考前一周自主复习数学

余杭中学数学 考前一周自主复习数学（1） 基础知识回顾 一 集合 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性， 2.遇到 时，你是否注意到“极端”情况： 或 ；同样当 时，你是否忘记 的情形？要注意到 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.对于含有 个元素的有限集合 ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 EMBED Equation.3 　 4.集合的运算性质：　⑴ ；　⑵ ；⑶ ； ⑷ ； ⑸ ； ⑹ ；⑺ . 5. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 二 函数 函数图像的变换 1．函数 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向 或向 平移 个单位即可得到；左 右 2．函数 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向 或向 平移 个单位即可得到；上 下 3.(1)函数 的图像可以将函数 的图像关于 对称即可得到； 轴 (2)、函数 的图像可以将函数 的图像关于 对称即可得到； 轴 (3)、函数 的图像可以将函数 的图像关于 对称即可得到；原点 (4)、函数 的图像可以将函数 的图像关于直线 对称即可得到； 4 (1)函数 的图像可以将函数 的图像的 轴下方部分沿 翻折到 轴上方，去掉原 轴下方部分，并保留 的 轴上方部分即可得到； 轴 (2)函数 的图像可以将函数 的图像右边沿 翻折到 轴左边替代原 轴左边部分并保留 在 轴右边部分即可得到 轴 (3)伸缩变换：函数 EMBED Equation.DSMT4 的图像可以将函数 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标 或压缩（ ）为原来的 得到；伸长 倍 函数 EMBED Equation.DSMT4 的图像可以将函数 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 或压缩（ ）为 倍得到。原来的 函数的定义域 1在实际寻求函数的定义域时，应当遵守下列规则： （1） 分式的分母不能为零； （2） 偶次方根的被开方数应该为非负数； （3） 有限个函数的四则运算得到新函数其定义域是这有限个函数的定义域交集（作除法时还要去掉使除式为零的x值）；[来源:学科网] （4） 对于由实际问题建立的函数，其定义域还应该受实际问题的具体条件限制。 2.已知f(x)的定义域为D，求f[g(x)]的定义域，实质是解不等式g(x)∈D；而已知f[g(x)]定义域为D，求f(x)定义域，是根据x∈D，求g(x)的取值范围。此时，一定要注意题目中给的条件，不要被它造成的假象所迷惑，尤其分清说的是x还是别的。[来源:Z.xx.k.Com] 函数值域的常见求法： （1）法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）， （2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型， （3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性， （4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性， （5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在 轴的同侧。 （6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：① 型，可直接用不等式性质，② 型，先化简，再用均值不等式，③ 型，通常用判别式法；④ 型，可用判别式法或均值不等式法， （7）不等式法――利用基本不等式 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。（8）导数法――一般适用于高次多项式函数， 函数的单调性与奇偶性 1确定函数的单调性或单调区间的常用方法： （1）在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间 内，若总有 ，则 为增函数；反之，若 在区间 内为增函数，则 ，请注意两者的区别所在。 （2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意 型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为 ，减区间为 . （3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，[来源:Zxxk.Com] 2 具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 3确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： ①定义法： ②利用函数奇偶性定义的等价形式： 或 （ ）。 ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 轴对称。 4.函数奇偶性的性质： ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②若 为偶函数，则 . ③若奇函数 定义域中含有0，则必有 .故 是 为奇函数的既不充分也不必要条件。 ④定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。 ⑤复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外” ⑥既奇又偶函数有无穷多个（ ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 函数的周期性 1由周期函数的定义“函数 满足 EMBED Equation.DSMT4 ，则 是周期为 的周期函数”得： ①函数 满足 ，则 是周期为2 的周期函数； ②若 恒成立，则 ； ③若 恒成立，则 . 2类比“三角函数图像”得： ①若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函数，且一周期为 ； ②若 图像有两个对称中心 ，则 是周期函数，且一周期为 ； ③如果函数 的图像有一个对称中心 和一条对称轴 ，则函数 必是周期函数，且一周期为 ； 二次函数 1二次函数的解析式有以下三种形式： （1） 一般式： （2） 顶点式： （3） 零点式： 其中 是方程 的根 2．二次函数 的图象是抛物线，对称轴方程为 ，顶点坐标是 ，当 时，函数的最小值是 当 函数的最大值是 幂，指，对数函数 1．所有幂函数在 都有意义，并且图象都通过点 ； (>0时，图象在第一象限是增函数； (<0时，图象在第一象限是减函数,且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴。 2．指数函数 EMBED Equation.DSMT4 的定义域是 , 值域是 , 当 时，函数的单调增区间为 , [来源:学科网] 3. 对数函数 的定义域是 , 值域是 , 当 时，函数的 单调减区间为 4. 指数函数 ,当 时， EMBED Equation.DSMT4 当 时， 当 时， 1 4 指数函数 ,当 时， EMBED Equation.DSMT4 当 时， EMBED Equation.DSMT4 当 时， 1 5. 对数函数 ,当 时， EMBED Equation.DSMT4 ，当 时， 当 时， 0 6．对数函数 ，当 时， EMBED Equation.DSMT4 ，当 时， 当 时， 0[来源:学科网ZXXK] 7. 指数函数 与对数函数 图象关于关于直线 对称 函数的零点 1． 对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的 函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的 答：零点 横坐标． ２．二次函数 的零点： １）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有 个零点；　　　　两个 ２）△＝０，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有 零点　　一个 ３）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数有 个零点。零 ３．如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数　　 在区间 内必有零点。即存在 ，使得 ，这个 也就是方程的根。 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com) 版权所有：学科网(www.zxxk.com) 余杭中学数学 考前一周自主复习数学（2） 解题方法指导 1已知集合A={1,2,3，}，B={2，m，4}，A∩B={2,3}，则m= 【】3 【命题意图】本题考查了集合的运算与参数的求解 【解析】由于A={1，2，3}，B={2，m，4}，而A∩B={2，3}，那么3∈B，则m=3，故填3； 2设函数,对任意恒成立,则实数m的取值范围是 . 【答案】【命题意图】本题考查函数与不等式的结合，考查不等式恒成立问题. 【解析】由题意对任意恒成立， 即恒成立.又，所以，恒成立， 即，解得（正值舍）. 3如果等差数列中，++=12，那么 ++…+= [来源:学#科#网Z#X#X#K] 【答案】28 【命题意图】本题考查等差数列基本量的计算，，，，，五个量知三求二，应用到方程思想，同时也考查了等差数列的通项公式和前项和公式. 【解析】，，而 4 设是等比数列，公比，为的前项和，记，.设为数列的最大项,则= . 【答案】4 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式以及基本不等式的应用. 【解析】由题意 ，[来源:学&科&网Z&X&X&K] 当且仅当，即，时最大，所以. 5已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 【答案】【命题意图】本题考查导数、切线的斜率以及利用基本不等式求解取值范围等问题，考查同学们分析问题解决问题的能力. 【解析】由题，所以，当且仅当时等号成立，而，即切线的斜率的取值范围是，所以直线的倾斜角为， 6若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是 【答案】【命题立意】本题考查圆和基础知识及直线与圆的位置关系等基础知识，设出圆心坐标因其在坐标轴上，所以只有一个变量，再由圆心到直线的距离等于半径即解得。 【解析】设圆心为，则，所以圆方程为 7.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点， ， 为垂足，如果直线 的斜率为 ，那么 【答案】8【命题意图】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想。 【解析】抛物线的焦点 ,直线AF的方程为 ，所以点 、 ，从而 8.已知为等差数列，且，。 （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若等差数列满足，，求的前n项和公式 【命题意图】本题考查等差数列的求通项和等比数列的求和问题.本题很好的兼顾了对等差数列和等比数列的考查。且考查的知识点和方法侧重于基础与典型. 【答案】解：（Ⅰ）设等差数列的公差。 因为 所以 解得[来源:学*科*网Z*X*X*K] 所以 （Ⅱ）设等比数列的公比为 因为 所以 即=3[来源:学§科§网] 所以的前项和公式为 9.已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数. (Ⅰ)求的表达式; (Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值. 【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性，利用导数研究三次函数的单调性、最值问题，以及考查逻辑思维能力、运算能力，同事考查方程的丝线、转化与化归的思想。 【参考答案】解：（Ⅰ）由题意得 因此.因为函数是奇函数，所以即对任意实数x，有[来源:学科网ZXXK] 从而解得，b=0,因此的解析表达式为 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，令，解得， ，则当或时，，从而在区间，上是减函数；当时，，从而在区间上是增函数. 由前面讨论知， 在区间上的最大值与最小值只能在时取得，而，，.因此在区间上的最大值为，最小值为. 【点评】文科对导数的考查主要是以三次函数为载体进行的，这是每年高考的必考，主要求解三次函数的单调性、极值、最值，预计2011年同样要考查此类题型。[来源:学科[来源:学科网ZXXK] 余杭中学数学 考前一周自主复习数学（3） 基础知识回顾 三角函数 1弧长公式： （ 是圆心角的弧度数） 2 扇形面积公式： 3.特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75° 0 1 0 －1 1 0 －1 0 1 0[来源:学*科*网Z*X*X*K] 0 2- 2+ 1 0[来源:Z+xx+k.Com] 0 2+ [来源:学_科_网] 2- 4同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： （2）倒数关系： （3）商数关系： 5诱导公式诱导公式一： ， ，其中 诱导公式二： EMBED Equation.DSMT4 ； EMBED Equation.DSMT4 诱导公式三： ； 诱导公式四： ； HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" 诱导公式五： ； － sin －sin sin －sin －sin sin cos cos cos －cos －cos cos cos sin （1）先负角化正角 （2）将较大的角减去 的整数倍 （3）然后将角化成形式为 （ 为常整数）； （4） 然后根据“奇变偶不变，符号看象限”化为最简角； 6 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： 7. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ， ， ， ， 等）， (2)三角函数名互化(切割化弦)， (3)公式变形使用（ EMBED Equation.DSMT4 。 (4)三角函数次数的降升(降幂公式： ， 与升幂公式： ， )。 (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 (6)常值变换主要指“1”的变换（ 等）. (7)正余弦“三兄妹— ”的内存联系――“知一求二”， 8、辅助角公式中辅助角的确定： (其中 角所在的象限由a, b的符号确定， 角的值由 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 9、正弦函数 、余弦函数 的性质： （1）定义域：都是R。 （2）值域：都是 ，对 ，当 时， 取最大值1；当 时， 取最小值－1；对 ，当 时， 取最大值1，当 时， 取最小值－1。 （3）周期性：① 、 的最小正周期都是2 ；② 和 的最小正周期都是 。 （4）奇偶性与对称性：正弦函数 是奇函数，对称中心是 ，对称轴是直线 ；余弦函数 是偶函数，对称中心是 ，对称轴是直线 （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 轴的直线，对称中心为图象与 轴的交点）。 （5）单调性： 上单调递增，在 单调递减； 在 上单调递减，在 上单调递增。特别提醒，别忘了 ！ 10 三角形中的有关公式： 1内角和定理：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方. 2、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 变形形式 ①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; ②sinA= ,sinB= ,sinC= ; ③a:b:c=sinA: sinB: sinC; ④ 解决的问题 （4） 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； （5） 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。 1 已知三边，求各角； 2 已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。 注：在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件。（∵sinA>sinB EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 a>b A>B） 3、在在ΔABC中，已知a,b和A时，解的情况如下： 4面积公式： （其中 为三角形内切圆半径）.如 中，若 ，判断 的形状（答：直角三角形）。 向量 1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 为实数。（1）向量式：a∥b(b≠0) a= b;（2）坐标式：a∥b(b≠0) x1y2－x2y1=0; 2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), （1）向量式：a⊥b(b≠0) a b=0; （2）坐标式：a⊥b x1x2+y1y2=0; 3.平面向量数量积的坐标表示： （1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a b=x1x2+y1y2; ; （2）若a=(x,y),则a2=a a=x2+y2, ; 4.向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则：[来源:学科网] ① ； ②当 ， 同向时， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ＝ ，特别地， ；当 与 反向时， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ＝－ ； 当 为锐角时， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ＞0，且 不同向， 是 为锐角的必要非充分条件； 当 为钝角时， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ＜0，且 不反向， 是 为钝角的必要非充分条件； ③非零向量 ， 夹角 的计算公式： ； ④ [来源:学&科&网] 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com) 版权所有：学科网(www.zxxk.com) 余杭中学数学 考前一周自主复习数学（4） 解题方法指导 1：设奇函数f（x）的定义域为[-5，5].若当x∈[0，5]时，f（x）的图像如右图，则不等式f（x）＜0的解是 典型错误：根据奇函数图像关于原点O成 中心对称，作出当x∈[-5，0]的部分图像， 数形结合得解为：（-2，0）∪（2，5），也有写成解为： [-2，0] ∪[2，5]等. 辨析：错因是审题不细，忽视了在区间端点时的“陷阱”情形.要求f（x）＜0的解，显然f（-2）= f（0）= f（2）=0，故-2、0、 2不能取，但x=5时f（5）＜0，因此正确的解答为： ∪ 对策：不等式问题要关注能否取到“=”号时的解.要警惕“陷阱”设置在隐含条件中. 2：若函数f（x）=a +2在 上为增函数，则实数a、b的取值范围是 典型错误：将f（x）去掉绝对值符号得:f（x）= ∵f（x）在 上为增函数，∴a＞0. 如图:画一个符合题意的草图，∴b<0. 辨析：主要原因是题目涉及两个字母a、b的讨论，学生会感到困难.另外，草图画得太特殊，也有导致忽视端点b=0成立的情形. 正确答案为a＞0，b≤0. 对策：适度把解扩大到端点a=0，b=0代入检验，防范可能疏漏的情形,未雨绸缪. 3 已知Sinθ+Cosθ= ，θ∈（0，π）则tanθ之值为 一部分学生，可能用下面的方法解答： Sinθ+Cosθ= EMBED Equation.3 1+ Sin2θ= EMBED Equation.3 Sin2θ=- EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =- 解得tanθ=- 或- 学生满以为答案正确了，无想到恰掉入出题人设下的陷阱；θ的范围给得太宽，应在（0，π）中寻找更适切的范围。 因为Sinθ+Cosθ= ，所以θ只能在（ ， ），从而tanθ之值也只能为- ，本题不论采用任何一种方法来解，都应识别该陷阱，才能跨过陷阱，得出正确的答案。 4：设函数f（x）= 的定义域为A，g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）其中a＜1的定义域为B （1） 求A；（2）若B(A，求实数a的取值范围 典型错误：（1）分式不等式端点的解出错，由 ≥0，解得x≥1或x≤-1[来源:学科网] （2） 区间端点考虑欠缺，由A= ∪ ，B=（2a，a+1）及B(A,得a （ ，-2）∪（ ，1） （3） 无视已知条件a＜1，多余地讨论a，最后得a∈ ∪ 辨析：（1）分式不等式要舍去使分母为零的解，即A=（ ，-1）∪ （2）要使B(A，端点的等号可取到，即2a≥1或a+1≤-1，即a≥ 或a≤-2 （3）要克服思维定势，避免无视条件,把平时所做过的题目盲目照搬照套，最后偏离题意.该题的正确答案是 对策：对于涉及到诸如:整式不等式与分式不等式解的端点, 开与闭区间的端点以及真子集与子集的端点等号等特殊情形要细致对比分析,防范“陷阱”. 5；求函数 的值域。[来源:学|科|网Z|X|X|K] 典型错误： 。 ， ， 的值域为[-1，2]。 辨析： 出此错误的原因是未注意到在函数 中 ，即 ， 当 化为 后，要注意 的取值为 ， 函数的值域为 。 对策：题目变形过程一定要注意等价变形，如出现不等价情形，则要回到原题目对照检验。 6；已知实数 满足 ，求 的最大值。 典型错误：由已知得 ，所以 [来源:Z.xx.k.Com] ， 从而 的最大值为 。[来源:学,科,网Z,X,X,K] 辨析：以上解法在消 时忽略了确定变量 的范围。 由 得 ，因为 ，[来源:学科网ZXXK] 所以当 时， 取最大值 。 对策：关注多变量之间的联系，特别是元素间的相互制约关系。这是隐含条件的陷阱。 7 在 中，角 的对边分别为 ，若 ,则角 的取值范围为 . 典型错误：直接解得： 解题思路：此题给出的不等式是边角关系，故应用正、余弦定理进行边角互化进行转化处理。 即 ，则 ，又 ，且 要有意义， 所以 反思总结：该题的转化方法学生基本都会，但遗漏 条件的限制的现象比较多。主要原因是对等价变形还没有落实到实处，特别是正、余切函数的本身范围的限制，以及去分母、平方等都要重视。 8 有两个不同解，试求 的取值范围。 典型错误： 设 ，则原方程变为 ，原方程有两个不同解，就是上述方程有两个不同解，所以 ，即 或 。 辨析：：以上在换元时忽略了元 的范围，即 ，因此原方程有两个不同解等价于方程 有两个不相等的正实数根，则有 所以 。 对策：为了使解题过程简洁，我们常使用换元法，换元时要想实现等价变形，必须注意新元的范围。 9已知函数 的值是 。 典型解法：试题中给出了 。一些学生由于受定势思维的影响，注重由 ，过程繁琐，出错率增大。但如果利用整体消元思想，由 ， 。因此答案应填12。 对策：在填空题的作答中，应尽量通过比较后，选择简单方法入手，既节省时间又提高成功率. 余杭中学数学 考前一周自主复习数学（5） 基础知识回顾 等差数列 1．数列前n项和公式Sn与an的关系： ． 2、等差数列的定义： 或变式： （ ） 3、等差数列的通项公式： ＝ ＋（n-1）d，其中 为首项，ｄ为公差． 变式： （ ）或 4、等差数列{an}前n项的和为 ；其变形 ；是关于 的二次函数且常数项为0. “首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组 确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前 项是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 。 5.等差数列的性质： （1）当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且斜率为公差 ；前 和 是关于 的二次函数且常数项为0. （2）若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则为常数列。[来源:Zxxk.Com] （3）、等差数列 中，若 =2r，则 = （4）、若 是等差数列，则 ，…也成等差数列，而 成等比数列； （5）、若等差数列 、 的前 和分别为 、 ,且 ,则 （6）、在等差数列 中：当项数为偶数 时， ， ， ， ；当项数为奇数 时， ， ， （这里 即 ）； 等比数列 1、等比数列的定义： 或变式： （n 2）（ ） 2、等比数列的通项公式： ，其中 为首项，q为公比。变式： （ ）或 3、等比中项： 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，并且 。 4、等比数列{an}前n项的和为Sn＝na1，(q＝1时)；Sn＝ ，(q≠1时)。 当 时， ，这里 ，但 ，这是等比数列前 项和公式的一个特征，据此很容易根据 ，判断数列 是否为等比数列。若 ，则 为递增数列；若 , 则 为递减数列； ，则 为递减数列；若 , 则 为递增数列；若 ，则 为摆动数列；若 ，则 为常数列. 5. 等比数列的性质： （1）、等比数列 中，若 =2r，则 = （2）、若 是等比数列，且公比 ，则数列 ,…也是等比数列。当 ，且 为偶数时，数列 ，…是各项均为0 的常数数列，它不是等比数列. 当 时， 是等差数列。 （3）、在等比数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时， . 数列的通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式 ⑵已知 （即 ）求 ，用作差法： 。 ⑶已知 求 ，用作商法： 。 ⑷若 求 用累加法： EMBED Equation.DSMT4 。 ⑸已知 求 ，用累乘法： EMBED Equation.DSMT4 。 ⑹已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如 、 （ 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 的等比数列后，再求 。（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。 数列求和的常用方法： （1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，；③常用公式： ， ， （2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. （3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法）. （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ① ； ② ； ③ ， ④ EMBED Equation.DSMT4 . （6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。 利率问题： ①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金 元，每期利率为 ，则 期后本利和为： （等差数列问题）； ②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款） 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分 期还清。如果每期利率为 （按复利），那么每期等额还款 元应满足： （等比数列问题）. 不等式 1基本不等式: ,则;当且仅当时等号成立. ,则,当且仅当时等号成立. 2．利用基本不等式求最值： 当为定值时,有最小值; 当或为定值时,有最大值(). 3.拓展：若时,,当且仅当时等号成立. 立体几何 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1 ：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2 ：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 图形语言、符号语言及作用如下： 公理或推论 图形语言 符号语言 作用 公理1 判定直线是否 在平面内 公理2 判定两个平面 是否相交 公理3 点A,B,C不共面点A,B,C确定一个平面 确定一个平面 推论1 点C与直线a 确定一个平面 确定一个平面 推论2 直线a与直线b确定一个平面 确定一个平面 推论3 直线a与直线b确定一个平面 确定一个平面 公理4[来源:学科网] 判断两线平行 公理 4（平行公理） 平行于同一条直线的两条直线互相平行． 即：若a∥b，b∥c，则 a∥c。[来源:Z,xx,k.Com] 4、等角定理：不在同一平面内的两个角，如果其中一个角的两边与另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 5.线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。[来源:学科网] 6.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 7.线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。即： 若⊥，⊥，∩＝B，，，则⊥ 8.线面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行 9. 平面与平面平行的判断方法有三种 (1). 定义：两平面没有公共点，则两平面平行. (2).判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为： 图形如图所示图形如图所示 10. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：. 即：面面平行 线线平行（指交线） 其它性质： ①；即：面面平行 线面平行（大题能用） ②，，则．（小题用） ③夹在平行平面间的平行线段相等.（小题用） [来源:Zxxk.Com] 余杭中学数学 考前一周自主复习数学（6） 解题方法指导 考试前十天是复习冲刺的最后阶段，决战前的部署至关重要。 1.要保持自己平时的学习和生活节奏，适当减轻复习的密度和难度，可以收到“退一步，进两步”的效果。 要保持大脑皮层中等的兴奋度(既不过分放松也不过分紧张)，要避免和他人进行无谓的辩论和争吵，不搞剧烈的文体活动。这样，就能在考试前夕，创造一个良好的心境。 2.抓知识的主干，进行强化记忆。 总的原则是回归基础，形成知识网络，把查漏补缺、解决前面复习中出现的问题放在第一位。最后十天的复习更应收缩到教材上来。通过看书上的目录、标题、重点等，一科一科地进行回忆，发现生疏的地方，及时重点补习一下，已经熟练掌握了的内容，可以“一带而过”。还可以看自己整理的提纲、图表、考卷，重温重要的公式、定理等。这十天的复习，就像运动员在比赛前的准备活动或适应性练习一样。通过这十天的“收缩复习”“强化记忆”，可以进一步为高考打下坚实的知识基础，熟练地掌握知识的整体框架，以便能在考试中根据主干线索迅速回忆，让自己的答案做到“八九不离十”。 3.稳定情绪、修炼镇静、入睡。 高考成绩的好坏与情绪稳定的关系很大，而考生难免会在考试前十天有不同程度的焦虑。优化情绪的辅助办法有： (1)深呼吸。复习完功课后，做深呼吸。要缓慢、放松，吸完一口气后，略停1秒钟再吐气，如此反复多次。 (2)按摩内关。用右手大拇指按住左手臂内侧内关(手掌纹下三横指正中处通常是表带处)，顺时针按摩36次，在心里默念“镇静”，这当然也是一种强烈的心理暗示。 (3)坐着或者站立，身体放松，想像着自己淋雨，自我想像雨水将所有的疲劳和焦虑冲洗掉。当然在自己冲凉时，想像着把自己的紧张、疲劳、焦虑冲刷掉的效果会更好。 (4)按摩涌泉。晚上淋浴完后，用右手的大拇指按摩脚心的涌泉，次数不限，心里同时默念“入睡”。也可以在床上将自己的意念用在脚心的涌泉，默念“入睡”。 4.进入全真模拟状态。 (1)早起半小时和晚睡半小时。心理学界有一个普遍的共识，这两段时间是最佳的记忆时间，所以：要充分利用这1个小时。 (2)要在上午9：00和下午3：00开始复习，因为这两个时间段和高考时问程序表一致。这样才能在高考时，顺利进入高考状态。 (3)每天做一套容易的卷子（可以是做过的试卷）。有些人主张高考前十天不做试卷，事实上，每天做一份试卷可以使考生在几天后真正拿到高考试卷时不感到手生，能找到感觉。 (4)高考开始时，平时什么时候睡觉还什么时候睡，千万不要打破自己的习惯. (5)“进入考点，见了老师微微地点点头，不要讲话。见了同学微微地点点头，不要讲话。因为高考前的任何一个话题都可能触及考生的思维，比如一句“好好考啊。”可能不说更好。而且在进入考场之前，要去一次卫生间。交卷之后，要赶快离开，不要和任何同学有任何交流。因为有些同学考完之后会对答案，其实越是会咋呼的学生越是一般的，越是学习好的学生越可能会打鼓。所以考完之后马上撤退，不要和同学有任何交流。考一场忘一场考试，“要想地里不长草，就要让地里种上庄稼。”要想忘记上一场考试，就要仔细考虑下一场考试。 考试中要用的知识点和解题方法 1判断两个函数是否同一个函数，应该考虑定义域 、 值域 与对应法则是否都相同，也可以利用两个函数图象是否相同 2 讨论方程解的个数可通过函数图象交点个数解决 3 求函数 解析式常有换元法，配方法，待定系数法，赋值法 4．已知f(x)的定义域为D，求f[g(x)]的定义域，实质是解不等式g(x)∈D；而已知f[g(x)]定义域为D，求f(x)定义域，是根据x∈D，求g(x)的取值范围。此时，一定要注意题目中给的条件，不要被它造成的假象所迷惑，尤其分清说的是x还是别的。 5.求值域的常用方法有 ①配方法：如：求函数 的值域（答：[4,8]）；②逆求法（反求法）：③换元法：运用换元法时，要特别要注意新元 的范围）； ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑤不等式法――利用基本不等式 求函数的最值。⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 ⑧判别式法：。 6.对于已知函数单调性求字母 的取值范围常用的方法有两种，一是利用函数单调性定义，二是利用导数来处理 7函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明. 8利用函数的单调性定义证明函数的单调性和已知函数的单调性求参数的值或范围，利用定义证明函数的单调性一般要经过作差（商） 变形 定号，利用单调性求参数的值或范围，一般有单调性定义和导数法，求函数的单调区间可以利用常见函数的单调性和复合函数的单调性，有时也可结合函数的图象。 9判断函数的奇偶性，要先求函数的定义域，有时对函数解析式进行化简 。 10已知函数的奇偶性求字母的取值，一般是根据函数的奇偶性定义， ，与 无关得出方程然后解方程（组）[来源:Z*xx*k.Com] 11求二次函数在区间的最值常有三种类型，轴变区间定、区间变轴定和轴与区间都变，关键是抓住对称轴进行讨论，求函数解析式一般是待定系数法，还要注意利用二次函数、一元二次方程的根、一元二次不等式三者之间的内在联系解题。 12 求函数零点或讨论零点个数一般有三种方法即利用定理、解方程、利用图象法 13.有关对数方程解的情况讨论，通常是利用换元法，将方程转化为一元一次或一元二次方程解的讨论；如果是方程解的个数问题，又可以用函数的图象求解。换元后必须保证新变量与所替换的量的取值范围的一致性。 [来源:Z&xx&k.Com] 14同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式， 15 1求解三角形中的问题时，一定要注意 这个特殊性： ；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 2.依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： （1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； （2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=π这个结论。 注：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。 3（1）对于面积公式S= absinC= acsinB= bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式；[来源:学科网ZXXK] （2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，实施边角转化； （3）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用。 16 1 .两向量的数量积是一个数，而不是向量。 2.计算长度 EMBED Equation.DSMT4 求向量夹角　　　 3．证明垂直 ，数量积三公式可解决长度、角度、垂直等问题; 不能混淆平面向量垂直的充要条件与平行的充要条件。 4. 借助原有图形对所求向量进行分解转化，化为用一组基底表示的向量进行处理，此法要求所选的基底的模与夹角可知，计算中灵活运用可以减少运算量、思维量，特别对于平面图形不含坐标系或不方便建立坐标系的情况更可以达到事半功倍的效果． 数列 1.数列前 项的和 和通项 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式 时，一定要注意条件 ，求通项时一定要验证 是否适合．\ 2 证明一个数列是等差数列，有以下两种常用方法：（1）定义法：证明 ；（2）证明 。对于证明不是等差数列，可以从反面考虑，找出数列中的连续三项不满足条件，通常找数列的前三项来说明。 3. 若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为 ；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为 ，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元． 4 等差数列的通项公式形如 ，前n项和公式形如 ，已知五个量 中的三个量，利用通项公式及求和公式求出其余的两个量，是等差数列的基本问题；将已知条件转化为关于基本元素 的等式（或不等式）是解决等差数列的基本方法，结合函数 的性质研究等差数列常常可以事半功倍。 5. 关于等差数列的前n项和的最大（小）的问题，其思路有二；一是化归为二次函数，在结合二次函数的最值问题加以分析，但是要注意对称轴不是自然数时，应将与对称轴最接近的两个自然数代入函数关系，再求值进行比较，以便确定n的值，二是列出不等式组 或 确定或寻找n的值使得 或 成立。 [来源:Z_xx_k.Com] 6. 解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于 和 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量． 7. 等比数列前 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前 项和时，首先要判断公比 是否为1，再由 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比 是否为1时，要对 分 和 两种情形讨论求解。 8. 等比数列的通项公式及前 和公式中，涉及到5个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2； 9. 一般地当已知条件中含有 与 的混合关系时，常需运用关系式 ，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解。 不等式 1.恒成立问题是高考考试的热点问题,常将其转化为最值问题去处理.不等式有解、无解与恒成立的关系如下(有最大值或最小值)： 有解；有解. 无解；无解. 恒成立；恒成立. 2.利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件． 立体几何 1.线面平行的常用判定方法： （1）定义法 （2）判定定理（关键是找线线平行,常用方法有平行公理、构造中位线、构造平行四边形等） 2.线面垂直的常用判定方法： （1）定义法 （2）线面垂直的判定定理 （3）两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面。 （4）一条直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个平面。 3.直线与平面平行的判定和性质定理，在应用时，要注意条件的满足，如判定定理中的三个条件一个不能少。 4.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行,此结论只能作为小题用 5.在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使得问题获得解决 3.空间几何问题，通常与点、线、面的位置关系的判断与证明，以及点、线、面之间的角度或长度关系的求解相结合．一般可以通过辅助线的构造结合点、线、面的相应概念、性质、定理判断与求解相关的问题，也可以通过空间向量知识来达到目的．特别对于图形的翻折与变换，要加以分析变换前后相应元素之间的关系． 1.直棱柱的高是它的侧棱长，斜棱柱的高是两底面之间的距离 2.长方体的体对角线是它的外接球的直径而非半径 3. 求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式进行计算即可。常用方法为：割补法和等积变换法： （1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积； （2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面。①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”。 1(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等 直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 或直线过原点。 2.设直线方程的一些常用技巧： （1）知直线纵截距 ，常设其方程为 ； （2）知直线横截距 ，常设其方程为 (它不适用于斜率为0的直线)； （3）知直线过点 ，当斜率 存在时，常设其方程为 ，当斜率 不存在时，则其方程为 ； （4）与直线 平行的直线可表示为 ； （5）与直线 垂直的直线可表示为 . 3求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 4（1） 、 、 仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？ （2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线； （3）直线 与直线 垂直 EMBED Equation.DSMT4 。 在求圆的方程时，应当注意以下几点： 1（1）确定用圆的标准方程还是一般方程； （2）运用圆的几何性质（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F； （3）在待定系数法的应用上，列式要尽量减少未知量的个数. 2（1）与圆有关的最值的求法有：几何法、函数法、判别式法 （2）用几何法时，要见“数”想“形”，即所求式子的几何意义 （3）用函数法时，常用三角换元 小提醒： 1判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。 几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为 ，则 相交； 相离； 相切。 2直线方程中含有参数时，要先考虑直线是否过定点，或是否是平行直线系．②直线和圆的题目要尽量使用数形结合思想解题，以简化运算． 3过圆 上一点 圆的切线方程是： ， 过圆 上一点 圆的切线方程是： ， 4 从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程； 5 切线长：过圆 （ ）外一点 所引圆的切线的长为 （ ）； 6弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距 ，弦长一半 及圆的半径 所构成的直角三角形来解： ；②过两圆 、 交点的圆(公共弦)系为 ，当 时，方程 为两圆公共弦所在直线方程.。 7.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)! 1椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。 2处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆 （a>b>0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KABKOM= ； 3一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； 1.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线 （a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:（1）当P点在右支上时， ； （2）当P点在左支上时， ；（e为离心率）； 另：双曲线 （a>0,b>0）的渐近线方程为 ； 2 处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代