基尔霍夫定律

1 1 上次课回顾 §4.2 欧姆定律 讨论一段电路，即不含电动势的简单电路 B.焦耳定律的积分及微分形式 C.从经典电子论观点解释欧姆定律和焦耳定律 D.欧姆定律的失效问 A.欧姆定律积分形式 微分形式 §4.1 稳恒条件 一.电流强度和电流密度 二.电流连续性方程 积分形式 微分形式 三.稳恒条件 2 §4.5 稳恒电流和静电场的综合求解 §4.3 电源及电动势 一．非静电力 电源 电动势 二．路端电压 全电路欧姆定律 §4.4 基尔霍夫定律 一．一段含源电路的欧姆定律 二．简单电路 串联并联 三．复杂电路 基尔霍夫第一定律、第二定律 本次课主要内容 3 §3. 电源及电动势 一．非静电力 电源 电动势 仅有静电场不可能实现稳恒电流 ∫∫ =⋅S SdJ 0rr 稳恒电流必须是闭合的 静电场的一个重要性质： .这表示电场力沿闭 合回路移动电荷作的功为零，或者说若电场力将电荷从一点移到 另一点作正功，电位能减小，则从后一位置回到原来位置电场力 作负功，电位能增加，即沿闭合回路绕行一周后，所经历的总的 电势改变量为零. 但导体存在电阻，电场力移动电荷所作的 功转化为电阻上消耗的焦耳热，这就不可能使电荷再返 回电位能较高的原来位置，即电流线不可能是闭合的， 结果引起电荷堆积，电流随时间变化，破坏了稳恒条件 ∫ =⋅L ldE 0rr 4 结论：在稳恒电路中，只有静电场还不能维持稳恒电流稳恒电路中，只有静电场还不能维持稳恒电流， 要维持稳恒电流，必须有一种非静电本质的力作用 于电荷，称作非静电力 非静电力作功，将其它形式的能量补充给电路，使 电荷能够逆着电场力的方向运动，返回电位能较高的原 来位置，从而维持电流线的闭合性 如: 小孩坐滑滑梯，重力只能使孩子从高 处滑下，且在滑下的过程中，重力克服 滑板的摩擦力作功并转化为热。滑到地 面的孩子无法再返回高处，只有靠身边 的父母亲帮忙才能返回高处，重复下滑 运动。这里父母亲就提供给孩子一个非 重力本质的力，使孩子的滑梯运动得以 反复进行，尽兴游戏 5 2．电源 表明：电流是静电力和非静电力共 同作用的结果，且电源内部K 的方向与E的方向相反 普遍的欧姆定律的微分形式： )( KEJ rrr += σ 电源有两极:正极(电位高),负极(电位低) 电源的一般原理图 提供非静电力的装置称作电源。用 表示作用在单 位正电荷上的非静电力，在电源的外部只有静电场 . 在电源的内部，除了有静电场 之外，还有非静电 .电 源内部电荷受到的总力为两力之和。很自然， K r E r E r K r K E 6 电源的作用:一方面一方面，它通过阳极及外电路各处累积的电 荷在外电路中产生静电场 ，使电流经外电 路由正极指向负极；另一方面，在电源内部 除了有静电力之外,还存在非静电力,在二者 的联合作用下,电流经电源内部由负极流向正 极。上述两部分一起形成了闭合的稳恒电流 E r 介绍常见的几种电源 电源的类型:电源的类型很多，不同类型的电源中，形成 非静电力的过程不同。 (1) 化学电池 非静电力是与离子的溶解和沉积过程相联系的化学作 用.将化学反应释放的能量转换为电能，即通过化学反应 提供非静电力，使正、负电荷分离并在两极板上累积，形 成两极间的电势差 各类干电池和蓄电池 2 7 丹聂耳电池(Daniell cell)示意图 即：铜—锌电池 可提供约1.1V 电压放电时： Zn板上的正离 子Zn2+移入溶液,Zn 板出现多余的电子 带负电 硫酸铜溶液中 的正离子Cu移至铜 板，铜板带正电 伏打电池 的改进版 非静电力K只存在 于两极板有电势跃 变的极薄的电偶极 层中，该处K与E 的方向相反，且 EK vv > 8 演示实验：丹聂耳电池电压 V 约2.2V LED 9 手触蓄电池 原因：人手上带有汗液，而汗液是 一种电介质，里面含有一定量 的正负离子。铝板比铜板活 泼，铝板上汗液中的负离子发 生化学反应，而把外层电子留 在铝板上，使铝板集聚大量负 电荷，铜板上集聚大量正电荷。 当用导线把铜板和铝板连接起 来，铝板上的电子通过电流计 将向铜板移动，在导线中有电 流通过，故电流计指计偏转 现象：当用双手分别按住铝板和铜板时，电流计指针偏 转表明电路中产生了电流。 10 Q1：将两金属电极插入土豆(或西红柿、 柠檬等),与微安表联接。观察其实验现象? Q2：但日常生活中我们很少用“水果电池”，为什么？ 水果电池的内阻太大! Cu Zn 11 将光能转变成电能，比如太阳能电池，就是当太阳 光照到一对光敏感的金属表面，通过光电效应(在后续课 程中会详细介绍)，金属表面发射电子。这些电子被吸集 到另一邻近的金属表面，造成正、负电荷分离，产生电 动势。若接通外电路，便会产生电流 (2) 光电池 主要有：硅、硫化镉、碲化镉和砷化镓等 演示实验：光电效应 12 (3) 温差发电器 非静电力是与温度差(汤姆逊电动势)和电子的浓度差(佩 尔捷电动势或接触电动势)相联系的扩散作用。 如: 将两种不同导体组成闭合回路，当它们相接的两个 接点处于不同温度时，在回路中将产生电动势 《大学物理实验》中有选做实验：温差电效应与应用 3 13 (4) 核能电池 将核能直接转化为电能，核力即非静电力 (5) 交流发电机 非静电力是电磁感应作用，将机械能，比如水力、风 力等转换为电能 (6) 直流发电机 根据通电线圈在磁 场中受到力矩的原理制 成，非静电力为磁力矩 上述各种电源的详细讨 论请看书中的有关章节 14 3．电动势 从实际应用出发，描述电源的性质即它所提供的非静电力的 性质，更常用的不是物理量 ,而是电动势εKs 定义： ∫+− ⋅= )(电源内 ldK rrε 物理意义：单位正电荷从负极通过电源内部移到正 极时，非静电力所作的功 电动势是标量，其单位与 电位单位相同，也是伏特 一个电源的电动势电源的电动势具有一定的数值，它与外电路的性质以及 是否接通都没有关系，反映了电源中非静电力作功的本领反映了电源中非静电力作功的本领，是表 征电源本身的特征量 有些电源无法区别电源的内部和外部，在整个闭合 回路上都有非静电力(比如温差电动势和感生电动势),这 时整个闭合回路的电动势为： ∫ ⋅= 导体回路ldK rrε 15 ∫ ⋅= 导体回路ldK rrε 比 更普遍，或者说后者是 前者的一个特殊情形(在电源外部 ) ∫+− ⋅= )(电源内 ldK rrε 0=Kr 二．路端电压 全电路欧姆定律 把电源接到电路里，一般来说，就会有电流I通过 (特殊情况，比如平衡的补偿电路).通过电源的电流方向有 两种可能：从负极到正极；或从正极到负极 (1) 电源放电 负载电阻R接到电源的两极上构 成闭合回路，外部电流是从正极经电 阻到负极，内部电流内部电流却是从负极流到 正极 16 (2) 电源充电 一个电动势ε’较大的电源与电 动势ε较小的电源连接在一起，正 极接正极，负极接负极，则通过 小ε的电源内部的电流是从正极到 负极的。这就是ε’对ε充电 在复杂电路中，某个电源究竟是充电还是放电，不能一眼 看出，而需求解（后面会详细介绍主要的求解方法） 17 1．路端电压（电源两端的电压） 定义： ∫−+−+ ⋅=−= ldEuuu rr 路端电压是静电场力把单位正电荷从正极移到负极 所作的功。这里路径是任意的，可以从电源外部，也可 以从电源内部 下面选择积分路径通过电源内部 利用普遍的欧姆定律: ( )KEJ rrr += σ JE K σ⇒ = − + rr r ( ) Ir S dlI JSIJdlldK ldJldKu m rr rrrr ε θρε θρ σ = ±±−= =−⋅= ⋅+⋅−= ∫ ∫∫ ∫∫ + − + − + − − + − + ）取决于（）（ ），利用（上下同乘 电源内 电源内电源内 电源内电源内 cos1 1 S cos 1 )( )()( )()( 电源的电动势ε 电源的内阻r 18 ε=u 即外电路断开或 电位得到补偿时, 内阻电位降为零 Iru −= ε 电源放电 Iru += ε 电源充电 积分路径通过电源内部,路端电压： Iru mε= 4 19 2．全电路欧姆定律 以前面讲的放电过程的简单电路为例，再从电源外部积分讨论 ∫∫ −+−+ ⋅+⋅−= )(( 1 电源外电源外 ldJldKu rrrr σ 0 , =Kr电源外一般情况下 IRldJ =⋅= ∫−+ )( 1 电源外 rr σ 电源的路端电压u同时也是外电阻R两端的电压 即： rR IIrIR +=⇒−= εε 全电路的 欧姆定律 讨论 (1)外电阻越小，则I越大，由 可以看出，I越 大，内阻电位降越大，路端电压就越小。当外电路短 路时， ; Iru −= ε r IuR ε=→→ ,0 ,0 20 一般电源的内阻很小，因此短路时电流I很大，而且电源提供 的全部功率消耗在内阻上，产生大量的热，可能把电源烧毁。所以 实际中应切实注意防止电源短路。电池短路万万不可！ (2)当外电路的R很大时，I很小，内阻电位降也小，断路 时 。 ,这时 u严格等于ε，这样的 电源叫做理想电源 ε≈u 0 , →∞→ IR 则 3．电源向负载提供的输出功率 代入了全电路欧姆定律出 2 2 R rR RIuIP ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=== ε 可见：R很大或R很小时， 都不大，只有当R的阻值选择得当， 才能使输出功率达到最大值出 P ( ) 0 32 2 =+ −= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += Rr RrR rRdR d dR dP εε出 R P rR 4 2 max ε=⇒ =出 负载电阻与电 源的匹配条件 21 必须指出：匹配的概念，只是在电子线路（比如多级晶体管放 大电路）中使用，因为在那里电源的内阻一般是比较 高的，且输出讯号的功率本来就很弱，所以才需要使 负载与电源匹配，以提高输出功率。通常在低电阻大通常在低电阻大 功率的电路中不但不需要考虑匹配，而且这样做会导功率的电路中不但不需要考虑匹配，而且这样做会导 致电流太大，容易引起事故，这是很危险的致电流太大，容易引起事故，这是很危险的 三．稳恒电路的特点 稳恒电路的出发点是稳恒条件： 0=⋅∇ Jr 欧姆定律： EJ rr σ= 0)( =⋅∇⇒ E rσ 如果导体是均匀的，则： const=σ 0 =⋅∇⇒ Erσ 0ε ρeE =⋅∇ r高斯定理： ) 0 (0 0 0 0 ≠=⇒==⋅∇ ερε ρ e eE r 22 稳恒电路 结论： (3)电源内部，正电荷由负极流向正极(放电时)，原因是存 在非静电力 (1)均匀导体内部的宏观电荷密度等于零，即没有净电荷 出现，净电荷只能分布在导体表面以及导体内不均匀 的地方，且 ， 无源头0=⋅∇ Jr Jr 如：丹聂耳电池的电偶极层中 (2)外电路中，由于 ，所以电流线和电力线方向一 致，且必须平行于导体表面，否则会造成导体表面上 的电荷不断积累，从而破坏电源的稳恒性 EJ rr σ= 如：高压输电线表面要很光滑均匀，否则会形 成电荷积累，放电造成能量损耗 23 §4. 基尔霍夫定律(Kirchoff's rule) 一．一段含源电路的欧姆定律 在电路的计算中，经常遇到整个电路中一段含源电路的端 电压的计算，用电位增量法来处理这类问题比较简便 ∑ ∑+= i i iiAB IRU ε 含源电路的欧姆定律 A B R1 R2ε1 ε2 :A、B两点间的电位差ABU :电位增量∑∑ i i i i IR和ε 24 解决此类问题的一般步骤： (1)规定电流和电路的绕行方向，可以任意选取，确定 的正负号和∑∑ i i i i IRε A B R1 R2ε1 ε2 电路绕行方向 电流方向 2211 εε −−−= IRIRU AB (2)解出方程 后，当I >0时，说明规定的 电流方向就是电流的真实方向。若I <0，说明实际的电 流方向与假设的电流方向正好相反 ∑ ∑+= i i iiAB IRU ε 强调：这种规定不是唯一的，但无论如何一定要自洽 5 25 二．简单电路 简单电路包括串联、并联电路，以及平衡的桥路和 补偿电路，解此类电路时，无需复杂的数学计算 1．串联电路 串联时等效电阻等于各电阻之和 ∑ = = n i iRR 1 串联电路中功率的分配与电阻成正比 iii RIIuP 2== 基本特点： IRRRRIuuuu nn =⋅⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅++= )( 2121 通过各电阻元件的电流强度I相等 26 2．并联电路 等效电阻的倒数等于各个电阻的倒数之和 n R uI RRRR 1111 21 ⋅⋅⋅⋅++=⎯⎯ →⎯ = 并联电路中，功率的分配与电阻成反比 iii RuuIP / 2== n n R uI R uI R uI =⋅⋅⋅⋅== ,, 2 2 1 1 nIIII ⋅⋅⋅++= 21 基本特点:各电阻两端电压u相等，通过并联电路的总电 流强度等于通过各支路电流强度之和 27 实际问题遇到的电路往往比单纯的电阻串、并联或单回路复 杂得多。一个复杂电路是由多个电源和多个电阻的复杂连接 三．基尔霍夫定律 解决复杂电路的计算的基本 1. 复杂电路 原则上利用基尔霍夫定律可以计算任何复杂电路中 每一支路中的电流，但计算比较复杂。在实际问题中，也可以 利用由基尔霍夫定律导出的一些其它基本定理，比如等效电源定 理，叠加定理、Y-Δ等效代换定理等，这些定理抓住了电路中的 某些特点，物理图像鲜明，从而可以简化计算 这里主要讨论基尔霍夫定律，至于其它定理可自学《电路 理论》，或在后续课程中学习 28 2. 支路、节点和回路 支路:复杂的电路网络总是可以看成是由一条条支路连 接而成的。一条支路指的是中间不分岔的，由电 源、电阻串联成的电流通路。 一条支路上的电流处处相等 节点：支路相接处成为节点。节点的特点是三条或三条以 上支路的会合点 如图所示电路究竟 有多少个独立节点 和独立闭合回路？ 支路有三条：ABC、AEDC、AC，因而要求的电流有三股:I1,I2,I3, A点和C点为节点 29 A点和C点为节点 但独立节点只有1个，因为 节点C提供的方程本质上和 节点A的方程相同 支路有三条：ABC、AEDC、AC 而独立的回路有两个，即：ABCA和AEDCA 有人可能要问，ABCDEA即外框不 也是一个闭合回路吗？为什么说 只有两个独立闭合回路呢？ 注意：当选择前两个回 路后，第三个回路的电 势增量方程就可由前两 个回路方程相加得到， 故第三个回路不独立 小结：支路数=独立节点数+独立闭合回路数 上图有三条支路，求I1、I2、I3三个未知数，有三个方程，原 则上可解出. 对任何网络，上述关系都是成立的 30 3. 基尔霍夫第一定律（节点定律） 基础是稳恒电流的条件：∫∫ =⋅S SdJ 0rr 本质上反映了电荷守恒 0i i I =∑ :任一节点处，流向节点的电流之和等于流 出节点的电流之和 即节点处不会出现电荷随时间的堆积，单位时 间内流入节点的电量与流出节点电量相等 设流入的电流为正，流出的电流为负。对于n个节 点，可以写出n-1个独立方程，这些方程联合起来称作基 尔霍夫第一方程组 6 31 4. 基尔霍夫第二定律（回路定律） 本质反映了能量守恒 基础是静电场的环路定理：∫ =⋅L ldE 0rr 0∑∑ ∑ =++ i ii i i iii rIRIε 对任一闭合回路，其电势增量的代数和为零： εi为支路电源电动势，ri为电源内阻，Ri为支路电阻，Ii为支路电流 对于n个节点，p条支路的复杂电路，则有p个未知的 电流，我们可以列出n-1个独立的电流方程，再列出p- n+1个独立的回路方程，这样就得到p个方程，显然可以 求解出p个未知电流 32 例二．求解出各支路的电流 已知：ε1 = 3.0 V， r1 = 0.5 Ω, ε2 = 1.0 V, r2 = 1.0 Ω, R1 = 10.0 Ω, R2 = 5.0 Ω, R3 = 4.5 Ω, R4 = 19.0 Ω 设I1、I2、I3的方向如图所示 (1)213 I I I +=A点 1．节点方程： 2．回路方程: ABCA回路： AEDCA回路： (2) 0)( 132422 =+−+ RIRrI ε 3) ( 0)( 1312311 =+−++ RIRRrI ε 160 1 mAI =⇒ 20 2 mAI −= mAI 1403 = 33 讨论: 160 1 mAI =⇒ 20 2 mAI −= mAI 1403 = I2 < 0：说明实际电流方向与假设 之方向相反。如果一开始就 假设在A点的I2的方向冲 上，则必然解出I2> 0 由此例题可以看出，对于类似电路，只需利用基尔霍夫第 一定律和第二定律列出方程，然后就可求解 34 §5. 稳恒电流和静电场的综合求解 (1)在电路问题中，只是去计算各支路的电流强度和 节点电位。这只是反映了稳恒电流和电场的整体特性 前面的讨论，处理了两类问题： (2)纯静电场问题（即静电平衡条件下的静电场问题）， 这时，在导体内 ，导体为等势体，这属 于分析导体外的静电场分布 00 == EJ rr 和 在实际问题中，常常会遇到导体介质问题(类似处理某 种导体比如大地，其 时，把其称作导体介质)，这时已 知 ，这就是所谓稳恒电流和静电场的综合问题。 这时要求同时确定导体内的电流分布和电场分布 ∞≠rεσε 和r 35 如当导体内通有稳恒电流时，导体内的电流和电 场都不为零。这是因为由 可知，稳恒电流总会伴随 静电场的出现 EJ rr σ= 处理此类问题的基本方程为： ）（介质方程 或在介质中用 或 5 )4( (3) 0 (2) (1) 0 0 0 00 0 ED DqSdD q SdE ldE EJ JSdJ r S i ei S i i L S rr rrr rr rr rr rrr εε ρ ε σ = =⋅∇=⋅ =⋅ =⋅ = =⋅∇=⋅ ∫∫ ∑ ∫∫ ∑ ∫ ∫∫ 36 例三． 如图所示，一平行板电容器极板间距为d，填充两 层导电介质，第一层介质厚度为d1，介电系数为εr1，电导 率为σ1；第二层介质的相应参量为d2, εr2和σ2，d=d1+d2。 设电容器两端电压为u。(1)忽略边缘效应，求介质1和介 质2中的电流密度和电场强度;(2)求介质分界面上的总电荷 面密度;(3)求介质界面上的自由电荷面密度。 解此类题时，首先要 想到电流，不要急于去 求电场。原因是极板上 和分界面上的面电荷密 度及自由电荷密度未知 7 37 1．根据对称性:电流密度垂直极 板向下由电荷守恒定律：在介质 εr1中有电流J1，在介质εr2中有电 流J2，且J=J1=J2 2．利用欧姆定律，在介质1和介质2中的电场强度和电流 密度同向，大小分别为： 22 2 2 11 1 1 σσσσ JJEJJE ==== 和 3．利用环路定理： 02211 =++− dEdEu 1221 21 dd uJ σσ σσ += 1221 2 1 1 dd uJE σσ σ σ +== 1221 1 2 2 dd uJE σσ σ σ +== 38 4．利用介质方程 20221011 EDED rr εεεε == 和 两介质分界面上的总电荷面密度： 1221 210 120 dσdσ σu-EEεe + −== ）（）（ σεσ 两介质分界面上的自由电荷面密度： 1221 21120 11220120 dσdσ σuE-EεDD rrrre + −==−= ）（）（ σεεεεεσ 正是因为有了σe0，才有电流流通 可见：J，E1，E2和σe只与介质的电导率有关，而σe0不仅 与电导率有关，还与介电系数εr有关 39 注意：如果此题误当纯静电场问题处理，并毫无根据地 判定 的法向分量在介质界面上连续,即 , 则会导致错误结果。关键是有电流通过导体介质 D r nn DD 21 = (1)载流导电介质中的稳恒电流和静电场的分布规律取决 于导电介质的导电性质，即与导电介质的电导率有关, 与导电介质的极化性质即导电介质的介电系数无关; (2)由静电场 和边值关系可确定载流导电介质的总电荷 分布，这一分布也只取决于导电介质的导电性质，而 与导电介质的极化性质无关; E r (3)导电介质中的自由电荷和极化电荷在总电荷中所占的 份额 与导电介质的极化性质有关，即 与导电介质的介电系数有关; ( )'0 eee σσσ += 由此例可推广到一般结论: P(109) 40 41 42