计算方法-1

null 回顾： 上次课主要介绍算法和误差。 知道了算法的定义。 算法优劣的评判标准：精度、计算量、 空间使用量、稳定性等。 对误差的来源进行分类。 绝对误差和相对误差。 知道了：绝对误差限与有效数字位数的联系。 相对误差限与有效数字位数的联系。 问的提出： Chapter1 插值法Chapter1 插值法 )n+1次多项式 1. 线性插值（二点一次插值）问题：给定x0, x1和y0, y1，求一次多项式 p1(x)，使得p1(x0)=y0， p1(x1)=y1。显然p1(x)是过点(x0, y0)和(x1, y1)的直线。 它的表达式是null特点是计算量小，精度低。适用于x0和x1比较接近情况。解：取x0=100 ，y0=10 ，x1=121和y1=11。代入上述公式得到 p1(115)=10.7142857…，有三位有效数字。例：已知点斜式：对称式：null它的几何意义是p2(x)是过点(x0, y0)，( x1, y1)和(x2, y2)的抛物线。问题：给定x0, x1, x2和y0, y1, y2，求二次多项式 p2(x)，使得 p2(x0)=y0，p2(x1)=y1 ，p2(x2)=y2 。2. 抛物插值（三点二次插值）null为了构造它的表达式，我们先构造一个特殊多项式l0(x)，使得 l0(x0)=1， l0(x1)= l0(x2)=0。类似地可以构造多项式l1(x)和l2(x) ，使得 l1(x1)=1， l1(x0)= l1(x2)=0。它的表达式是和 l2(x2)=1， l2(x0)= l2(x1)=0。null例：用x0=100，x1=121和x2=144，求 。我们取p2(x)= l0(x)y0+ l1(x)y1+ l2(x)y2或者解：通过计算可知y0=10，y1=11和y2=12，代入上述公式得到近似值10.7228…，有四位有效数字。null开始输入x (xi,yi),i=0,1,…,ny=0.0, k=0t*=(x-xj)/(xk-xj) j=0,…,k-1,k+1,…,ny=y+t*ykk=n?k=k+1输出 y结束≠=t=1.0Lagrange插值算法框图插值余项插值余项 这样我们就得到了如下的定理：null应用上述公式有时是很困难的。可以使 用两次插值公式进行误差分析。注意：为了减少误差，通常x取值范围 是定理 已知 假设f(x)在区间[a,b]内存在n+1阶导数， 那么Lagrange插值函数pn(x)的插值误差是 例1： null例如，有三个节点 x0, x1和x2。对于给定的插值点x，我们分别用 x0, x1和 x0, x2做两次线性插值得到 y1和 y2。由定理2有这里的y是精确值。我们假定 两式的比是null整理后得到故有也就是说，插值结果 y1 的误差可以通过两个结果的偏差 y2 - y1 来估计，这种直接用计算结果估计误差的方法称作事后估计法。