解三角形：三角形形状判断的三大策略

中学生数学 ·2011年 3月上 ·第 413期(高中) 三 角 形 形 状 判 断 的 三 大 策 略 山东省邹平第一中学(256200) 扈希峰 正确理解三角形的六要素间的关系和熟 练运用三角形的正、余定理，才能迅速判断三 角形的形状．一般有两种思路：其一是化边为 角，求出三个角之间的关系式；其二是化角为 边，求出三条边之间的关系式．实施转化的主 要策略是运用三角函数 的关系式、向量和正 (余)弦定理等． 一 、运用三角函数的关系直接判断 例 1 在 △ABC 中 ，cosAcosB > sinAsinB，试判断△ABC的形状． 解析 ‘．‘ cosAcos／~：>sinAsinB， ． ‘ ． cosACOSB— sinAsinB> 0， 即 cos(A+B)>0， 即 COSC —cos(r-- (A+B)) 一 一 COS(A+B)< 0， 又 C∈(0，7r)， ． ‘ ． c> ，．‘．三角形ABC是钝角三角形． 厶 例 2 在△ABC中，0< tanAtanB< 1，试 判断AABC的形状． 解析 ‘．‘ A，B，C为三角形的内角，0< tanAtanB< 1， ． ‘ ． tanA> 0。tanB> 0。 ． ‘ ． tanC—tan(~--A—B)一一tan(A+B) 一 一 1 t anAtanB< o， — — 、 ， 又 C∈(0，7r)， ． ‘ ． c> ， ．。． 三角形是钝角三角形． 评析 通过三角函数关系式的转化，运用 三角形的六要素(三边、三角)问的关系来判断 三角形的形状． 二、运用向量判断 例 3 向量OA，OB，OC满足条件OA+OB +0C= ，J OA f—f OB『一I OC『一1，试判断 △ABC的形状． 解析 ‘．‘ 0 +0lB+0C===_6， ． 。 ． 0A+ 。B： 一OC， ． 。 ． (0 +0B)。一 (0C) ， 即 I OA f。+I OB I +2 OA·OB—f OCf ， ’ ．‘ 4 OA J—I oB J— I OCI一1， ． ‘ ． OA ·OB：一÷， (下转第 2O页) (上接 第 18页) ． ·． sin(a一手)=詈． · ． 。 sin( +J9)一sin( +卢+号) 一c。s( + )一两5 ，{<卢+ <号， ． · ． sin( +卢)一 12 ， · 。 · sin(a+ ) sin[(a一 )+( + ] 一 4 b X l 5 3 ． 5 3 1 l 2 3 5 65 6 ． 评析 角的变换有较强的灵活性，变换的方 法也多种多样，但基本原则有两条：一是充分利 用特殊角(如 、号、 等)进行转换，二是尽量用 已知角来表示未知角，由于已知角已经给定或容 易求出，从而避免了不必要的分类讨论． 参考文献 任志鸿主编．2011高中总复习优化设计． 人教 A版 2010年 3月 (责审 张思明) 网址：ZXSS．chinajourna1．net．ell ● 1 9 ●电子邮箱：zxss@chinajourna1．net．cn 哆 路 幺 万 湛 ◇ ● 寸 拳学 思 路 与 万 珐 ● 参 ◇ 中学生数学 ·2011年 3月上 ·第 413期(高中) (上接第 19页) ． · ． 1 O—A f·l O—B l c。s A0B一一 ， ． · ． c。s AOB一 一 I ． ~AOB= ， 同理 Aoc一 B0c一 ， 0 故△ABC是等边三角形． 例 4 在AABC中，若BC一 ，CA一 ，AB= ，且 · 一 · 一 · ，试判断AABC的形状． 解析 方法 1 由画图可知 + + 一 ， ． 。 ． +否一-c，．。．( +弓)· 一-cz， ． ’ ． · + ·c一 一 z， +c===～ ， ． 。 ． ( + )· 一一弓z， ． ． · + · 一 一 z， 又 ’．’ · = · ， ．’． C 一 ． 同理可得 。一 。一 ，所以△ABC是等边 三角形． 方 法 2 如 图延 长 AB至D点，使 AB—BD， 连 CD， 方法 2 根据正弦定理 一 得 一 一 ， 从而得到 tanA—tanB． ‘ ．‘ A，B不能同时为钝角， ． ‘ ． 一 定有 cosA>0，cosB>0，那么 A，B 都是锐角， ． 。 ． A—B， ．‘． AABC是等腰三角形． 例 6 在／kABC 中，acosA—bcosB，判断 △ABC的形状． 解析 方法 1 由正弦定理 一 一 一 2R， sinA sinB sinC ⋯ ’ 得 Ct一2RsinA，b一2RsinB．代入已知等式 得 2RsinAcosA一2RsinBcosB， 即 sin2A—sin2B， ． ‘ ． 2A一2B或 2A+2B一丌， ． ‘ ． A—B或 A+B一 ， ． 。 ． △ABC是等腰三角形或直角三角形． 方法 2 由余弦定理得 acosA—bcosB b + c 一a ， a。+C 一b 。‘— _ ～D‘— _ 口。C 一 n 一 b。c +b = 0， ． ‘ ． (a 一b )(C。一 a 一 b )一0， ． ’ ． (n。一6 )==：0或(c。一。。～b。)一0， ． ’ ． a：b或 c。一n。+ ， ． ‘ ． z~ABC是等腰三角形或直角三角形． 评析 已知三角形中的边角关系式，判断 三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再 进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式； 其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条 边之间的关系式．两种转化主要应用正弦定理 和余 弦定理．本题 的两种解法 ，就是通过两 种 不同的转化来实现的． 通过归纳，我们进一步熟悉了三角函数 的关系式以及三角形的有关性质，综合运用了正 (余)弦定理和向量的基本知识来判断三角形的 形状，即对已知条件进行转化最终转化为三角形 中的六要素问的关系来判断． (责审 张思明) 网址 ：ZXSS．chinajourna1．net．cri ● 20 ●电子邮箱：zxss@chinajourna1．net．cn 寸 学 券学