石大第5章-1

null第五章 相似矩阵及二次型第五章 相似矩阵及二次型 关于特征值和特征向量的讨论 用正交变换化二次型为标准形 (或用正交矩阵化对称阵为对角阵) 本章讨论 向量的内积 特征值和特征向量 相似矩阵 二次型的化简 本章重点§1 向量的内积§1 向量的内积 1. 向量的内积和长度定义 设有 n 维向量的内积.注 内积是向量间的一种运算，其结果是一个数.null注 内积运算满足：定义 即内积满 足交换律 称长度为 1的向量为单位向量. 如皆为单位向量.的长度（或范数）.null对任意实数 t, 显然（（*）式的证明略去，其直观意义是明显的）注 向量的长度满足：即上式左端是关于 t 的二次三项式，故其判别式 ≤ 0. null亦即从而得正因为如此， 在解析几何中，常把由上也可得 此称为许瓦兹不等式.null2. 正交与正交规范化定义 当[x, y]=0时，称向量 x 与 y 正交. 显然，若 x=0, 则 x 与任何向量都正交. 称两两正交的非零向量所组成的向量组为正交向量组.null解 记 a3 应满足齐次 方程 Ax=0，即 由得故可取null证 设有null称由正交向量组构成的向量空间的基为正交基.如 n维单位坐标向量组构成 Rn 的一个正交规范基.又如是 R4 的一个正交规范基.null结论 若是 V 的一个正交规范基，那么 V 中任一向量 a 可表示为其中证 设即证毕null例 求向量 a=(1 1 1 1)T 在下述基下的表示形式.可见,在正交规范基下求一个向量的表示式比较简单.null 问：能否将向量空间的一个基重新构造成一个正交 规范基呢？回答是肯定的，其构造过程称为施密特正交化.设有向量空间的一个基null如此得到的 b1 ,b2与a1 ,a2 还是等价的null依此下去，便有如此得到的 b1 ,b2 ,b3与 a1 ,a2 ,a3等价null结论 （施密特正交化）设有向量空间的一个基再将 b1,b2, … ,br 单位化，便可得到正交规范基.null设试用施密特正交化过程将这组向量正交规范化.解 例（P108例2）null再把它们单位化，取null例（P108例3） 已知解 a2 , a3 应满足方程 a1Tx=0, 即 求一组非零向量a2 , a3，使 a1 , a2 , a3 两两正交.基础解系 可取为：把基础解系正交化， 得到所求的向量，null3 . 正交矩阵定义 （正交矩阵）如果 n 阶方阵A 满足 ATA=E，则 称 A 为正交矩阵.由定义立即可知：为进一步分析正交矩阵的结构，将A 按列分块.设 A= (a1 a2 … an）,其中ai 皆为列向量.若A为正交矩阵，则null由于ATA=E，故知 可见，当 A为正交矩阵时，A 的列向量皆为单位向 量，且两两正交，同样对行也有类似的结论.null结论 A为正交阵A的列（行）向量皆为单位 向量，且两两正交.于是知, A 的列(行)向量组皆构成 Rn 的正交规范基.例 下列矩阵是否为正交矩阵？(1)不是, (2)是.null定义 若 P 为正交矩阵, x , y是 n维向量, 称由 x 到 y 的 变换 y=Px 为正交变换.结论 正交变换保持向量的长度不变. 即 若 y=Px，P 为正交矩阵，则证 从几何上看，就是在正交变换下图形的形状保持不 变（如旋转变换就是一种正交变换）.null练习题：评注：§2 方阵的特征值和特征向量§2 方阵的特征值和特征向量定义 设 A为 n 阶方阵，如果数λ和 n 维非零向量 x, 使关系式成立，则称数λ为方阵 A 的特征值，非零向量 x为 A 的 对应于λ的特征向量.注 由定义可知： 1) 若 p 是 A 的对应于λ的特征向量, 则 kp (k≠0) 也 是 A 的对应于λ的特征向量. 2) 若 p1, p2 皆是 A 的对应于λ的特征向量, 则 p1+p2 ( p1+p2 ≠ 0) 也是 A 的对应于λ的特征向量. null问题: 给定方阵A, 如何去求A的特征值及特征向量? 这是 n个未知数 n 个方程的齐次线性方程组,由克莱姆 法则知其有非零解的充要条件是系数行列式即null 由代数学基本定理：在复数范围内，n 次方程一定 有 n 个根(重根按重数计算). 故知有结论 n 阶方阵 A 一定有n 个特征值.称其为方阵 A 的特征多项式.这是一个关于λ的一元 n 次多项式. 上式左端是关于λ的一元 n 次方程, 称其为 A 的特征 方程，显然 A 的特征值即为特征方程的解.null即，求对应的特征向量归结为解一个线性方程组.设A 的特征值为由多项式的根与系数之间的关系知：null1） 解特征方程2) 对每个特征值总结：n 阶方阵A的特征值、特征向量的求法：得到 A 的全部特征值.（注意共有 n 个特征值）求出齐次线性方程组的基础解系，它们就是 A 的对应于的线性无关的特征向量.null例 （教材P111例4） 求三阶矩阵的特征值和特征向量.解 A的特征多项式为故得A的三个特征值为对于解齐次线性方程组（2E -A)x= 0 ,null系数 矩阵同解方 程组为取基础 解系则ξ1就是 A 的属于λ1 =2的特征向量, 而就是 A 的属于λ1 =2的全部特征向量.null系数 矩阵同解方 程组为取基础 解系则ξ2就是 A的属于λ2 = λ3 =1的特征向量, 而就是 A的属于λ2 = λ3 =1的全部特征向量.注意: 这里基 础解系 只含一 个向量null例 （教材P112例5） 求三阶矩阵的特征值和特征向量.解 A的特征多项式为故得A的三个特征值为对于解齐次线性方程组（5E －A)x= 0 ,null系数 矩阵同解方 程组为取基础 解系则ξ1就是A的属于λ1 =5的特征向量, 而就是A的属于λ1 =5的全部特征向量.null系数 矩阵同解方程组为null取基础解系则ξ2 ,ξ3就是A的属于λ2 = λ3 =－1的两个线性无关的A的属于λ2 = λ3 =－1 的全部特征向量.注意: 这里 基础解系含 有两个向量 由上两例可见：k 重特征根所对应的线性无关的特征 向量个数可能为 k, 也可能少于 k .null引理 设λ是A的特征值，则λ2是A2 特征值，一般 地，λk 是Ak 的特征值.证 因为λ是A的特征值，即有于是，即λ2是A2 特征值，类似可证一般情形.注：此结论还可进一步推广如下：若λ是A的特征值，则null证 设有可得:null 左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，由条件知， 此行列式不等于零，故该矩阵可逆，于是有：证毕用矩阵形式写出,即:nullnull§3 相似矩阵§3 相似矩阵定理 3 若 n 阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相 同，从而A与B的特征值亦相同.证 因A与B相似，即有P，使故null思考：1) 若A、B相似，A、B是否等价？2) 若A、B相似, 是否有null定理 4 n 阶方阵A相似于对角阵（即A能对角化）充分 必要条件是A有n 个线性无关的特征向量. 由此定理知，A能否对角化归结为何时A能有n个线性 无关的特征向量，在上节的例子中，我们知道，尽管 n 阶矩阵一定有 n 个特征值，但却不一定有 n 个线性无关 的特征向量.null则有：定理 4 的证明即（充分性）将必要性证明逆推之即可.证 （必要性）若A与对角阵相似，即存在可逆矩阵 P，使null推论 如果 n 阶矩阵A的 n 个特征值各不相等，则A与对 角阵相似.在一个特别情形，我们有注意 由定理4的证明过程可知：1）对角阵Λ的对角线上的元素就是A的 n 个特征值； 2）相似变换矩阵 P 的列向量就是A的 n个线性无关 的特征向量.设3阶方阵A的特征值为 －1,1,2，问A3 能否相似对角化？答: 可以.null解 A的特征多项式为故得A的三个特征值为对于方程组（-2E －A)x= 0 , 试证三阶矩阵与对角阵相似.解齐次线性可得特 征向量：例 (P116例 7 )null则有得两个线性无 关的特征向量：构造矩阵即A与对角矩阵相似.null 1. (P118第1题)解 因A与Λ相似，null问 x 取何值时， 矩阵A能对角化？2.解：null§4 实对称矩阵的相似矩阵§4 实对称矩阵的相似矩阵定理 5 实对称矩阵的特征值为实数. 前面我们知道，一般来说 n 阶矩阵不一定有 n 个线性 无关的特征向量; 但在实对称矩阵情形，则有肯定的结 论. 对实对称矩阵，有（证明略去）此定理表明 n 阶实对称矩阵一定有 n个实 特征值.null定理 6 设λ1,λ2 是实对称矩阵A的两个特征值，P1, P2 是对应的特征向量，若λ1≠λ2，则P1, P2正交.证 已知要证证毕null定理7 设A是 n 阶实对称矩阵, λ是 A的特征方程的 r 重 根, 则特征值λ恰有 r 个线性无关的特征向量. （此时矩阵（A－λE）的秩 R(A－λE)= n - r )在上述三个定理的基础上，可得下述定理8. 定理表明, n 阶实对称矩阵一定有 n 个线性无关的特 征向量. 此定理在理论上非常重要，但证明超出范围，故略去.null证 设A的互不相等的特征值为由定理7知特征值所对应的线性于是,一共可以得到 n个单位正交的特征向量,以这 n个单位正交的特征向量为列向量构造矩阵P, 则P为正交矩阵，且有证毕.null解 A的特征多项式为对于解齐次线性方程组（A －2E)x = 0 ,P119 例 9null系数 矩阵同解 方程 组为取基 础解 系单位 化得null系数 矩阵同解 方程 组为取基 础解 系null 基础解系中的 两个向量恰好正 交, 故只须单位化构造 正交 矩阵null解 A的特征多项式为P120 例10null 得特 征向量单位 化得 得两个线性无 关的特征向量null 由于这两个向量不是正交的, 故须先正交化再单位化正交化,取null再单位化构造 正交 矩阵§5 二次型及其标准形§5 二次型及其标准形的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换把方程化为标准形引言 在解析几何中，为了便于研究二次曲线 注意 此为正 交变换null称为二次型. （*）式的左边是一个二次齐次多项式，从数学的观点 看，化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个 二次齐次多项式，使它只含有平方项。 我们把二次齐次多项式称为二次型.null 称只含平方项的二次型，如于是，有为二次型的标准形.null二次型的矩阵形式表示记nullnull⑴ 矩阵A是实的对称阵；易知，在上述记法下： 称对称阵A为二次型 f 的矩阵，也把 f 叫做对 称阵A的二次型，A的秩就叫做二次型 f 的秩.⑵ 实二次型与实对称阵之间是一一对应的.null可见，与标准形对 应的矩阵是对角阵解问： 与标准形对应的矩阵是什么？此标准形用矩阵如何表示？null用矩阵表述，即寻求可逆变换 X=CY ，其中化为标准形. 也即寻求可逆的 线性变换要讨论的问题是：null证由上可见：二次型化简，即称满足此式 的矩阵A， B是合同的null定理10 任给实二次型null ⑴ 写出二次型的矩阵A（一定是对称阵）； ⑵ 求A的特征值（共 n 个，重根按重数计算）； ⑶ 求各特征值对应的特征向量； ⑷ （在正交化、单位化后）写出正交矩阵P； ⑸ 写出二次型的标准形及所用的正交变换.例（教材P124例11）注 此类习题是本章的基本题型之一，要求大家必须掌 握，其解法步骤如下：求一个正交变换把下列二次型化为标准形.null解 二次型 的矩阵为它的特征 多项式为于是A的特征值为null可得正交的基础解系null单位化 即得于是，正 交变换为标准形为null例 化简二次型§6 化二次型为标准形的其它方法 若不限于用正交变换，还可以有多种方法把二次型 化成标准形，这里仅介绍配方法. 其它方法请大家自 学. 用配方法可以分为两种情形： 1）二次型中含有平方项； 2）二次型中不含平方项. nullnull所用变换 矩阵为null代入可得再配方，得故令null即有 所用的变换矩阵为问：能否继续 化简此二次型？§7 正定二次型§7 正定二次型 试回答下列问题： ⒈ 二次型的标准形是否唯一？ ⒉ 用正交变换法得到的标准形是否唯一？ ⒊ 标准形中所含 (非零)的项数是否确定？ 答 1 .不唯一.2 .除顺序可能不同外，唯一.3. 确定，为二次型的秩.null定理11 （惯性定理） 设有二次型 ，它的秩为 ，有两个 实的可逆变换null若设 中正数的个数为 p,则负数的个数为 r-p. 于是 f 的标准形可写为：null问下列二次型正定性如何？由定理11可引出一个较为重要的概念，即正定性.（非负定）（正定）定义正定（非负定）二次型， 并称对称阵A是正定（非负定）的， 记作A>0; 如果对于任何 都有则称 f 为负定二次型，并称A 是负定的，记作null推论 对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全 为正.定理13 对称阵A为正定的充分必要条件是：A 的各阶主 子式都为正；对称阵A为负定的充分必要条件是：奇数 阶主子式为负，而偶数阶主子式为正. 二次型、实对称阵的正定性判别null顺序主子式 即矩阵沿其主对角线方向所取的子式. 如 n 阶方阵即各阶主子式依次为：null1 证明 ：若A、B皆正定，则A+B也正定。由于A、B皆正定，知从而由定义，即A+B是正定的.证 对于任意 null2 证明：若A正定，则 也正定. 从而中每一个矩阵的 n 个 特征值也全部大于零（为什么？）.于是，由推论知为正定的. 证 因为 A 正定，故A的 n 个特征值皆大于零，null由定理13知此二次型是负定的.解 二次型的 矩阵为各阶主子式依次为3 判别二次型的正定性：null第五章 小 结概念：内积、正交、特征值、特征向量、正交矩阵 相似矩阵、对角化、二次型、标准形、正定矩阵习题类型 1 施密特正交化及规范化 2 将一个(或几个线性无关的)向量扩充为正交规范基 3 方阵的特征值、特征向量的讨论 4 用正交阵化对称阵为对角阵（或用正交变换化二 次型为标准形） 5 用配方法化二次型为标准形 6 判别二次型（或对称阵）的正定性null一、填空1、6 阶行列式中项的符号为 .+2、已知向量组线性相关, 则t= .33、设A，B同为 n 阶矩阵， .null5、设向量组等价，且线性无关，则 r 与 t 间满足 .4、设= . .null7、若二次型是正定的，则t的取值范围是 .8、设A是3阶矩阵，其特征值为1，-1，2，则 A2+3A-2E的特征值为 .2，- 4，8null分析：该题具有一定的综合性.因此，为B.null 2. 设A为n阶可逆矩阵，且每一行元素之和皆等于d, 试证（1）d是A的特征值； （2）A的逆也是各行元素之和皆相等的矩阵.证由题知null故有这表明的各行元素之和相等，皆为 .证毕2 设A为n阶可逆矩阵，且每一行元素之和皆等于d, 试证（1）d是A的特征值； （2）A的逆也是各行元素之和皆相等的矩阵.null3 设有方程组问λ为何值时，该方程组有唯一解，无解，无穷多 解？并在有无穷多解时求其通解。解 增广矩阵null当λ= 4时，因为R(A)=R(B)=2，故此时有无穷多解。同解方 程组为：通解 为：故当λ≠4且λ≠－1时，方程组有唯一解。null当λ= －1时，因为R(A)=2，而R(B)=3，故此时无解。综上：□null4 1）设是其伴随矩阵，计算解 1）故向量组的秩 解2）为3，且为一个最大无关组2）求向量组的秩和一个最大无关组且将其余向量用此最大无关 组线性表示。null5 设A为 n 阶方阵，为其特征值，为其对应的特征向量，证明当A的特征向量.时，不是此即矛盾.于是□null02年考研题6nullnullnull解 与二次型对应的矩阵为标准形所对应的矩阵为7 （P137第9题）已知二次型，通过正交变换将求参数 a 及所用的正交变换.变为null又记则所求的正 交变换为□