常见辅助线

市北初级中学 余冬梅 浅谈初中平面几何常见添加辅助线的方法 当今社会，数学作为一门基础学科，发挥着越来越来越重要的作用，学好数学尤为重要。作为新世纪的教师，教学要坚持“以人为本，以学生的发展为本”，要能真正展现学生是数学学习的主人，使学生积极地参与教学活动，探索知识的形成过程，学得并掌握获取知识的方法和途径，使思维的能力在探索过程不断升华和发展。因此我在教学过程中，相应地采用各种教学方法去启发和促进他们的求知和探索欲，引导学生归纳知识点之间的内在联系，解题规律，使数学的学习更有时效性。 初中数学包括代数与平面几何两大部分。代数部分的学习，一般都有公式可套，题型较为集中，学生学习起来比较轻松。而平面几何是一门提高学生逻辑思维和分析能力的学科。对于大部分学生来说学习起来比较困难。往往学生最为头痛的就是如何在这些错综复杂的几何图形去添加合适的辅助线，其实添加辅助线也是有规律可循，教师在教学的过程中，不但要引导学生对知识进行系统的整理，同时也要引导学生对（包括例、习题）深入挖掘、提炼总结其思想实质，揭示归纳方法因素，以其更好地发挥思想方法的整体功效，从而提高解题技巧。这里介绍几种常见的添加辅助线的方法。 1、 过分点添平行线 相似形是初中数学的重要内容，由于近年来各地的中考试题向重视学生能力方面快速倾斜，我们在学习相似形内容时，不仅需要掌握相似形的一些基本概念、性质和基本题形，还需要灵活运用所学相似形的基本知识进行补充、延伸、拓宽。这里，笔者通过大量的习题研究证明一些线段成比例的题型中，发现了过分点添平行线的一种比较好的添线方法，现说明如下： 在证明一些线段成比例的题型中，若图形中未出现相似三角形中的基本题型：A字型与X型，通常需要通过找一些分点添平行线去构造这些基本题型。而且找分点还是有规律可循。通常可把条件中出现的已知比例或分点的线段和结论中所要证明的线段所在的直线称为热线，把几条热线的交点称为热点。那么过分点添平行线即可实际操作为过热点添热线的平行线。以下举一道例题加以说明： 例：点D是三角形ABC边AC上的中点，过D的直线交AB于点E，交BC的延长线于点F，求证： 分析：条件中出现已知中点的线段是AC、结论中有关的线段落在AB和BF上，所以本题中的热线为AC、AB和BF，这三条线段的交点分别为A点、B点和C点，此三点即为三个热点。所以本题的证明方法主要有三种。 解法一：过热点A作热线BF的平行线，交FE的延长线于点G，那么就有 只要证得AG=CF即可。 证明：过点A作BF的平行线，交FE的延长线于点G。∵AG∥BF ∴ 又 ∵D为AC的中点，∴AD=DC ∴AG=CF ∴ 解法二：过热点B作热线AC的平行线，交FE的延长线于点H，那么就有 及 ,只要证得AD=CD，本题即可得证。 解法三：过热点作C热线AB的平行线，交FE的延长线于点H，那么就有 ,只要证得CH=AE，本题即可得证。 一题本来比较复杂的几何题型，通过热线热点这些较为通俗易懂的字眼，使题目简单化，既能提高学生学习几何的兴趣，引导了学生归纳知识点之间的内在联系，总结解题规律，从而提高学生归纳及解题能力。 2、 在梯形中常添的辅助线 初二几何中梯形面积公式的教学，教材中给出作对角线、把梯形分成两个三角形的解法，教学中不应该停留在这种层的认识上，应引导学生这种方法的深层次含义，既通过“分解与组合”思想，实现把未知问题转化为已知问题，并进而引导学生运用这种思想方法去探求问题的其他解法，培养学生思维的灵活性。在梯形中常见的有以下六种题型： （1） 已知两底之差或求两底之差的题型，常过上底的一个端点添一腰的平行线与下底相交；达到把梯形分解成一个平行四边形与三角形的目的；求（图1）； （2） 已知梯形的上底和底，求面积，常过上底的两个端点向下底作垂线，添高；（图2）； （3） 延长两腰交于一点，可得到一对相似三角形 （图3）； （4） 已知梯形对角线相等或互相垂直的题型，常过上底的一个端点作一对角线的平行线，与下底的延长线相交，体现组合的思想（图4）； （5） 有中点时，常过一腰的中点作另一腰的平行线，分别与上底的延长线、下底相交（图5）； （6） 有中点时，也常连接上底的一端点与另一腰的中点并延长，与下底的延长线相交（图6）。 例 已知等腰梯形ABCD的高是9㎝，AB∥CD，A C⊥BD，求它的面积。 三 、连接两点法 三角形包括三条边、三个角这六个元素，若已知或需证明某些边、角的等量关系时，若不能直接从已知的条件中进行证明，那么此时可以考虑连接两点构造新的三角形，使所证的元素在所构造的新的三角形中。可通过证所构造的三角形全等或相似来证明结论。 四、在圆中常添弦心距 在与圆有关的题目中，已知弦、弦所对的弧、圆心角、半径等条件时，常添加弦心距，利用垂径定理或圆的有关性质解题。 例　　已知：以点O为圆心画两个不等的圆，大圆的弦AB交小圆与C、D. 求证：AC=BD 5、 利用等腰三角形三线合一添高 在等腰或等边三角形中，若已知三边，求面积或需证明底边上的某些线段相等时，常通过添底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质，可得高把原来的三角形分成左右两个全等的直角三角形，利用直角三角形勾股定理或全等三角形对应边、对应角相等的性质解题。 例　　已知:点D,E在BC上，AB=AC,AD=AE求证:BD=CE 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 分析：已知条件中有两个等腰三角形，而所证的两条线断正好位于底边上，通过添高利用等腰三角形三线合一的性质可得线段BH=HC, DH=HE。再根据等式性质，命题即可得证。 六、截长补短法 此法用于证明两条线段之和或之差等于另一 条线段。截长法——在较长线段中截取一段等于图中另一条线段；补短法——延长一条线段，使延长部分等于图中另一条线段。 例 已知在ABC中，AD平分( BAC， ( B=2 ( C，求证：AB+BD=AC 证明：在AC上截取AF=AB，连接DF 在( ABD与( AFD中 (1=(2（已知） AB=AF AD=DA（公共边） (( ABD (( AFD（S.A.S） ((B=(AFD，BD=DF（全等三角形对应角，对应边相等） 又 ( B=2 ( C ((AFD=2(C 又(AFD=(FDC+(C（在三角形中，一个外角等于不相邻的两个内角和） ((FDC=(C (FD=FC（等角对等边） 即 AB+BD=AC 注：上题也可用补短法，即延长AB 到点E，使AE=AC，只要证明BE=BD即可。 评注：在上述几何题型中，通过透析题、图的条件及待证结论特征，一法补短，即延长AB 到点E，使AE=AC。一法截长，在AC上截取AF=AB，联想巧妙，规律凸现，妙趣横生。既提高解题兴趣又提高学生的分析思维能力。 总之，要学好几何关键在于平时要养成多思考、多归纳、多总结几何问题的习惯，在每个章节里自己学会去归纳收集各种常见的辅助线，这样，就能够熟能生巧，慢慢地提高自己对于几何的综合分析能力，一定能够正确迅速地解答有关平面几何问题，从而提高自己对数学学习的兴趣，从各方面提高自己的学习能力。 分析：线段AC与BD分别是大圆与小圆的弦，而且弦AB与CD所在的圆为同心圆，而且两条弦共线，即可判定它们有公共的弦心距，所以本题可添弦心距，利用垂径定理即可解题，证明略。 H C o D C B 证明：连接BD 在(ABD和(CDB中， AB=CD（已知） AD=CB （已知） BD=DB（公共边） ((ABD((CDB（S。S。S） (( A= ( C（全等三角形的对应角相等）　　　证毕 � EMBED Equation.3 ��� E D 分析：本题中，既有梯形对角线相等又有互相垂直的条件，可过上底的一个端点添一对角线的平行线，可得(ACE是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，求得AE是18㎝，梯形的面积就能得解。 A 例 已知AB=CD，AD=BC，求证：(A= (C 分析：(A与(C分别在(ABO和(CDO中， 若通过直接证明这两个三角形全等，根据已知条件显然不够，观察已知条件中的四条边正好组成(ABD和(CDB，而BD正好又是两个三角形的公共边，发现只要证明(ABD和(CDB全等，本题结论即可得证。 B A 2 1 F D B E C A � EMBED Equation.3 ��� PAGE 1 _1177708663.unknown _1179851581.unknown _1179851869.unknown _1179860511.unknown _1179851518.unknown _1177708994.unknown _1177708040.unknown _1177708616.unknown _1177707022.unknown _1177702553.unknown