N-S方程在不同坐标中的直接导出

第16卷第4期 2000年12月 天 津 理 工 学 院 学 报 JOURNALOFTIANJININSTITUTEOFTECHNOLOGY V01．16NO4 Dec．2000 文章编号：10042261{2000)04—20—05 N-S方程在不同坐标中的直接导出 黄庆达 (天津理工学院动力工程系，天津300191 摘要：采用直接微分运算的方法，将哈密顿算子(x7)及拉普拉斯算子(V2)换算成柱坐 标及球坐标的示式，进而经过直接微分运算，给出纳维——斯托克斯(N-S)方程在柱 坐标厦球坐标中的表示式． 关键词：柱坐标；球坐标；迁移加速度 中图分类号：0183．1 文献标识码：B N—Sequationatcoordinatescanbegotdorctly HUANGQin—dn (TianjinInstituteofTechnology，Tianjin300191，China) Abstract：ThispapergivestheillustrationsofHamihonoperator(V)andlaplaceoperator(V2) incylin—dricalandsphericalcoordinateswithordinarydifferentialmethods，bywhichtheillustra— tionsofNavier--Stokesequationincylindricalandsphericalcoordinatescanbegotdirectly． Keywords：cylindricalcoodinate；sphericalcoordinate；removeacceleration 在流体力学教科书中，当叙述到不可压缩粘 性流体的运动微分方程(N—s方程)时，为 了便于应用，同时给出了方程的柱坐标及球坐标 的表示式．但因数学推导过程难度过大，一般教 科书中都是略去的 在相应的数学教科书中L3， 叙述到这一问题时，都采用曲线坐标．而曲线坐 标本身已有相当难度，且距方程的给出仍有相当 距离．本文作者在教学过程中，试用同学们易于 理解的直接微分方法，给出了方程的数学推导过 程，大大降低了初学难度．方便了同学对N—s 方程的掌握及应用 (但此数学过程是否严格， 敬希专家指正．) l柱坐标中N—S方程的数学推导过程 1．1 N—S方程的矢量式为[11 F一去VP+VV2“=瓦an+(n‘V)“(1) 收稿日期：20000713 作 者：黄庆达(1941一)，男，副教授 式中：F一体积力 P一流体密度 P一体中某点压强 u一运动粘滞系数 H一流体中某点流速 v一哈密顿算子 v2一拉普拉斯算子 N—S方程在直角坐标中的分量式为 x—ila磊P+v＼{a越2u：。+可a2ux+c3越2u：x，]=1 警+㈡a百ur+～警+№a瓦ux)| y吉葛+。、a&u：y+O劫2t：tv+a一2uy)=I 警+㈠碧+b碧+“：警) 万方数据 第4期 黄庆达：N-S方程在不同坐标中的直接导出 z吉争V(≥+争+a引2uz]=1 警+(b警+Uy警+如警)ji+卜矗+磊+如蔷』J 为了给出N—S方程在柱坐标系中的表示 式，需先给出哈密顿算子可及拉普拉斯算子v2 在柱坐标中的表示式． 1 2柱坐标中独立变量y、0、z与直角坐标中独 立变量oT、Y、z之间的关系 r=兀丁污，口=arctany一，#=z 据上述关系有： _ar=cos0，窘=sin0，∞ oy ao sin0 00 cos0 撕一 r’ av—r a aOr aoo az araa．jaoa2 ：cos0呈 0 aOr a￥ ar8y _s-n口三 sin0a r踟 aa口 a口oy cos0a r a0 围1 直角坐标与柱坐标的关系 Fig．1Relationofculindrlealandrightanglecoordinate 1 3嗡磴峨鼻千V茌枉坐杯甲田表不式 哈密顿算子v在直角坐标中的表示式为： V=毒+寿+参 据上述坐标变量之间的微分关系为： (毒)2+(毒)2+(耋)2=(oosa未一sinr0刍)2+ (sin哮+学刍)2+(耋)2= (导)2+(上t-品)2+(塞)2cs， ．‘．哈密顿算子v在柱坐标中的表示式为： V=争。+÷争。+枣 c。， l 4拉普拉斯算子V2在柱坐标中的表示式 拉普拉斯算子v2在直角坐标中的表示式为‘1]： V2=荨+嘉+姜 据哈密顿算子的计彝过程有[3：： a2 a／a＼ 露2磊l爵J =(一e茅一学刍)(c。s一导警刍)=c幽摹+学未+丁2sinocos0刍一 2sinO·cos日a2sin20a2 r araO。F2002 蓦=(Sill嘻+学刍)净喏+学葫a) =sin20蔓Or2+—CO_s20磊a一2—sin了0c～os0葫a+ —2sin0—·cosO立L—cos20一a2r ar00。r2a口2 一a2一尘a#2 az2 ．‘．拉普拉斯算子v2在柱坐标中的表示式为[2]： V2=荽+÷导+≯1嘉+要(s) 或可2=÷未(r未)+≯1嘉+生az2(5，) 1．5 N—S方程中的迁移加速度(H·v)H在柱 坐标中表示式【4] (H’V)Ⅱ=l(岫，+“矶+“zK)· (知+÷》。+磬小· =(“，鲁+警刍+％耋)(“，。+“oo。+“点) =(“，a百ur+7uoa丽ur一譬+“：O瓦Ur)r0+一I“r百芦+7百矿一了一+“：百i厂o+ (“，a万rt0+7uoO百Uo+半+“：警)o。+ (“，警+字吾+“：a瓦uzK (s) 1．6 N—S方程中拉普拉斯算子口2对速度“ 的作用项f5] 可2“=(姜+-}未+专嘉十嘉) 万方数据 天津理工学院学报 16卷 ㈠¨q钆¨㈦=(萨02 ur+÷警一 声一三麴+．上粤+≥h(亟ar22ao r2ao +r1 7． 2 ’a：2／’。。＼ 了1 a万uo—Uo+吾垫+圭挚+0a2。umot．2 2 aO 2 2)¨r ar 。r 。r踟2’ao／v⋯ (》+号警+圭挚+亨02u．卜㈤ l 7 N—S方程在坐标中的表示式 将(6)式及(7)式代人N—S方程的矢量式 中．即可给出N—S方弹的木}出标嘉示式． a“，。 a“， “；．“口Ou，． Ou，百+tlr万7+7丽+“=瓦2 t一吉擎+v(擎+专警一 711r一≯2垫aO+吉2垫002+警2)r2 r2 1 r a： ／ 出口． 幽口．“一It0．Ⅶ幽日． a”百+“r百+_+了丽+如瓦2 R一1嚣+。(挚+专警一7110+ 2 a玑． 1 a二“口．a2“口＼ r200。r2甜2。a．2／ aff— af— l“抛． 锄。 N-“r百+7面+如i2 z一古警+v(警+专警+ 上r2姿ao+》a2)2 # ／ (8) 2球坐标中N—S方程的数学推导过程 2．1球坐标中独立变量r、0、口与直角坐标中独 立变■j·、v、2之间的关系 r=v／z2+3'’-+2； 0：arctan生￡±￡： p2arctan詈 据上述关系有： 塞=sin口·c。sp，言=sill口·inp，磊ar=cos口 堂：cosO’ms目oo：坚!：i业eo：一巡 ar r ’却 r ’& ‘ 等—一考盎，雾=考器，霎=o甜 r·卣n臼’a、． r·sin口’＆” 2．2直角坐标与球坐标变量之闻的微分关系 计算过程同柱坐标 a aar a00 aa口 az—arar l aear j a8aT=sin0·cosp未+掣刍一才‰刍 a aOr．a00．a筇 劫 ar自，。甜毋。筇毒=sin0·si邙未+半未+I盎未 a aOr．aao．a筇 ．a sin0a 夏2再夏+葫夏+葫麦2。os8历～了葫 圈2直角坐标与球坐标的关系 F|g．2Relationofsphericalandrightanglecoordinate 2．3哈罾颧鼻子可在球坐标中的最不式 利用与(3)式、(4)式相同的运算过程，可给出 v在球坐标中的表示式为【6：： V=未“+÷刍乩+_七丽未风 24拉普拉斯算子v2在球坐标中的表示式 据哈密顿算子的计算过程有： 妻=p·唧导+盟r型O虻0r堂．inO奉) (stn一·c。sp未+塑学品一0等§品)=sin-'⋯却嘉+学嘉一 ；垂!!：!堕!：!!￡宦旦+!!篁2：!蓝直立+ r2 甜。 r Or。 2sin0·cos0·cos2口a2 ．2sin口·cos口a r ar·,30。r2．sin20a口 !i!＆·垡蔓目芝．盘!卫亘。垡窒2：坚窭尽笪一 r ar‘帮 r Or — a02型警2 si0志a0+r焉2si0薯(9)·n ·第’ ·f a萨 ⋯ 万方数据 第4期 黄庆达：Ms方程在不同坐标巾的直接导出 23 嘉=(血a·i印未+学刍+z器晶) 一na·sinp导+塑学品+￡器未)一。¨一!一嘉警品一2sinO‘cosO’sin2目旦；cos20幽旦。 r2 a臼’ r ar’ 呈兰业·cosO·si一卢a二 2sin／?-cos／?a r Or·00F2·sinl0邵。 !!!!巨：坚兰尽i!+Q!￡宦亘+坚!：旦二鲫童。 r a。·帮1 r Or。 r2 酽’警掣sinO鑫00+F礁2in20薯“o，一· ·却 ．s 甜 ⋯7 嘉=(oos一未一si，nO。¨cosO未si，n_堂．O品)赢2【00州赢一，d 历¨ ，．历Jcos!a芝Or+半品一 ，’。 dF 幽型一‰+_sin20￡+si，n20r Or 00 2杀⋯)· r ar。 r a疗2、11’ 由(9)、(10)、(11)式有 可2 2 a． cosO0 r升。r2．sin000‘ 1 02[6： 踟! (12) 或V1 2圭未(r2未)+7÷面刍(sin一刍)+ —壬五蟊02 (12一)r2．sin20a萨 010’ 2．5迁移加速度(“‘V)“在球坐标中的表示式 (“-可)“=[(“，r。+“一。。+up卢。)· (昙粕+÷刍吼+_芝丽翕一。)]n 2(“，未+警易+r上．sinO8亘f1) 卜^㈩嘏，+哪0)_㈠警+等等+ 高等!半)”(“，堕00+丝r麴00r-sin曰a口 r 厂” ＼“r 半+r点sin8等一告型sin8)”r · 钟 r· ，⋯’。 ㈠纽Or+等等+—品象+半+ ≮掣p。 c-s， 在上述计算中需用到下述6式： 害=‰嚣=‰碧=o 丽Or0=咖印。，丽000=cos印。 堕aft：一。in钒一。。。汨。一一sm"0一cos洲n 2，6拉普拉斯算子V2对速度的作用项 V2“=(摹+了2爵0+≯1孑02+7c面osO葫O+ 万‰等¨”编Ⅶ卢。# 2 a“， 2％ l a2坼 cos0a“， r卦 r!’?-’-002。r2．sin000 2啪·cosO l a二嵋 2 a“日 r：·sin8产·si苷0a82 r2劭 忐r2 inO繁)"(挚2+．s 弟／”’＼a， (》+ 2锄e cosOOu8 rar1，一2-sin080。 l a2却 坳 2 aI。 1 a2UO⋯r2 002～r—2"si—1120+i．2百+7■丽虿 暑尝i繁)。。+(擎+号警+r旦"．smO盟80+ 2 a“， “， ．1 a!“p． r!·sinO邵r2·sinz0’r2002。 考冬O—uo+—而10耐2t尘／]sin 0aft f-inz0几⋯)f· 2 j’．s a萨}90 ”’’ 2．7 N S方程在球坐标中的表示式 将(13)式及(14)式代人NS方程的矢量 表示式中，即可给出N—s方程在球坐标中的表 示式： 警+“，警+詈蔷+—‰等 业r姐』P磬+u(等r+号些Or+dr 、一。 r i 02Ⅳ，．cosOa“， 1 a2“， 2 a“8 r 2 002。r2sinO00。rZsin20础2r200 埠一2uocosO一～三一弛1r二 一·sinO一·sinOaB1 a“9。 Ouo．UOOuo．“口 Ouo．“，·“8ihr万+7虿+商虿+—_～ “j·cosO ，-·sinO a。“日 1 R～士誊+v怛r堕Or+ 一2一Ou,～ !1 21坐!Ouy＼r200 r2·sila20r2．sinO都1 矿一扩护～酽 一 l r 选帮赤塑甜黠挚 万方数据 24 天津理工学院学报 16卷 警饥弛Or+塑r啦30+#品警+≮里+等=昂一南嚣+“争+ 号啦+上孥+，c：o。co+蕊1c3r F200 in000 si 0繁+r 2’r2s 。r2n2 a口2 2 c3ur “p 2cos03uo＼ r2．sin0却r2．sin2目。r2-sin0第／ 参考文献 (15) 京：中国建筑工业出版社，1994 E3]徐芝纶弹性力学[M]北京：人民教育出版社， 1982 [4]武汉建材学院基础部与武汉师范学院教育系工程 数学[M]．北京：人民教育出版社，1980 [5]西安冶金学院供热与通风[M]北京：中国工业 出版社，1961 [6]李富成流体力学及流体机械[M]北京：冶金工 业出版社，1980 【7]JerryH，Ginsberg＆JosephGeninCombinedvel-一 si。n(seeondedition)[M]NewYork：Staticsand DynamicsAmericanpre．qsInc，1984 [1]孔珑 工程流体力学‘第2版)【M]北京：水 ：8]11aMpa山ellIAHFnrpaMexaHHKaB0eHHo邶pcKo)Ko 力水电出版社，1992 椰朋c”印cM啦acol03aCCPMOCK瑚，1962． ：2]周谟仁流体力学泵与风机(第3版)[Mj北 万方数据 N-S方程在不同坐标中的直接导出 作者： 黄庆达， HUANG Qin-da 作者单位： 天津理工学院,动力工程系,天津,300191 刊名： 天津理工学院学报 英文刊名： JOURNAL OF TIANJIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY 年，卷(期)： 2000,16(4) 参考文献(8条) 1. ПамрашещАНΓпграмеханпкаВоенноморскожомпнпсмерсмщаС оюзаССРмоскъа 1962 2.Jerry H Ginsberg;Joseph Genin Combined version 1984 3.李富成 流体力学及流体机械 1980 4.西安冶金学院 供热与通风 1961 5.武汉建材学院基础部与武汉师范学院教育系 工程数学 1980 6.徐芝纶 弹性力学 1982 7.周谟仁 流体力学泵与风机 1994 8.孔珑 工程流体力学 1992 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_tjlgxyxb200004006.aspx