弹性力学-E-03

nullnull第三章 广义Hooke定律 平面问题的基本理论—— 建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解等。null建立：平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。 在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；μ为侧向收缩系数，又称泊松比。3.1 各向同性弹性体的广义 Hooke 定律null1. 平面应力问题的物理方程由于平面应力问题中—— 平面应力问题的物理方程注：(1) (2) —— 物理方程的另一形式null2. 平面应变问题的物理方程由于平面应变问题中—— 平面应变问题的物理方程注：(2) 平面应变问题 物理方程的另一形式：由式（2-13）第三式，得nullnull3. 两类平面问题物理方程的转换 —— 平面应变问题的物理方程—— 平面应力问题的物理方程(1)平面应力问题平面应变问题材料常数的转换为：(2)平面应变问题平面应力问题材料常数的转换为：nullnullnullnull2. 平面应变问题(1) 几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。 —— 近似认为无限长。(2) 外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。 约束 —— 沿长度 z 方向不变化。(3) 变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。 设 z方向为无限长，则沿 z 方向都不变化，仅为 x，y 的函数。任一横截面均可视为对称面null因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。—— 平面位移问题—— 平面应变问题注：(1)平面应变问题中但是，(2)平面应变问题中应力分量：—— 仅为 x y 的函数。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。null 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题null3. 平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：—— 仅为 x y 的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：应变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；应变与位移间的关系；建立边界条件：—— 平衡微分方程—— 几何方程—— 物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；null两类平面问题：平面应力问题平面应变问题几何特征受力特征应力特征几何特征;受力特征;应变特征。外力、应力、形变、位移。基本假定：（1） 连续性假定；（2） 线弹性假定；（3） 均匀性假定；（4） 各向同性假定；（5）小变形假定。（注意：剪应力正负号规定）（掌握这些假定的作用）基本概念：null平面问题的平衡微分方程：说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：—— 超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。null3.3 Boundary conditions(边界条件)1. 弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2）几何方程：（3）物理方程：未知量数：8个方程数：8个结论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。null2. 边界条件及其分类边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。是力学计算模型建立的重要环节。边界分类（1）位移边界（2）应力边界（3）混合边界—— 三类边界（1）位移边界条件位移分量已知的边界 —— 位移边界（3-17）—— 平面问题的位移边界条件说明：称为固定位移边界。null（2）应力边界条件由前面斜面的应力分析，得式中取：得到：（3-18）式中：l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。如：—— 平面问题的应力边界条件垂直 x 轴的边界：垂直 y 轴的边界： 在物体的边界上取直角三角形的微元体PAB，其斜面AB与物体边界面重合。N为其法线。null例1如图所示，试写出其边界条件。q(1)(2)(3)(4)说明：x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：null例2如图所示，试写出其边界条件。null例2如图所示，试写出其边界条件。(1)AB段（y = 0）：代入边界条件公式，有(2)BC段（x = l）：(3)AC段（y =x tan β）:null例3图示水坝，试写出其边界条件。null例3图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：由应力边界条件公式，有右侧面：null例4图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解：—— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。即AB 边界：由应力边界条件公式，有（1）AC 边界：代入应力边界条件公式，有（2）∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界，∴满足式（1）和（2），解得∴ A 点处无应力作用null例5图示楔形体，试写出其边界条件。上侧：下侧：null图示构件，试写出其应力边界条件。例6上侧：下侧：null（3）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：图(a)：—— 位移边界条件—— 应力边界条件图(b)：—— 位移边界条件—— 应力边界条件null平面问题的基本方程1. 平衡微分方程（2-2）2. 几何方程（2-9）3. 物理方程（平面应力问题）4. 边界条件位移：应力：（2-18）null3.3 Saint-Venant Principle(圣维南原理)问题的提出： 求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。 如图所示，其力的作用点处的应力边界条件无法列写。1. 静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、对于同一点的主矩相等，则两个力系为静力等效力系。 这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。nullnull 图a是一端固支、一端受集中力作用的杆件，其厚度为1 mm，容易计算出杆内的应力为100MPa。 图b是该杆件的应力分布图，不同的颜色代不同的应力值。由于上部固定端和下部加力端的影响，明显看出从上部固定端向下大约20 mm区域内应力并不是均匀分布，在杆的下端，从集中力作用处向上大约25 mm的区域内应力也不是均匀分布的。图b中，只有杆中间部分横截面上的应力才是均匀分布的，且其大小为100 MPa。 圣维南原理说，力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1-3个杆的最大横向尺寸。 null3.圣维南原理的应用对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：必须满足静力等效条件；只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。如：null例7图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。null例7图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：代入应力边界条件公式右侧面：代入应力边界条件公式，有上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：x方向力等效：注意：必须按正向假设！null上端面：（方法2）取图示微元体，可见，与前面结果相同。由微元体的平衡求得，null（1）（2）下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。思考题1.2.试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。null3.4 按位移求解平面问题1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-9）（3）物理方程：（4）边界条件：（1）（2）null2.弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与应变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出应变分量与位移。（3）混合求解以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。null3. 按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示由应变表示的物理方程将几何方程代入，有（2-19）（a）将式(a)代入平衡方程，化简有（2-20）null（2）将边界条件用位移表示位移边界条件：应力边界条件：将式（a）代入，得（2-21）（2-17）式（2-20）、（2-17）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。null（3）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-20）（2）边界条件：位移边界条件：（2-17）应力边界条件：（2-21）null3.5 按应力求解平面问题 相容方程1.变形协调方程（相容方程）按应力求解平面问题的未知函数：（2-2）平衡微分方程：2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从应变、应变与应力的关系建立补充方程。将几何方程：（2-9）作如下运算：null显然有：（2-22）—— 形变协调方程（或相容方程）例：其中：C为常数。由几何方程得：积分得：由几何方程的第三式得：显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。null2. 变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形将物理方程代入相容方程，得：利用平衡方程将上述化简：（a）将上述两边相加：（b）null将 (b) 代入 (a) ，得：将 上式整理得：（2-23）应力表示的相容方程（2）平面应变情形（2-24）（平面应力情形）应力表示的相容方程（平面应变情形）注意：当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即（2-25）null3.按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）（2-23）（3）边界条件：（2-18）（平面应力情形）说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。null例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）解（a）（b）（1）将式（a）代入平衡方程：—— 满足将式（a）代入相容方程：∴　式（a）不是一组可能的应力场。null例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）（a）（b）（2）解将式（b）代入应变表示的相容方程：式（b）满足相容方程，∴（b）为可能的应变分量。null例9解材料力学解答：式（a）满足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否满足边界条件？代入平衡微分方程：显然，平衡微分方程满足。null式（a）满足相容方程。再验证，式（a）是否满足边界条件？—— 满足——满足——近似满足近似满足结论：式（a）为正确解代入相容方程：上、下侧边界：右侧边界：左侧边界：null3.6 常体力情况下的简化1.常体力下平面问题的相容方程令：—— 拉普拉斯（Laplace）算子则相容方程可表示为：—— 平面应力情形—— 平面应变情形当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即或（2-25）null2.常体力下平面问题的基本方程（1）平衡方程（2）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件（4）位移单值条件—— 对多连通问题而言。讨论：（1）—— Laplace方程，或称调和方程。（2）常体力下，方程中不含E、μ（a）（b）不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。—— 光弹性实验原理。（3）用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。null3.常体力下体力与面力的变换平衡方程:相容方程:边界条件:令：(a)将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有(b)(c)null表明：（1）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程（容易求解）；（2）变换后问题的边界面力改变为：结论：null例如：p图示深梁在重力作用下的应力分析。原问题：体力：边界面力：所求应力：变换后的问题：体力：边界面力：(1) 当 y = 0 时，(2) 当 y = –h 时，(3) 当 y = –2h 时，所求得的应力：原问题的应力null常体力下体力与面力转换的优点（好处）：原问题的求解方程变换后问题的求解方程常体力问题无体力问题作用：(1) 方便分析计算（齐次方程易求解）。 (2) 实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。注意：因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。null3.7 应力函数 逆解法与半逆解法常体力下问题的基本方程：边界条件、位移单值条件。(a)(b)式(a)为非齐次方程，其解：全解 = 齐次方程通解1.平衡微分方程解的形式(1) 特解常体力下特解形式：+非齐次方程的特解。(1)(2)(3)(2) 通解式(a) 的齐次方程：(c)(d)的通解。null将式(d)第一式改写为由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得(e)(f)同理，将式(d)第二式改写为(g)(h)比较式( f )与(h)，有也必存在一函数 B(x,y)，使得(2) 通解式(a) 的齐次方程：(d)的通解。由微分方程理论，必存在一函数 φ(x,y)，使得null(i)(j)将式 (i)、(j) 代入 (e)、(f)、(g)、(h)，得通解：(k)null(2) 通解式(a) 的齐次方程：(d)的通解：—— 对应于平衡微分方程的齐次方程通解。(3) 全解取特解为：则其全解为：(2-26)—— 常体力下平衡方程（a）的全解。 由式（2-26）看：不管φ(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。φ(x,y) —— 平面问题的应力函数—— Airy 应力函数null2.相容方程的应力函数表示将式（2-26）代入常体力下的相容方程：(2-25)有：注意到体力 X、 Y 为常量，有将上式展开，有(2-27)—— 应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。null将式（2-26）代入常体力下的相容方程：(2-25)有：注意到体力 X、 Y 为常量，有将上式展开，有(2-27)—— 应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。式（2-27）可简记为：或：式中：满足方程(2-27)的函数φ(x,y) 称为重调和函数（或双调和函数）结论：应力函数φ应为一重调和函数null按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为：（1）(2-27)（2）（3）null（1）逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的φ(x,y) 的形式；（2）—— 主要适用于简单边界条件的问题。（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么问题。（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（2）（3）—— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。null本 章 小 结1.两类平面问题：平面应力问题；平面应变问题。（两类平面问题中基本方程的异同）2.平面问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件（位移、应力）。（几何特点、受力特点、应力或应变特点）3.平面问题的求解（1）按位移求解平面问题（2）按应力求解平面问题基本方程：（1）用位移表示的平衡微分方程；（2）用位移表示的应力边界条件；（3）边界条件：应力、位移边界条件。相容方程（形变协调方程）：（应变表示形式、应力表示形式、应力函数表示。）null（2）按应力求解平面问题相容方程（形变协调方程）：（应变表示形式、应力表示形式、应力函数表示。）应力函数表示的应力分量表达式：常体力下的简化；应力函数的求解方法：（逆解法、半逆解法。）按应力求解平面问题的基本步骤：null（1）(2-27)（2）(2-26)（3）按应力求解平面问题的基本步骤：4.应力边界条件的列写及圣维南原理的应用.5.任意斜面上应力、主应力、主方向；任意方向正应变的计算。6.任意斜面上线应变、变形后两线段夹角改变量的计算。