西城数学

北京市西城区2012年初三二模数 学 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1． 的倒数是 A．3 B． C． D． 2．2010年，我国国内生产总值（GDP）为58 786亿美元，超过日本，成为世界第二大经济体．58 786用科学记数法表示为 A． B． C． D． 3．⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为5cm，若圆心距O1O2=2 cm，则这两圆的位置关系是 A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 4．若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是 A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 5．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示： 型号 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 数量（双） 3 5 10 15 8 3 2 鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 6．小明的爷爷每天坚持体育锻炼，一天他步行到离家较远的公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面的四个函数图象中，能大致反映当天小明的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的是 7．下图的长方体是由A，B，C，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是 8．在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线 ，直线 和直线 所围成的 区域内或其边界上，点Q在x轴上，若点R的坐标为 ，则 的最小值为 A． B． C． D．4 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式 m3 – 4m = . 10．函数 中，自变量 的取值范围是 ． 11．如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB与小圆相切，切点为P． 若两圆的半径分别为2和1，则弦长AB= ；若用阴影部分 围成一个圆锥（OA与OB重合），则该圆锥的底面半径长为 . 12．对于每个正整数n，抛物线 与x轴交于An，Bn两点， 若 表示这两点间的距离，则 = （用含n的代数式表示）； 的值为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算： ． 14．已知：如图，直线AB同侧两点C，D满足 ， AC=BD，BC与AD相交于点E． 求证：AE=BE． 15．已知：关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数值时，用公式法求该方程的解. 16．已知 ， ，求代数式 的值． 17．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 18．今年3月12日，某校九年级部分学生参加植树节活动，以下是根据本次植树活动的有关数据制作的统计图的一部分．请根据统计图所提供的有关信息，完成下列问题： （1）参加植树的学生共有 人； （2）请将该条形统计图补充完整； （3）参加植树的学生平均每人植树 棵．（保留整数） 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．某汽车运输公司根据实际需要购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x（辆），购车总费用为y（万元）． （1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的，并求 出该方案所需费用． 20．如图，在梯形 中， ∥ ， ， ， ，连结并延长 到 ，使 ，作 ，交 的延长线于点 ． （1）求 的值； （2）求 的长． 21．已知：如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点， AD交BC于点E，连结AB. （1）求证： ； （2）过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F， 若AE=2，ED=4，求EF的长． 22．如图1，若将△AOB绕点O逆时针旋转180°得到△COD，则△AOB≌△COD．此时，我们称△AOB与△COD为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC是锐角三角形且AC＞AB， E为AC的中点，F为BC上一点且BF≠FC（F不与B，C重合），沿EF将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形． 请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图3中将△ABC沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形； （2）在图4中将△ABC沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形； （3）在图5中将△ABC沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中 的一块为钝角三角形． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．阅读下列材料：若关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为 x1，x2，则 ， ． 解决下列问题： 已知：a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，关于x的一元二次方程 有两个实数根，其中一根为2． （1）填空： 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”） （2）利用阅读材料中的结论直接写出方程 的另一个实数根（用含a，c的代数式表示）； （3）若实数m使代数式 的值小于0，问：当x= 时，代数式 的值是否为正数？写出你的结论并说明理由． 24．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝ 90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0． （1）当t＝2时，PH= cm ，DG = cm； （2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由； （3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程； （4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）． 25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，以y轴正半轴上一点 （m为非零常数）为端点，作与y轴正方向夹角为60°的射线l，在l上取点B，使AB=4k (k为正整数)，并在l下方作∠ABC =120°，BC=2OA ，线段AB，OC的中点分别为D，E． （1）当m=4，k=1时，直接写出B，C两点的坐标； （2）若抛物线 的顶点恰好为D点，且DE= ，求抛物线的解析式及此时cos∠ODE的值； （3）当k=1时，记线段AB，OC的中点分别为D1，E1；当k=3时，记线段AB，OC的中点分别为D3，E3，求直线 的解析式及四边形 的面积（用含m的代数式表示）． 北京市西城区2011年初三二模试卷 答案及评分标准 2011.6 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C B C A A 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 9 10 11 12 答案 ， 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式= ……………………………………………………………4分 = ． ……………………………………………………………………5分 14．证明： 如图1． 在△ACE和△BDE中， ∵ ………………………………3分 ∴ △ACE≌△BDE． ……………………………………………………………4分 ∴ AE=BE．………………………………………………………………………5分 15．解：（1）∵ 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ ． ………………………………………………………1分 解得 ． ……………………………………………………………………2分 （2）∵ ， ∴ 符合条件的最大整数 ，此时方程为 ． ……………3分 ∴ ． ∴ ．………………………………………………4分 代入求根公式 ，得 ．…………5分 ∴ ． 16．解：原式= = ．………………………………………2分 ∵ ①， ②， ∴ ①-②，得 ． ………………………………………………………4分 ∴ 原式= ． ………………………………………………………………………5分 17．解：（1）∵ 反比例数 的图象经过 ， 两点，（如图2） ∴ ， ． ∴ 反比例函数解析式为 ．………………………1分 点B的坐标为 ．……………………………2分 ∵ 一次函数 的图象经过 ， 两点， ∴ 解得 ∴ 一次函数的解析式为 ．……………………………………3分 （2）设一次函数 的图象与 轴的交点为C，则点C的坐标为 ． ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． …………………………5分 18．解：（1）50；………………………………………………………………………………1分 （2） ………………………………………………………………………………3分 （3）3．………………………………………………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）因为购买大型客车x辆，所以购买中型客车 辆． ．…………………………………………2分 （2）依题意得 < x. 解得x >10．……………………………………………………………………3分 ∵ ，y随着x的增大而增大，x为整数， ∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． …………4分 此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．……………………………5分 答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元． 20．解：（1）作DM⊥AB于点M，CN⊥AB于点N．（如图3） ∵ ∥ ，DM⊥AB，CN⊥AB， ∴ ∠DMN=∠CNM=∠MDC= ． ∴ 四边形MNCD是矩形. ∵ ， ∴ MN=CD= 4． ∵ 在梯形 中， ∥ ， ， ∴ ∠DAB=∠CBA，DM=CN． ∴ △ADM≌△BCN． 又∵ ， ∴ AM=BN= ． ∴ MB=BN+MN=7．……………………………………………………………2分 ∵ 在Rt△AMD中，∠AMD= ，AD=5，AM=3， ∴ ． ∴ ．……………………………………………………3分 （2）∵ ， ∴ ∠F= ． ∵∠DMN= ， ∴ ∠F=∠DMN. ∴ DM∥EF． ∴ △BDM∽△BEF． ∵ ， ∴ ． ∴ BF=2BM=14． ……………………………………………………………4分 ∴ AF=BF AB=14 10=4． …………………………………………………5分 21．（1）证明：如图4． ∵ 点A是劣弧BC的中点， ∴ ∠ABC＝∠ADB．………………………1分 又∵ ∠BAD＝∠EAB， ∴ △ABE∽△ADB．………………………2分 ∴ ． ∴ ．………………………………………………………3分 （2）解：∵ AE=2，ED=4， ∴ ． ∴ （舍负）．………………………………………………………4分 ∵ BD为⊙O的直径， ∴ ∠A= ． 又∵ DF是⊙O的切线， ∴ DF⊥BD. ∴ ∠BDF= ． 在Rt△ABD中， ， ∴ ∠ADB= ． ∴ ∠ABC=∠ADB= . ∴∠DEF=∠AEB= ， ． ∴ ∠F = ． ∴ △DEF是等边三角形． ∴ EF= DE=4．………………………………………………………………5分 　　　　　　　 22．解：（1） ……………………………………………………1分 （2） ……………………………………………………3分 （3） ……………………………………………………5分 23．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分 （2） ．……………………………………………………………………………4分 （3）答：当x= 时，代数式 的值是正数． 理由如下： 设抛物线 （a≠0），则由题意可知，它经过A ，B 两点． ∵ a＞0，c＜0， ∴ 抛物线 开口向上，且 ＜0＜2，即点A在点B左侧．………………………5分 设点M的坐标为 ，点N的坐标为 ． ∵ 代数式 的值小于0， ∴ 点M在抛物线 上，且点M的纵坐标为负数． ∴ 点M在x轴下方的抛物线上．（如图5） ∴ ，即 ． ∴ ，即 ． 以下判断 与 的大小关系： ∵ ＝0，a＞b，a＞0， ∴ ． ∴ ． ∴ ．…………………………………………………………6分 ∵ B，N两点都在抛物线的对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴ ，即 . ∴ 当x= 时，代数式 的值是正数． ………………………7分 24．解：（1） ， ．………………………………………………………………………2分 （2）只有点P在DF边上运动时，△PDE才能成为等腰三角形，且PD=PE．（如图6）……………3分 ∵ BF=t，PF=2t，DF＝8， ∴ ． 在Rt△PEF中， = ． 即 ． 解得 ．…………………………………4分 ∴ t为 时△PDE为等腰三角形． （3）设当△DEF和点P运动的时间是t时，点P与点G重合，此时点P一定在DE边上，DP= DG． 由已知可得 ， ． ∴ ∴ ∴ ， ， ∵ ， ∴ ． 由DP=DG得 ． 解得 ． …………………………………………………………………5分 　检验： ，此时点P在DE边上. ∴ t的值为 时，点P与点G重合． 　　　（4）当0＜t≤4时，点P在DF边上运动（如图6）， ． …………………………………………………………………………………6分 当4< t≤6时，点P在DE边上运动（如图7），作PS⊥BC于S，则 ． 　　　　　 可得 ． 　　　　此时 ， ． ． ∴ ．………………………………………………7分 综上所述， （以上时间单位均为s，线段长度单位均为cm） 25．解：（1）B点的坐标为 ，………………………………………………………1分 C点的坐标为 ．………………………………………………………3分 （2）当AB=4k， 时，OA=m，与（1）同理可得B点的坐标为 ， C点的坐标为 ． 如图8，过点B作y轴的垂线，垂足为F，过点C作x轴的垂线，垂足为G， 两条垂线的交点为H，作DM⊥FH于点M，EN⊥OG于点N． 由三角形中位线的性质可得点D的坐标为 ，点E的坐标为 ． 由勾股定理得 ． ∵ DE= ， ∴ m=4． ……………………………4分 ∵ D恰为抛物线 的顶点， 它的顶点横坐标为 ， ∴ ．解得k=1． 此时抛物线的解析式 ． …………………………………5分 此时D，E两点的坐标分别为 ， ． ∴ ， ． ∴ OD=OE=DE． ∴ 此时△ODE为等边三角形，cos∠ODE= cos60°= ．……………………6分 （3）E1，E3点的坐标分别为 ，E3 ． 设直线 的解析式为 （a≠0）． 则 解得 ∴ 直线 的解析式为 ． ……………………………………7分 可得直线 与y轴正方向的夹角为60°. ∵ 直线 ， 与y轴正方向的夹角都等于60°， ∴ ∥ ． ∵ D1，D3两点的坐标分别为 ， ， 由勾股定理得 =4， =4． ∴ ． ∴ 四边形 为平行四边形． 设直线 与y轴的交点为P，作AQ⊥ 于Q．（如图9） 可得点P的坐标为 ∴ ∴ ．…………………………8分 图1 图2 图3 图4 图5 _1365535286.unknown _1365933512.unknown _1365934218.unknown _1366396806.unknown _1367395238.unknown _1367435136.unknown _1367391847.unknown _1365934425.unknown _1366373621.unknown _1366396790.unknown _1366373613.unknown _1365934410.unknown _1365934417.unknown _1365934402.unknown _1365934186.unknown _1365934195.unknown _1365933546.unknown _1365535601.unknown _1365535665.unknown _1365535742.unknown _1365933164.unknown _1365535714.unknown _1365535642.unknown _1365535301.unknown _1365535309.unknown _1365535294.unknown _1363521778.unknown _1365406907.unknown _1365533255.unknown _1365535262.unknown _1365535271.unknown _1365534137.unknown _1365535242.unknown _1365533417.unknown _1365533166.unknown _1365533197.unknown _1365533149.unknown _1363521804.unknown _1363895976.unknown _1363972843.unknown _1365402426.unknown _1365406832.unknown _1365401541.unknown _1365173160.unknown _1363896427.unknown _1363964675.unknown _1363896386.unknown _1363895852.unknown _1363895966.unknown _1363881755.unknown _1363893659.unknown _1363521790.unknown _1363521799.unknown _1363521784.unknown _1363521739.unknown _1363521766.unknown _1363521772.unknown _1363521757.unknown _1363331067.unknown _1363521732.unknown _1337024983.unknown _1363281254.unknown