数学题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)答案与解析 数学(供理科考生使用) 注意事项： 1．本分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝， 则 为 (A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B 【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以 ，所以 为{7,9}。故选B 【解析二】 集合 为即为在全集U中去掉集合A和集合B中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B 【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。采用解析二能够更快地得到答案。 (2)复数 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】 ，故选A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。复数的运算要做到细心准确。 (3)已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a b|，则下面结论正确的是 (A) a∥b (B) a⊥b (C){0,1,3} (D)a+b=a b 【答案】B 【解析一】由|a+b|=|a b|，平方可得a b=0, 所以a⊥b，故选B 【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|a b|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b，故选B 【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。解析一是利用向量的运算来解，解析二是利用了向量运算的几何意义来解。 (4)已知命题p： x1，x2 R，(f(x2) f(x1))(x2 x1)≥0，则 p是 (A) x1，x2 R，(f(x2) f(x1))(x2 x1)≤0 (B) x1，x2 R，(f(x2) f(x1))(x2 x1)≤0 (C) x1，x2 R，(f(x2) f(x1))(x2 x1)<0 (D) x1，x2 R，(f(x2) f(x1))(x2 x1)<0 【答案】C 【解析】命题p为全称命题，所以其否定 p应是特称命题，又(f(x2) f(x1))(x2 x1)≥0否定为(f(x2) f(x1))(x2 x1)<0，故选C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于容易题。 (5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ 【答案】C 【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有 种排法，三个家庭共有 种排法；再把三个家庭进行全排列有 种排法。因此不同的坐法种数为 ，答案为C 【点评】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。 (6)在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 【答案】B 【解析】在等差数列中， ，答案为B 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。 (7)已知 ， (0，π)，则 = (A) 1 (B) (C) (D) 1 【答案】A 【解析一】 ，故选A 【解析二】 ，故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。 (8)设变量x，y满足 则 的最大值为 (A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【答案】D 【解析】画出可行域，根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大，最大值为55，故选D 【点评】本题主要考查简单线性规划问题，难度适中。该类题通常可以先作图，找到最优解求出最值，也可以直接求出可行域的顶点坐标，代入目标函数进行验证确定出最值。 (9)执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是 (A) 1 (B) (C) (D) 4 【答案】D 【解析】根据程序框图可计算得 由此可知S的值呈周期出现，其周期为4，输出时 因此输出的值与 时相同，故选D 【点评】本题主要考查程序框图中的循环结构、数列的周期性以及运算求解能力， 属于中档题。此类题目需要通过计算确定出周期（如果数值较少也可直接算出结果），再根据周期确定最后的结果。 (10)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】设线段AC的长为 cm，则线段CB的长为( )cm,那么矩形的面积为 cm2， 由 ，解得 。又 ，所以该矩形面积小于32cm2的概率为 ，故选C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。 (11)设函数f(x) 满足f( )=f(x)，f(x)=f(2 x)，且当 时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos |，则函数h(x)=g(x)-f(x)在 上的零点个数为 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 【答案】B 【解析】因为当 时，f(x)=x3. 所以当 ，f(x)=f(2 x)=(2 x)3， 当 时，g(x)=xcos ；当 时，g(x)= xcos ，注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)， ，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间 上各有一个零点，共有6个零点，故选B 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大。 (12)若 ，则下列不等式恒成立的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】设 ，则 所以 所以当 时， 同理 即 ，故选C 【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 (13)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的面积为______________。 【答案】38 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为 【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出表面积。 (14)已知等比数列｛an｝为递增数列，且 ，则数列｛an｝的 通项公式an =______________。 【答案】 【解析】 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。 (15)已知P，Q为抛物线 上两点，点P，Q的横坐标分别为4， 2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为__________。 【答案】 4 【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4， 2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2. 由 所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4， 2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为 联立方程组解得 故点A的纵坐标为 4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。 曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。 (16)已知正三棱锥 ABC，点P，A，B，C都在半径为 的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。 【答案】 【解析】因为在正三棱锥 ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。 球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥 ABC在面ABC上的 高。已知球的半径为 ，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥 ABC在面ABC上的高为 ，所以球心到截面ABC的距离为 【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为正方体来考虑就容易多了。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分) 在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。 (Ⅰ)求 的值； (Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求 的值。 【答案及解析】 【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。 (18)(本小题满分12分) 如图，直三棱柱 ， ， 点M，N分别为 和 的中点。 (Ⅰ)证明： ∥平面 ; (Ⅱ)若二面角 为直二面角，求 的值。 【答案及解析】 【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明。 (19)(本小题满分12分) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图； 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”。 (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 列联表，并据此你是否认为“体育迷”与性别 有关？ (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽 样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X。若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望 和方差 。 附： 【答案及解析】 【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列，期望 和方差 ，考查分析解决问题的能力、运算求解能力，难度适中。准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。 (20)(本小题满分12分) 如图，椭圆 ： ，a，b为常数)，动圆 ， 。点 分别为 的左，右顶点， 与 相交于A，B，C，D四点。 (Ⅰ)求直线 与直线 交点M的轨迹方程; (Ⅱ)设动圆 与 相交于 四点，其中 ， 。若矩形 与矩形 的面积相等，证明： 为定值。 【答案及解析】 【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点 的轨迹方程时，要注意首先写出直线 和直线 的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。 (21)(本小题满分12分) 设 ，曲线 与 直线 在(0，0)点相切。 (Ⅰ)求 的值。 (Ⅱ)证明：当 时， 。 【答案及解析】 【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。本题容易忽略函数 的定义域，根据条件曲线 与直线 在(0，0)点相切，求出 的值，然后，利用函数的单调性或者均值不等式证明 即可。从近几年的高考命题趋势看，此类型题目几乎年年都有涉及，因此，在平时要加强训练。本题属于中档题。 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 (22)(本小题满分10分)选修4 1：几何证明选讲 如图，⊙O和⊙ 相交于 两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E。证明 (Ⅰ) ； (Ⅱ) 。 【答案及解析】 【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形相似这一知识点考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，在练习时，要有所侧重． (23)(本小题满分10分)选修4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标 中，圆 ，圆 。 (Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 的极坐标方程，并求出圆 的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求出 的公共弦的参数方程。 【答案及解析】 【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极坐标系的组成．本题要注意圆 的圆心为 半径为 ，圆 的圆心为 半径为 ，从而写出它们的极坐标方程；对于两圆的公共弦，可以先求出其代数形式，然后化成参数形式，也可以直接根据直线的参数形式写出。对于极坐标和参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主． (24)(本小题满分10分)选修4 5：不等式选讲 已知 ，不等式 的解集为 EMBED Equation.DSMT4 ｝。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)若 恒成立，求k的取值范围。 【答案及解析】 【点评】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，考查分类讨论思想在解题中的灵活运用，第(Ⅰ)问，要真对 的取值情况进行讨论，第(Ⅱ)问要真对 的正负进行讨论从而用分段函数表示，进而求出k的取值范围。本题属于中档题，难度适中．平时复习中，要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用。 _1400760856.unknown _1400767479.unknown _1400798053.unknown _1400802353.unknown _1400802954.unknown _1400805457.unknown _1400806047.unknown _1400804078.unknown _1400805398.unknown _1400804016.unknown _1400802903.unknown _1400802946.unknown _1400802879.unknown _1400802100.unknown _1400802117.unknown _1400802072.unknown _1400776979.unknown _1400781484.unknown _1400787266.unknown _1400791205.unknown _1400792001.unknown _1400792322.unknown _1400791259.unknown _1400790492.unknown _1400782588.unknown _1400784798.unknown _1400784915.unknown _1400784858.unknown _1400782670.unknown _1400781960.unknown _1400782219.unknown _1400781914.unknown _1400779721.unknown _1400780038.unknown _1400781033.unknown _1400779954.unknown _1400779521.unknown _1400779605.unknown _1400777102.unknown _1400774324.unknown _1400776774.unknown _1400776860.unknown _1400776917.unknown _1400776796.unknown _1400774658.unknown _1400774729.unknown _1400774342.unknown _1400771186.unknown _1400772439.unknown _1400773005.unknown _1400772423.unknown _1400770345.unknown _1400771175.unknown _1400767585.unknown _1400768075.unknown _1400767504.unknown _1400762367.unknown _1400763143.unknown _1400763399.unknown _1400763463.unknown _1400763529.unknown _1400763571.unknown _1400763514.unknown _1400763435.unknown _1400763313.unknown _1400763349.unknown _1400763217.unknown _1400763233.unknown _1400763189.unknown _1400762875.unknown _1400763032.unknown _1400763120.unknown _1400763008.unknown _1400762895.unknown _1400762668.unknown _1400762681.unknown _1400762597.unknown _1400762611.unknown _1400762647.unknown _1400762543.unknown _1400762126.unknown _1400762286.unknown _1400762324.unknown _1400762331.unknown _1400762308.unknown _1400762200.unknown _1400762272.unknown _1400762140.unknown _1400761966.unknown _1400762024.unknown _1400762071.unknown _1400762007.unknown _1400761865.unknown _1400761358.unknown _1400761850.unknown _1400761321.unknown _1400761331.unknown _1400761133.unknown _1400758825.unknown _1400759784.unknown _1400760593.unknown _1400760719.unknown _1400760800.unknown _1400760827.unknown _1400760768.unknown _1400760662.unknown _1400760702.unknown _1400760620.unknown _1400760205.unknown _1400760485.unknown _1400760517.unknown _1400760374.unknown _1400759988.unknown _1400760126.unknown _1400759948.unknown _1400759146.unknown _1400759312.unknown _1400759394.unknown _1400759427.unknown _1400759356.unknown _1400759269.unknown _1400758902.unknown _1400759035.unknown _1400759091.unknown _1400758929.unknown _1400759012.unknown _1400758856.unknown _1400758871.unknown _1400758842.unknown _1400756913.unknown _1400757936.unknown _1400758190.unknown _1400758566.unknown _1400758578.unknown _1400758213.unknown _1400758139.unknown _1400758176.unknown _1400757968.unknown _1400757328.unknown _1400757425.unknown _1400757440.unknown _1400757393.unknown _1400757235.unknown _1400757287.unknown _1400757303.unknown _1400757253.unknown _1400756998.unknown _1400756928.unknown _1400756874.unknown _1400756899.unknown _1400756833.unknown