标量湍流的能量传输特性

[文章编号] � 1001�246X( 2006) 06�0692�07 [收稿日期] 2005- 07- 19; [修回日期] 2005- 11- 17 [基金项目] 国家自然科学基金( 10272065, 10472053)和 LIAMA资助项目 [作者简介] 方 � 乐( 1983- ) ,男,安徽,硕士生,从事湍流数值计算研究. 标量湍流的能量传输特性 方 � 乐, � 崔桂香, � 许春晓, � 张兆顺 (清华大学力学系, 北京 � 100084) [摘 � 要] � 应用直接数值模拟数据, 从标量湍流传输的三波关系出发, 进行湍流及标量湍流传输谱的多尺度分 析, 研究不同尺度间的能量传输性质, 证实标量能量的传输与湍动能传输具有不同性质, 大尺度速度脉动对标 量传输有较大贡献, 尤其是与标量小尺度脉动的相互作用, 使标量模拟需要有比速度场更高的网格分辨率; 并 发现标量湍流的能量传输具有明显的非局部性; 另外, 定义了能量传输系数, 发现在相同的 Re 数和 Pe 数条件 下, 标量湍流的对流惯性较速度脉动的惯性子区宽. [关键词] � 能量传输; 标量湍流; 三波关系 [中图分类号] � O357�5 [文献标识码] � A 0 � 引言 湍流不同尺度间的能量传输关系是研究湍流机制和建立湍流模型的关键问题.经典的 Kolmogorov理论 认为湍动能总是从大尺度通过惯性作用向小尺度串级传输.能量在各个尺度间的传输作用可以通过传输谱 来表示,在各向同性湍流中, Kraichnan[ 1, 2] 研究了湍动能传输谱的性质, 指出在Fourier谱空间中能量传输是由 3个波数分量(即 3种尺度的脉动)共同作用引起的.如果能量传输发生在 2个相近的尺度之间,则称为局部 能量传输;否则称为非局部能量传输.如果相互作用的 3个波数的模在同一范围,则称为局部三波作用; 否则 称为非局部三波作用.在速度脉动中, 大部分能量传输都是局部性的. Kolmogorov 能量串级理论实际上考虑 的就是由局部三波关系引起的局部能量传输. Domaradzki [ 3]研究了脉动速度的三波作用与能量传输之间的关系. 局部三波作用必然产生局部能量传 输,所以速度脉动的湍流能量传输是局部性的.但在非局部三波作用中, 仅在一个较小波数与另两个较大波 数之间才有非局部的能量传输. Yeung [ 4]应用类似的方法研究了各向同性被动标量的能量传输, 认为标量能量(标量脉动的平方平均值) 仍然遵循串级传输. 在标量能量传输中主要由含能尺度的脉动速度产生,这种情况对应于三波关系中 2个较 大标量波数和一个较小速度波数的情形.在 2个标量波数之间能量从大尺度向小尺度传输,这意味着非局部 的三波关系导致局部能量传输.小尺度速度场对标量传输影响很小. 不过, Yeung 的研究仅限于各向同性的 标量湍流,而对各向异性的情形没有做进一步的研究, 而且未涉及标量湍流的非局部传输性质. 本文在均匀各向同性和各向异性标量场中进行多尺度, 证实各向异性标量能量传输也主要来源于 非局部三波作用.标量场除了局部能量传输以外, 还具有明显的非局部能量传输特征. 这种非局部能量输运 导致标量湍流具有和速度脉动不同的特点. 1 � 传输谱的多尺度分析方法 我们在均匀各向同性和各向异性湍流场中研究输运特性, 采用谱分解的方法来分析湍流与标量湍流传 输的分尺度特性.众所周知,高波数表示小尺度成分,低波数表示大尺度成分. 1�1 � 湍动能与标量能量传输谱 第 23卷 第 6期 2006年 11月 计 � � 算 � � 物 � � 理 � CHINESE JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS � Vol . 23,No. 6Nov. , 2006 � 均匀湍流在谱空间的 N_S方程可写作 �u^ i� t + ikj u iuj � = - 1�ikip^ - k2 u^ i , ( 1) kiu^ i = 0, ( 2) u^ i , p^ 等是速度脉动和压强脉动在谱空间的投影. ( 1)式左右同乘 k i ,并由( 2)式得到压强的公式 p^ = - �kikj uiuj� k lkl , ( 3) 其中u iuj� 对应谱空间的卷积.上式代入( 1)式得到 ��t + k2 u^ i = ikj umuj � kikm klkl - !im , ( 4) 左右同乘u^*i ,得到 �� t + 2 k2 E = Im[ u^*i kj u iuj � ] , ( 5) 其中 E= 1 2 u^iu^ * i 是湍流脉动动能.令 ��t + 2 kj kj E= T ( k) ,则得到 T ( k) = Im[ u^ * i kj uiuj � ] , ( 6) T ( k)称为湍动能传输谱[ 6] ,它表示波数为 k 的速度脉动通过惯性从其它波数获取的能量, 负值表示输出的 能量. ( 6)式说明传输函数由 3个速度脉动分量的乘积组成,即由三波作用产生. 谱空间的标量控制方程为 �∀�� t + #k 2∀ � = - ikj uj∀� , ( 7) 左右同乘∀� * ,得到 ��t + 2#k 2 E∀ = Im[ ∀ � * kj uj∀� ] , ( 8) 其中 E∀= 12 ∀ � ∀�* 是标量能量. 令 ��t + 2#k 2 E∀= T∀( k) , T∀( k) = Im[ ∀�* kj uj∀� ] , ( 9) 其中 T∀( k)称为标量能量传输谱.和湍动能传输谱不同, 它是两个标量脉动分量和一个速度脉动之间的相互 作用. 1�2 � 传输谱的多尺度分析方法 Kraichnan按照三波作用进行速度脉动能量传输谱的分解,他将传输谱分解为 3个波数的函数,定义为 T ( k ) = !0 !0 S( k | p , q) dpdq , � � S ( k | p , q) = S( k | q , p ) , ( 10) 其中 S ( k | p , q ) = 1 2�dA k ∀| p | = p, | q| = q, p+ q= k{ Im[ kj u^ *i ( k) u^j ( p ) u^ i ( q) ] + Im[ kj u^ *i ( k) u^ j ( q) u^ i ( p ) ] } , ( 11) 其中 dA k 是以波数k 为半径的球面上的微元面积.由于( 10)式和( 11)式中 3个分量都是速度脉动,具有谱空 间的对称性, S ( k | p , q ) = S ( k | q, p ) .传输谱 T ( k )表示谱空间内| k | = k 的球面接收的能量, 而它的分解 S ( k | p , q )则只表示该球面与半径为 p 和 q 的另两个球面上的速度脉动相互作用引起的能量传输.三波关系 能成立的必要条件是 p + q= k,要满足这个关系, 函数 S ( k| p , q )只在 p+ q> k , | p- q | < k 的区域内有值. 在这里 p 和 q 表示波数区间. 标量湍流的三波作用在一个速度脉动和两个标量脉动之间产生,而标量和速度分量在谱空间并不对称, 693� 第 6 期 方 � 乐等:标量湍流的能量传输特性 所以 Kraichnan的分解方式不能用在标量湍流的多尺度分析中, 而应采用如下的分解表达式: T∀( k ) = !0 !0 T∀( k , p , q) dpdq, � T∀( k , p , q ) # T∀( k, q , p ) , ( 12) 其中 T∀( k , p , q) = �dA k ∀| p | = p, | q| = q, p+ q = kIm[ kj ∀�* ( k) u^ j ( p ) ∀� ( q) ] , ( 13) 式中 p 和 q 分别代表速度脉动和标量脉动中的波数大小.必须强调指出,标量能量只在两个标量分量之间传 输,所以 T∀( k, p , q )中 3个波数记号的含义是:由波数 p 的速度脉动引起波数 q 和 k 间的标量能量的传输. 另外, 给定一个波数 kc ,可以将标量场划分为大尺度脉动( k< kc 部分,记为∃< )和小尺度脉动( k> kc 部 分,记为∃> ) .在某个波数上的标量传输函数 T∀( k )分解为 T∀( k ) = �dA k�Im{ kj ∀�* ( k) ∃ [ u^ ( k - p) + u^>j ( p ) ∀�< ( k - p) + u^ >j ( p) ∀�> ( k - p ) ] dA p } , ( 14) 上式表示速度场和标量场大小尺度之间的相互作用,如第 1项表示大尺度速度脉动和大尺度标量脉动对给 定波数标量的三波作用,类似的,第 2项表示大尺度速度脉动和小尺度标量脉动对给定波数标量的三波作 用,第 3, 4项分别表示小尺度速度脉动和大、小尺度标量脉动对给定波数标量的三波作用. 2 � 标量传输谱的多尺度分析 本文对各向同性和各向异性均匀标量湍流进行多尺度传输性质的分析. 均匀湍流场的数值计算采用谱 方法.第 1个算例是平稳的各向同性标量湍流,通过在低波数加强迫项产生,详见文[ 5] , 下文简称为强迫标 量湍流.第 2个算例是平稳的各向异性标量湍流,它是由平稳的速度脉动场中施加平均标量梯度产生,以下 简称等梯度标量湍流,详见文[ 5] .平均梯度给定在 x 3 方向.计算中泰勒尺度雷诺数 Re∃= 50.为了比较相同 Re 数和Pe 数间湍动能和标量能量输运性质的差异,给定 Pr= 1. 2�1 � 给定波数附近的能量传输 根据 Domaradzki的理论,非局部三波关系中,仅在一个较小波数速度脉动与另两个较大波数速度脉动之 间才有非局部的湍流能量传输.对于标量场, 构成三波关系的是两个标量脉动和一个速度脉动,而标量能量 传输只能在标量脉动之间进行.因此在这种传输方式中,较小的波数必然是速度,此时对应标量能量的局部 串级传输. 对速度场和标量场进行尺度分解,以波数 kc 为界, 进而将速度和标量都分为大尺度量(∃< )和小尺度量 (∃> ) . 在图 1中,根据( 14)式将标量场的传输谱分解成 4个部分, 分别对应大小尺度速度和标量的相互作用. 竖虚线位置是给定波数 kc .实线是大尺度速度场和大尺度标量场的作用,它包含了大部分的能量传输, 但不 能准确反映给定波数 kc 附近的能量传输.这部分未能准确模拟的能量传输是由含小尺度脉动的三波作用产 生的, 包括大尺度速度脉动和小尺度标量脉动作用、小尺度速度脉动和大尺度标量脉动作用,以及小尺度速 度脉动和小尺度标量脉动作用.在这些部分中,大尺度速度脉动和大尺度标量的作用最明显(图中虚线) .因 此,亚格子传输主要来源于大尺度速度脉动与小尺度标量脉动的相互作用.即 T >∀ ( k) % �dA k�Im[ kj ∀�* ( k) u^ ( k - p) ] dAp . ( 15) � � 另外, 传输主要集中在给定波数附近,这也说明了在标量传输中,非局部三波关系仍然是引起局部能量 传输的主要因素. Yueng 首先证实在各向同性标量湍流(即本文的强迫标量湍流)中具有该性质.本文证实各 向异性标量湍流(本文的等梯度算例)中也具有该性质. 2�2 � 根据能量传输系数判断惯性子区范围 定义某个波段( k 1 , k2 ) (记中点为 k )上的能量传输系数为 694 计 � � 算 � � 物 � � 理 第23卷 � 图 1� 标量场的分尺度传输特性 Fig�1 � Transfer function check between scalar and velocity field %&( k) = %& k 1 + k2 2 = - k10 T&( k ) dk kcmaxk 2 T&( k) dk , ( 16) &可以是速度或者标量.它反映( k1 , k 2 )尺度段从大尺度接收的能量和向小尺度传出的能量之比. 图2分别给出湍动能和标量能量的传输系数.在速度场 p < 3和标量场 p< 2的尺度范围,传输系数小于 1, 说明大尺度脉动接受的能量小于向小尺度传输的能量.而在速度场 p= 16左右和标量 p= 23左右,传输系 数大于1,说明小尺度脉动接收的能量大于它向更小尺度输出的能量. 传输系数在 1附近时, 该尺度段上能量的传输基本达到平衡, 即从大尺度获取的能量与向小尺度输出的 能量相等,这是惯性子区的特性.从图 2( a)可以看出,速度场的惯性子区比较窄, 约在波数 3~ 12的范围内. 而图 2( b)中,标量场的惯性子区范围则要宽许多,标量能量直到最小尺度才被耗散掉. 差异的原因是标量能 量除了局部传输外, 还具有非局部性.分析见下文. 图 2 � 能量传输系数 Fig� 2� The coefficient of energy transfer 2�3 � 传输谱分布 按照( 10)和( 12)式,分别对速度脉动和标量脉动做传输谱分解,并画出在一个波数 p 固定时传输谱相对 于另两个波数 k 和 q 的分布图. 负值表示三波作用输出能量,正值表示接收能量.由于在计算中只能采用离 散点,求解精确的传输谱分布并不容易,因此这里的传输谱都是某个波段的积分值. p 波数分别取 0~ 0�78, 4�71~ 5�49 和 14�84~ 15�62(即波数宽度约为 0�78)时, 如图 3, 4, 5 所示. 为具有可比性, 均用其均方根 ( r. m. s)做无量纲化,分别记为 S* 和 T *∀ . 695� 第 6 期 方 � 乐等:标量湍流的能量传输特性 图 3 � 传输谱分解( p= 0~ 0�78) Fig� 3� Triad interaction within p = 0~ 0� 78 图 4 � 传输谱分解( p = 4� 71~ 5�49) Fig�4 � Triad interaction within p= 4�71~ 5� 49 图 5 � 传输谱分解( p = 14� 84~ 15�62) Fig�5 � Triad interaction within p= 14�84~ 15�62 在图3中,可以看到低波数段 p = 0~ 0�78时, k 和 q 分量的作用范围上标量场比速度场要大得多.因此 标量场的传输具有更大的尺度范围,反映在各个尺度上的三波关系都很活跃.等梯度标量场的三波关系范围 比强迫标量场更大, 可能由于 x 3 方向上等梯度的作用, 将另做详细研究. 中波数段 p= 4�71~ 5�49时,在图 4( a)中可以看到, 速度脉动 k 和 q 的主要作用集中在 k= p , q= 0附 近, k< p 的大尺度部分输出能量, k> p 的小尺度部分输入能量.这时对应的是非局部的三波关系, 但由于 k 和p 很接近,仍然是局部的能量传输.而如图 4( b) , ( c)所示标量场,这时的非局部三波关系更加分散,对应的 k , q 作用范围也很广, k , p , q 可以互不相等,此时对应的是非局部的能量传输.总体看来仍然是大尺度传出 能量,小尺度接受能量,但不再具有明显的局部性.于是可以有结论: 速度脉动的能量传输主要来源于非局部 三波关系引起的局部能量传输,而标量场中同样存在明显的由非局部三波关系引起的非局部能量传输. 696 计 � � 算 � � 物 � � 理 第23卷 � 图5是 p 取更高波数段( 14�84~ 15�62)的情况.速度场的传输函数仍然集中在 k= p , q= 0附近,呈现很 明显的局部传输特性.而标量场传输谱的分布呈现非常明显的非局部三波关系和非局部能量传输,能量的输 出和接收都不再由一部分区域的三波关系来完成,而是由大范围的非局部三波关系引起. 同样我们可以画出一个波数 k 固定时传输谱相对于另两个波数p 和 q 的分布图, 如图 6所示.很明显, 标量场传输谱分布于整个 p + q> k , | p- q| < k 的区域内,而速度场传输谱则集中在 p= k, q= 0和 q= k , p = 0两点附近, 体现出明显的局部能量传输特性. 图 6 � 传输谱分解( k= 4� 71~ 5�49) Fig�6 � Triad interaction within k= 4�71~ 5� 49 图 6( a)中, 由于在描述速度三波作用的函数 S ( k | p , q )中, p 和 q 的贡献是相当的, 因此图 6( a)反映速 度场的能量传输主要来源于一个较小波数和两个较大波数之间的三波关系,能量在这两个较大波数之间做 局部传输. 图6( b) , ( c)描述标量场三波作用的函数 T∀( k , p , q) ,图中 p 和 q 与速度传输谱不同, 分别表示速度和 标量. 可以看出在 q< k 的范围内传输谱基本大于 0, 在 q> k 的范围内基本小于 0.这说明了标量传输也是 从大尺度接收能量并向小尺度传输.但与速度脉动不同的是传输不再具有明显的局部性,即使相隔很远的波 数( k # q )间仍然有标量能量传输. 3 � 结论 标量脉动的能量传输具有独特的性质.和速度脉动相比,由于速度脉动和标量脉动之间存在明显的非局 部三波关系,使得速度脉动可以影响到更大尺度范围的标量场.另外,在标量传输三波关系中能量仅能在两 个标量波数间进行传输, 从而由速度和标量的非局部三波关系引起的能量传输具有明显的非局部性质. 从速度脉动和标量脉动方程来看, 当它们的特征系数 Re∃= Pe∃时, 似乎可用同样的空间分辨率来计算. 而事实上由于标量能量传输范围更宽, 根据标量能量传输特性, 当 Pr= 1时, Re∃= Pe∃,需要比速度场更高的 网格分辨率.否则,小尺度的能量传输将无法模拟,标量能量会在小尺度积累. 在大涡模拟中, 需要对流场和标量场进行过滤,而过滤的尺度对应于截断波数 kc . 由于标量场的尺度范 围比速度场更大,而亚格子标量主要来源于可解尺度速度场和亚格子尺度标量场的相互作用,因此标量场的 截断波数应当比速度场的更大,才能正确反映标量传输的性质. [参 � 考 � 文 � 献] [ 1 ] � Kraichnan Robert H. Inertial ranges in two_dimensional turbulence [ J] . Phys Fluids, 1967, 10( 7) : 1417- 1423. [ 2 ] � Kraichnan Robert H. Inertial_range transfer in two_ and three_ dimensional turbulence [ J] . J Fluid Mech, 1971, 47: 525- 535. [ 3 ] � Domaradzki J Andrzj, Rogallo Robert S. Local energy transfer and nonlocal interactions in homogeneous, isotropic turbulence [ J] . Phys Fluids A , 1990, 2( 3) : 413- 426. [ 4 ] � Yeung P K. Spectral transfer of self_similar passive scalar fields in isotropic turbulence [ J] . Phys Fluids, 1994, 6( 7) : 2245- 2247. [ 5 ] � 周海兵.标量湍流的数值研究[博士学位论文] [ D] .清华大学, 2003. 697� 第 6 期 方 � 乐等:标量湍流的能量传输特性 [ 6 ] � Rose H A, Sulem P L. Fully developed turbulence and statistical mechanics [ J] . Le Journal De Physique, 1978, 177: 441- 483. Energy Transfer in Scalar Turbulence FANG Le, � CUI Gui_xiang, � XU Chun_xiao, � ZHANG Zhao_shun ( Department of Engineering Mechanics , Tsinghua University , Beij ing � 100084, China) Abstract: � With DNS database, we study the triad interaction of scalar energy transfer, and make a multi_scale analysis in different scales. It shows that the energy transfer in scalar turbulence is different from that in velocity fluctuations. The major contribution of scalar transfer is given by large scale turbulence. Simulation of scalar turbulence requires a higher resolution. The interation between large scale velocity fluctuations and small scale scalar turbulence is an important part of the energy transfer. Non_energy transfer is as important as the local energy transfer in the scalar turbulence. We define an energy transfer coefficient, and find that the inertia_convective range in scalar turbulence is longer than the inertial subrange in turbulent kinetic transfer with same Re and Pe numbers. Key words: � energy transfer; scalar turbulence; triad interaction Received date: � 2005- 07- 19; Revised date: � 2005- 11- 17 698 计 � � 算 � � 物 � � 理 第23卷 �