应用； 课后作业 1.例题5的两个变式； 2. 已知 ， 为椭圆 上的两点， 是椭圆的右焦点．若 ， 的中点到椭圆左准线的距离是 ，试确定椭圆的方程． 解：由椭圆方程可知 、两准线间距离为 ．设 ， 到右准线距离分别为 ， ，由椭圆定义有 ，所以 ，则 ， 中点 到右准线距离为 ，于是 到左准线距离为 ， ，所求椭圆方程为 ． 思考： 1．方程 表示什么曲线？ 解： EMBED Equation.3 ；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且该常数小于1） 方程表示椭圆 例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点，F是椭圆的一个焦点，则 = 解法一： ，设 的横坐标为 ，则 不妨设其焦点为左焦点 由 得 解法二：由题意可知 和 关于 轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知 ，同理可知 ， ， 故 板书设计： 复习回顾 引入课题 问题： 推广： 椭圆第二定义 典型例题 1． 2． 3． 4． 5． 课堂练习： 课堂小结： 课后作业： 思考： 2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。 性质一：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形 中 则 。 EMBED Equation.3 性质二：已知椭圆方程为 左右两焦点分别为 设焦点三角形 ，若 最大，则点P为椭圆短轴的端点。 证明：设 ,由焦半径公式可知： ， 在 中， EMBED Equation.3 = 性质三：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形 中 则 证明：设 则在 中，由余弦定理得： 命题得证。 （2000年高考题）已知椭圆 的两焦点分别为 若椭圆上存在一点 使得 求椭圆的离心率 的取值范围。 简解：由椭圆焦点三角形性质可知 即 , 于是得到 的取值范围是 性质四：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形 ， 则椭圆的离心率 。 由正弦定理得： 由等比定理得： 而 ， ∴ 。 已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2． 解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜ ∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝ ∴椭圆的方程为 ＝1． (2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ 椭圆的离心率 则 ， 整理得：5sinθ＝ (1＋cosθ) ∴ 故 ，tanF1PF2＝tanθ＝ ． 复习回顾 问题推广 引出课题 典型例题 课堂练习 归纳小结 F1 A M D _1200375242.unknown _1200401743.unknown _1220361481.unknown _1220361566.unknown _1220361654.unknown _1220361790.unknown _1220362642.unknown _1220362689.unknown _1220362712.unknown _1220362723.unknown _1220362734.unknown _1229724532.unknown _1220362729.unknown _1220362718.unknown _1220362700.unknown _1220362706.unknown _1220362695.unknown _1220362667.unknown _1220362678.unknown _1220362683.unknown _1220362672.unknown _1220362652.unknown _1220362657.unknown _1220362647.unknown _1220361847.unknown _1220362632.unknown _1220362636.unknown _1220361848.unknown _1220361801.unknown _1220361845.unknown _1220361846.unknown _1220361806.unknown _1220361796.unknown _1220361769.unknown _1220361779.unknown _1220361784.unknown _1220361774.unknown _1220361753.unknown _1220361763.unknown _1220361659.unknown _1220361617.unknown _1220361636.unknown _1220361644.unknown _1220361650.unknown _1220361640.unknown _1220361626.unknown _1220361632.unknown _1220361622.unknown _1220361594.unknown _1220361603.unknown _1220361611.unknown _1220361599.unknown _1220361577.unknown _1220361583.unknown _1220361589.unknown _1220361572.unknown _1220361523.unknown _1220361545.unknown _1220361556.unknown _1220361560.unknown _1220361550.unknown _1220361535.unknown 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