函数单调性、奇偶性、对称性、周期性
一、函数的单调性
1.单调函数与严格单调函数
设
为定义在
上的函数,若对任何
,当
时,总有
(ⅰ)
,则称
为
上的增函数,特别当且仅当严格不等式
成立时称
为
上的严格单调递增函数。
(ⅱ)
,则称
为
上的减函数,特别当且仅当严格不等式
成立时称
为
上的严格单调递减函数。
2.函数单调的充要条件
★若
为区间
上的单调递增函数,
、
为区间内两任意值,那么有:
或
★若
为区间
上的单调递减函数,
、
为区间内两任意值,那么有:
或
3.函数单调性的判断(
)
(1)作差法(定义法)
(2)作商法
4复合函数的单调性的判定
对于函数
和
,如果函数
在区间
上具有单调性,当
时
,且函数
在区间
上也具有单调性,则复合函数
在区间
具有单调性。
5.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断
对于两个单调函数
和
,若它们的定义域分别为
和
,且
:
(1)当
和
具有相同的增减性时,函数
、
的增减性与
(或
)相同,
、
的增减性不能确定;
(2)当
和
具有相异的增减性时,我们假设
为增函数,
为减函数,那么:
①
、
的增减性不能确定;
②
、
为增函数,
为减函数。
二、函数的奇偶性
1. 奇偶性的定义
如果对于函数
的定义域内的任意一个
,都有
,则称函数
为偶函数;如果对于函数
的定义域内的任意一个
,都有
,则称函数
为奇函数。
2.奇偶性的几何意义
具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称,奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于
轴对称。
3.函数奇偶性的判断(证明)(首先注意其定义域是否对称)
(1)比较
与
的关系;
(2)
(
)与
的关系;
(3)
与
的关系
4.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断
对于两个具有奇偶性的函数
和
,若它们的定义域分别为
和
,且
:
(1)当
和
具有相同的奇偶性时,假设为奇函数,那么:
①函数
、
也为奇函数;
②
、
为偶函数;
(2)当
和
具有相异的奇偶性时,那么:
①
、
的奇偶性不能确定;
②
、
、
为奇函数。
若函数
是偶函数,则
;若函数
是偶函数,则
.
三、函数的对称性
1.函数自对称
(1)关于
轴对称的函数(偶函数)的充要条件是
(2)关于原点
对称的函数(奇函数)的充要条件是
(3)关于直线
对称的函数的充要条件是
2.两个函数的图象对称性
(1)与关于
轴对称。
换种说法:
与
若满足
,即它们关于
对称。
(2)与关于
轴对称。
换种说法:
与
若满足
,即它们关于
对称。
(3)与关于直线对称。
换种说法:
与
若满足
,即它们关于
对称。
(4)
与
关于直线
对称。
换种说法:
与
若满足
,即它们关于
对称。
(5)
关于点
对称。
换种说法:
与
若满足
,即它们关于点
对称。
(6)
与
关于直线
对称。
(7)
与
关于直线
对称。
若
,则函数
的图象关于点
对称;
3.几个常见的函数方程
(1)正比例函数
,
.
(2)指数函数
,
.
(3)对数函数
,
.
(4)幂函数
,
.
(5)余弦函数
,正弦函数
,
,
四、函数的周期性主要结论
1.如果函数
对于一切x∈R,都有
(
EMBED Equation.3 ),那么函数y=f(x)的图像关于直线
EMBED Equation.3 对称
EMBED Equation.3 是偶函数
2.如果函数
对于一切x∈R, 都有f(a+x)=f(b-x)成立,那么函数
的图像关于直线x=
(由x=
确定)对称
3. 如果函数
对于一切x∈R, 都有
成立, 那么函数
的图像关于点
对称
4.两个函数图像之间的对称性
(1)函数
与函数
的图像关于直线
(即y轴)对称;函数
与函数
EMBED Equation.3 的图像关于直线
; 函数
与函数
图像关于坐标原点对称。
(3)函数
与函数
的图像关于直线
对称(由
确定
(4)函数
与函数
的图像关于点
中心对称
5.左加右减(对一个x而言),上加下减(对解析式而言):若将函数
的图像右移a、上移b个单位,得到函数
的图像;若将曲线
的图像右移a、上移b个单位,得到曲线
的图像
6.函数
的图像是把
的图像沿x轴向左平移a个单位得到的;函数
的图像是把
的图像沿x轴向右平移
个单位得到的;函数
的图像是把
的图像沿x轴向左平移
个单位得到的
7.定义:对于函数
,如果存在一个非零常数T。使得当x取定义域内的每一个值时,都有
,则
的最小正周期为T,T为这个函数的一个周期
8.如果函数
是R上的奇函数,且最小正周期为T,那么
9. 如果函数
所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做
的最小正周期,如果函数
的最小正周期为T则函数
的最小正周期为
,如果
是周期函数,那么
的定义域无界
10.关于函数的周期性的几个重要性质:
(1)如果
是R上的周期函数,且一个周期为T,那么
(2)函数图像关于
轴对称
(3)函数图像关于
中心对称
(4)函数图像关于
轴对称,关于
中心对称
(5)
或
或
或
, 则
的周期T=2a
(6)
,则
的周期T=3a
(7)
则
的周期T=4a;
(8)
,则
的周期T=5a;
,则
的周期T= 6a
例1.若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.(注意定义域)
例2.(2009年
辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足f(2x-1)
0,a≠1)在区间(0,)内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为__________.
例4.已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值-5.(1)证明:f(1)+f(4)=0;(2)求y=f(x),x∈[1,4]的解析式;(3)求y=f(x)在[4,9]上的解析式.
例5.已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.
例6.已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇函数;(2)如果x∈R+,f(x)<0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间[-2,6]上的最值.
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