媒质分界面条件和边界条件

1.2 媒质分界面衔接条件和媒质边界条件 1.2.1 媒质分界面衔接条件 在求解电磁场问题时，在不同媒质分界面上场的解答必须匹配，已学过的有： 电场： 磁场： 电流场 (恒定电场) 下面进一步分析媒质分界面上场矢量发生突变的一般情况。 1．面散度场源可能引起场磁量法向分量的突变： 在电场中，散度场源存在。设电场中两种媒质之间存在一个过渡层，媒质性能参数由、、连续变化为、、，厚度很小，取为一扁盒圆柱面的高，为过渡层内体自由电荷密度。如图所示，规定分界面上的正法向方向。 由高斯通量定理 讨论： (1) 若为有限值，则当，即媒质参数发生跃变时，扁盒内的电荷量= ( 6 (2) 若当时，保持定值不变，即，不断增大，使保持定值，定义它为面自由电荷密度 上面的边界条件式变为： 的法向分量突变，也可用标量电位示为 将以上结论引伸到一般矢量场中，当时成为一普遍性边界条件公式： 称上述极限突变值为面散度源，可知“矢量场的面散度源可能引起场的法向分量改变，无散场的法向分量一定连续(如果没有偶极矩阵)”。 2. 面旋度源可能引起场矢量切向分量的突变 由斯托克斯定理： 设磁场中两种媒质间存在一过渡层，其厚为很小，如图所示。跨分界面作矩形闭合曲线，其长边为，宽边为，且、 和呈右旋关系，有 因回路设定的任意性，上式成立，在→0时，必有： 式中以及总是有限的，，。以两种形式分析： (1) 若为有限值， ∴ (2) 若过程中，l所围面积中通过的电流总量不变，趋于一定值，即电流区压缩成为薄片，定义它为自由面电流密度： 有： 由于面电流密度存在而导致的的切向分量突变，这一突变值可以称为面旋度源。 对任意矢量场，可以得一普遍应用公式： 用来判断矢量场在媒质分界面上的场量切线分量是否突变。可得：“面旋度源可能引起场矢量切向分量突变，无旋场的切向分量一定连续(如果没有偶极矩存在)” 1.2.2边界条件 上述分析表明：场源的某种分布对不同媒质分界面上场矢量的连续性产生一定的影响，而且场源的分布也是确定域内场量的前提。 根据唯一性定理，场的唯一确定，还有赖于给定场域适合的边界约束条件，而这种条件也等价于一定分布的场源。 下面再对一、二类边界条件分别进行讨论。 1. 第二类边界条件等价于一个单层源 (1) 在电场中，如果媒质分界面上存在有面自由电荷密度，则分界面条件为： 或 如果在所求场域边界以外场强均为零(例如导体区域)，即 则 如图示，说明S面上有负电荷存在。这样的第二类边界条件，就相当于在场域边界上有一层自由电荷。也即是说第二类边界条件等价于自由面电荷密度。 (2) 在磁场计算中，若媒质磁化而存在磁化体，由媒质的性能方程 式中：是假想的体磁荷密度，用它来等效地反映媒质磁化的影响，要确定，还必须计算它的旋度。在磁化体中一般没有自由电流 由此引入标量磁位：，有 由上可知：磁化体中的满足标量泊松方程，其磁荷体密度为。对于均匀磁化体：，上式成为拉普拉斯方程。 若按(1)中分析，可以从磁荷体密度中求出媒质分界面上的磁荷面密度，它也是一种面散度源。 如图中两媒质分界面上，正法线方向从，设有一媒质过渡层，高为很小的h，跨分界面作一扁圆柱面S，其高正好为h，由的连续性原理，对闭合面S，有 又： 如果，即在的铁质内，有 由此可见：磁化体表面的第二类非齐次边界条件与磁荷面密度等价。 2. 第一类边界条件等价于一个双层源 在静电场中，一个电偶极子(其偶极矩)在点产生的电位为： 现在要分析边界两侧有相同分布的正、负电荷层的情况，其间距离极小为，称为偶层，设面电荷密度为，则电偶极矩面密度(层强)为： 它的正方向由负电荷指向正电荷。取边界面上正法向单位矢量与的正方向一致，则偶层元在场中P点产生的电位为： 式中是面元对于场点所张的立体角。如果观察点(即场点)到面元的矢径与的正法向矢量的夹角为锐角，规定为正，为钝角则规定为负。于是整个偶层在P点产生的电位为 若整个偶层中层强是常数，则上式可写为 如果偶层分布在一个闭合面S上，S面内任意一点的电位为： 而S闭面外任一点的电位因而有 以上两式表明： = 定值的第一类边界条件，等价于面偶极矩分布的双层源。 值得注意的是：①在偶层的每一个面上，因发生突变(突变量为)，两个面上有两次突变等值异号。所以，以偶层一侧到另一侧，不变，但双层源两侧有电位差 说明双层源引起了电位的突变。 ② 偶层的存在，如果层强不均匀，还可能引起不连续。 分析图示偶层两侧对应点的电位差：1、2两点之间电位差为： 4、3两点之间的电位差为 ∵ ，则即 可见由于层强的不均匀导致电偶层两侧的切向分量不相等。这也说明：在没有偶层分布的无旋场中，才有场矢量的切向分量连续。 由以上的分析，可以归纳为： 1. 在无偶层源存在的情况下，媒质分界面上，矢量场遵循的分界面条件： 2. 第一类边界条件可等效为双层源，第二类边界条件可等效为单层源。 3. 分析场的问题，无论域内、分界面或域的边界上，仍然是场与源(等效源)的问题，仍然是由源和分布决定场，反映Helmholtz定理的正确性。 4. 提供了一个按等效源处理边界条件、分界面边界条件的方法。