计算方法_7

nullnull 和初值 x0。它的收敛条件是上次课主要讲述了迭代法解方程 f (x) = 0 1、 利用其等价方程 ，建立迭代2、加速收敛的公式是其中 和 null第三节 Newton法因此由 f (x)=0 可以近似认为 p(x)=0。等式右边是线性的，容易解方程 p(x)=0 的根并且作为 f (x)=0 的新的近似根 xk+1。有1.公式的导出假设 xk 是方程 f (x)=0 的近似解。则 f (x) 在点 xk 附近可用一阶Taylor多项式示为null这是著名的Newton公式，迭代函数是它是迭代公式 x = x + f (x) 的加速公式。null流程图开始读入x0,e,N1=>k|x1-x0|k x1=>x0结束输出奇异参数： double x0, e, *x int N double (*F)(), (*DF)() 循环： for (k=1; k<=N; k++,x0=x1)d=DF(x0); if (fabs(d)0 都是平方收敛的。null例6：计算 。取初值 x0=10， 计算结果如下： k xk 1 10.7500000000 2 10.7238372093 3 10.7238052948 4 10.7238052948nullxk+1 xk左边收敛，右边可能是发散的。Newton公式的几何解释是xk+1 xk由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法。nullNewton法的收敛性依赖于初值 x0 的选取，如果 x0 偏离根 x* 较远，则Newton法可能发散。3.Newton下山法例7：用Newton法解方程 x3 - x - 1 = 0 在 x = 1.5 附近的一个根。解：它的Newton公式是null数据如下： x0=1.5 x0=0.6 1.3478260870 17.900000000 1.3252003990 11.9468023286 1.3247181740 7.9855203519 满足这项条件的算法称下山法。下山法是要保证迭代收敛。 下山法与Newton法结合使用。我们将Newton法的计算结果(1)为了防止迭代发散，我们对迭代过程附加条件，保证函数值单调下降：null与原近似值 xk 作适当的加权平均为新的改进值 xk+1： (2)将式(2)代入上式得到null值得指出的是，由于 Newton 法的收敛性强烈地依赖于初值 x0 的选取，在实际求解方程 f (x)=0 时，往往先用二分法定出足够准确的近似根 x0 ，然后再用 Newton 法将 x0 逐步精确化。null取代Newton公式中的导数值得出公式：第四节 弦截法我们用差商作为迭代公式，这个算法叫弦截法，它是线性收敛的。null为了加快收敛速度用差商取代Newton公式中的导数值得出公式：几何意义见图：null这种迭代法称为快速弦截法。 这类算法必须提供两个初值 x0, x1 。例8：用快速弦截法解方程解方程 xex -1=0 。解：设取x0=0.5, x1=0.6作为迭代初值，用快速 弦截法求得的结果如下：同例5 Newton法的结果比较，可以看出快速弦截法的收敛速度是令人满意的。 x2=0.56754，x3=0.56715，x4=0.56714null第五章 线性方程组的迭代法线性方程组的解法主要有两大类： 直接法 迭代法 null迭代法的算法简单，但是需要满足收敛条件，即对系数矩阵有特殊要求。第一节 迭代公式的建立1.Jacobi迭代例1：求解方程组null从三个方程分别分离出 x1 , x2 和 x3 ：据此建立迭代公式：①null方程组的精确解为：迭代次数 x1 x2 x3 1 0.720000 0.830000 0.840000 2 0.971000 1.070000 1.150000 3 1.057000 1.157100 1.248200 4 1.085350 1.185340 1.282820 5 1.095098 1.195099 1.294138 6 1.098338 1.198337 1.298039 7 1.099442 1.199442 1.299335 8 1.099811 1.199811 1.299777 9 1.099936 1.199936 1.299924 10 1.099979 1.199979 1.299975null对于一般形式的方程组我们从第 i 个方程中分离出 xi ，得到建立迭代公式：②称它是解方程组的Jacobi迭代公式。null流程图见下页（书p158）。其中刻划精度使用偏差这里 xi 表示老值，yi 表示新值。null开始输入N,n,aij,bi,exi=0,i=1,2,…,n。k=1k=N?输出 y1,y2,…,yn输出 迭代失败标志结束≠=Jacobi迭代算法框图k=k+1 xi=yi,i=1,2,…,n≥﹤先检查aii，若有aii=0则输出奇异标志null2. Gauss-Seidel迭代null称为Gauss-Seidel公式，它在一般情况下比Jacobi公式好。如前面的例题仅需迭代6次（见下页）。对于一般形式的方程组，迭代公式为但是存在个别情况比Jacobi收敛得慢，甚至于发散。null迭代次数 x1 x2 x3 1 0.720000 0.902000 1.164400 2 1.043080 1.167188 1.282054 3 1.093130 1.195724 1.297771 4 1.099126 1.199467 1.299719 5 1.099890 1.199933 1.299965 6 1.099986 1.199992 1.299996null开始输入N,n,aij,bi,eyi=xi=0,i=1,2,…,n。k=1k=N?输出 y1,y2,…,yn输出 迭代失败标志结束≠=Gauss-Seidel迭代算法框图k=k+1 xi=yi,i=1,2,…,n≥﹤先检查aii，若有aii=0则输出奇异标志null这节课主要讲述了求方程根的迭代公式的建立2. 快速弦截法，它的迭代公式是1. Newton法，它的迭代公式是null还讲述了解线性方程组的两个迭代公式2. Gauss-Seidel 迭代法1. Jacobi 迭代法