A1 试题 第 1 页 (共 20 页)
2011 年秋季中国精算师资格考试-A1 数学
(以下 1-50 题为单项选择题,每题 2 分,共 100 分。每题选对的给分,选错或
不选的不给分。)
1. 已知 ( ) 0.7P A B , ( ) 0.4P B ,则 ( )P AB 等于( )。
(A) 0.1
(B) 0.2
(C) 0.3
(D) 0.4
(E) 0.5
2. 设 100件产品中有 10件次品,若从中任取 5件进行检验,则所取的 5件产
品中至多有 1件次品的概率为( )。
(A) 0.553
(B) 0.653
(C) 0.753
(D) 0.887
(E) 0.923
3. 两人相约 7 点到 8点在某地会面,先到者等候另一个人 10分钟,过时就离
去。假设两人到达的时间服从均匀分布且相互独立,则两人能会面的概率
为( )。
(A) 0.112
(B) 0.306
(C) 0.533
(D) 0.678
(E) 0.894
A1 试题 第 2 页 (共 20 页)
4. 设某建筑物按设计要求使用寿命超过 50年的概率为 0.8,超过 60年的概率
为 0.7,若该建筑物已使用了 50 年,则它在 10年内坍塌的概率为( )。
(A) 1/8
(B) 1/7
(C) 1/6
(D) 1/5
(E) 1/4
5. 已知甲、乙袋中都有 2 个白球和 3 个红球,现从甲袋中任取 2 个球放入乙
袋中,然后再从乙袋中任取 2 个球,则最后取出的这 2 个球都是红球的概
率为( )。
(A) 0.11
(B) 0.33
(C) 0.54
(D) 0.67
(E) 0.88
6. 设一选手的射击命中率为 0.2,若他对同一目标独立地进行四次射击,则至
少有一次命中的概率为( )。
(A) 0.25
(B) 0.36
(C) 0.59
(D) 0.76
(E) 0.88
A1 试题 第 3 页 (共 20 页)
7. 设连续型随机变量 X 的概率密度函数和概率分布函数分别为 ( )f x , ( )F x ,
则下列表达式正确的是( )。
(A) 0 ( ) 1f x
(B) ( ) ( )P X x F x
(C) ( ) ( )P X x f x
(D) ( ) ( )P X x F x
(E)
0
1
( )
2
f x dx
8. 设连续型随机变量 X 的概率分布函数为
2
2 , 0( )
0,
x
A Be xF x
其他
,
则 ( ln 4 ln9)P X 等于( )。
(A) 1/6
(B) 1/5
(C) 1/4
(D) 1/3
(E) 1/2
9. 设随机变量 X 的分布函数为 ( )F x ,则 3 1Y X 的分布函数 ( )G y 为( )。
(A) (3 1)F y
(B) 3 ( ) 1F y
(C)
1 1
( )
3 3
F y
(D)
1 1
( )
3 3
F y
(E)
1 1 1
( )
3 3 3
F y
A1 试题 第 4 页 (共 20 页)
10. 设两个随机变量 X 和Y相互独立, X 服从均值为 2的指数分布,Y服从均
值为 4的指数分布,则 X 大于Y的概率为( )。
(A) 1/4
(B) 1/3
(C) 1/2
(D) 2/3
(E) 3/4
11. 设二维随机变量 ( , )X Y 的概率密度为
3 , 0 1,0
( , )
0,
x x y x
f x y
其他
,则
1 1
|
8 4
P Y X
等于( )。
(A) 1/5
(B) 1/4
(C) 1/3
(D) 1/2
(E) 1
12. 已知二维随机变量 ( , )X Y 的相关系数为 0.6,且 ( ) 1E X , ( ) 2E Y ,
( ) 1Var X , ( ) 4Var Y 。令 2(2 1)Z X Y ,则 ( )E Z 等于( )。
(A) 1.2
(B) 2.2
(C) 3.2
(D) 4.2
(E) 5.2
A1 试题 第 5 页 (共 20 页)
13. 设随机变量 X 的概率密度函数为
22 , 0
( )
0,
xe x
f x
其他
,令Y表示对 X 的 n
次独立重复观察中事件
1
{ }
2
X 出现的次数,则 ( )Var Y 等于( )。
(A) 1ne
(B) 2ne
(C) 1(1 )n e
(D) 1(1 2 )n e
(E) 1 1(1 )ne e
14. 设随机变量 X 服从均值为 2 的泊松分布,则由切比雪夫不等式可知
{| 2 | 4}P X 的值不大于( )。
(A) 1/8
(B) 1/7
(C) 1/6
(D) 1/5
(E) 1/4
15. 某种电器的售后服务规定,若产品在一年内损坏,顾客可以免费调换一次。
已知每出售一台该产品,公司可获净利 200 元,每调换一台该产品,公司
花费成本 300 元。假设该产品的使用寿命服从均值为 4 的指数分布。如果
要使得盈利的期望达到 10万元,则至少需要出售的产品数为( )。
(A) 549
(B) 649
(C) 749
(D) 849
(E) 949
A1 试题 第 6 页 (共 20 页)
16. 设随机变量 1 2, , , nX X X 独立同分布,且方差
2 0 ,令
1
1 n
i
i
Y X
n
,则下
列等式成立的是( )。
(A) 2
1( )Var X Y
(B) 2
1
1
( )
n
Var X Y
n
(C) 21
2
( )
n
Var X Y
n
(D)
2
1( , )Cov X Y
n
(E) 21( , )Cov X Y
17. 假设随机变量 X 以概率 0.2服从均值为 5的泊松分布,以概率 0.8服从均值
为 1的泊松分布,则 ( )Var X 等于( )。
(A) 1.36
(B) 2.36
(C) 3.36
(D) 4.36
(E) 5.36
A1 试题 第 7 页 (共 20 页)
18. 设
1 2, , , nX X X 相互独立,均服从指数分布,其概率密度函数为
( ) , 0xf x e x
( ) 为
正态分布的分布函数,则下列表达式正确的是( )。
(A) 1lim ( )
n
i
i
n
X n
P x x
n
(B) 1lim ( )
n
i
i
n
X n
P x x
n
(C) 1lim ( )
n
i
i
n
X n
P x x
n
(D) 1lim ( )
n
i
i
n
X n
P x x
n
(E) 1lim ( )
n
i
i
n
X n
P x x
n
A1 试题 第 8 页 (共 20 页)
19. 设大学的一家快餐店记录了过去 5 年在每天的营业额,每天营业额的均值
为 2500元,标准差为 400元。由于在某些节日的营业额偏高,所以每日营
业额的分布是右偏的。假设从这 5 年中随机抽取 100 天,并计算这 100 天
的平均营业额,则样本均值的抽样分布是( )。
(A) 正态分布,均值为 250元,标准差为 400元
(B) 正态分布,均值为 2500元,标准差为 40元
(C) 正态分布,均值为 2500元,标准差为 400元
(D) 右偏,均值为 2500元,标准差为 400元
(E) 右偏,均值为 2500元,标准差为 40元
20. 设总体 X 服从正态分布 ( ,4)N , 1 2, , , nX X X 是来自该总体的简单随机样
本, nX 为样本均值,如果要使 ( ) 0.1nE X ,则 n至少应当满足( )。
(A) n>4
(B) n>14
(C) n>41
(D) n >165
(E) n >255
21. 设总体 X 服从正态下分布 2( , )N , 1 2, , , nX X X 是来自该总体的简单随机
样本,令
1
1 n
i
i
X X
n
, 2 2
1
1
( )
n
n i
i
S X X
n
,则 1
1
n
n
X X n
Y
S n
服从的
分布是( )。
(A) 2( 1)n
(B) ( , 1)F n n
(C) ( 1)t n
(D) ( )t n
(E) 以上选项都不正确
A1 试题 第 9 页 (共 20 页)
22. 设总体 X 服从正态分布 2( , )N , 1 2, , , nX X X 是来自该总体的简单随机样
本,令
1
1 k
k i
i
X X
k
(1 k n ),则 5 4X X 的概率分布为( )。
(A)
2
(0, )
20
N
(B)
2
(0, )
21
N
(C)
2
(0, )
22
N
(D)
2
(0, )
23
N
(E)
2
(1, )
23
N
23. 设总体 X 服从正态分布 2( , )N , 1 2, , , nX X X 和 1 2, , , mY Y Y 是分别来自该
总体的简单随机样本,令 2 2 2
1 1
[ ( ) ( ) ]
n m
i i
i i
S C X X Y Y
,若 2S 为 2 的无
偏估计量,则C取值为( )。
(A)
1
2n m
(B)
1
1n m
(C)
1
m n
(D)
1
1n m
(E)
1
2n m
A1 试题 第 10 页 (共 20 页)
24. 设总体 X 服从正态分布 2( , )N ,和 2 为未知参数,若 2 的矩估计量为
2
1ˆ ,极大似然估计量为
2
2ˆ ,则下列选项中正确的是( )。
(A) 2 2
1 2
ˆ ˆ
(B) 2 2
1 2
ˆ ˆ
(C) 2 2
1 2
ˆ ˆ
(D) 2
1ˆ 和
2
2ˆ 的大小关系与具体抽取的样本有关
(E) 以上答案都不正确
25. 设总体X服从正态分布 2( ,10 )N ,若使的置信度为 0.95的置信区间长度为
5,则样本容量 n至少应该为( )。
(A) 5
(B) 44
(C) 62
(D) 103
(E) 110
26. 设总体 X 服从正态分布 ( ,9)N , 1 2 25, , ,X X X 是来自该总体的简单随机样
本,对检验问题 0 0:H , 1 0:H ,取如下拒绝域: 0{ }x c ,若
取置信水平等于 0.95,则 c的取值为( )。
(A) 1
(B) 1.176
(C) 1.45
(D) 1.77
(E) 1.96
A1 试题 第 11 页 (共 20 页)
27. 设税务管理官员认为,大多数企业都有偷税漏税行为。在对由 800 个企业
构成的随机样本的检查中,发现有 144 个企业有偷税漏税行为。根据 99%
的置信水平估计偷税漏税企业比例的置信区间为( )。
(A) 0.18 0.015
(B) 0.18 0.025
(C) 0.18 0.035
(D) 0.18 0.045
(E) 0.18 0.055
28. 在下面的各种推断中,使用 2 分布的是( )。
(A) 推断总体相关系数
(B) 推断两个总体的方差比
(C) 推断两个总体的比例差
(D) 推断一个总体的方差
(E) 推断一个总体的比例
29. 设从两个总体中分别抽取 71 n 和 62 n 的两个独立随机样本。经计算得到
下面的方差分析
差异来源 SS df MS F P-value
组间 7.50 1 7.5 A 0.10
组内 26.19 11 B
总计 33.69 12
则表中“A”单元格内的结果是( )。
(A) 3.15
(B) 3.58
(C) 4.20
(D) 4.61
(E) 5.38
A1 试题 第 12 页 (共 20 页)
30. 下面选项正确的是( )。
(A) 在方差分析中,一般都假定各总体的方差等于 0
(B) 在方差分析中,用于检验的统计量 F等于组间平方和÷组内平方和
(C) 在方差分析中,组间误差既包括随机误差也包括系统误差
(D) 在假设检验中,不拒绝原假设意味着原假设肯定是正确的
(E) 在假设检验中,第二类错误是指当原假设正确时拒绝原假设
31. 设对 n组数据建立了线性回归模型 0 1i i iy x ,下述选项中正确的是
( )。
I. 最小二乘估计量 0ˆ 和 1ˆ 是 iy 的线性组合。
II. 点 ( , )x y 肯定落在回归直线上 。
III.
1
2
1
ˆ( )
( )
n
i
i
Var
x x
。
(A) 仅仅是 I和 II
(B) 仅仅是 I和 III
(C) 仅仅是 II和 III
(D) I,II和 III
(E) 前面四个选项都不对
A1 试题 第 13 页 (共 20 页)
32. 经过试验得到一组重量 X 对弹簧长度 Y的观测数据为:
重量 X 5 10 15 20 25 30
长度 Y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
计算可得
6
1
1
17.5,
6
i
i
x x
6
2
1
( ) 437.5,i
i
x x
6
1
1
9.4867,
6
i
i
y y
6
2
1
( ) 14.678,i
i
y y
6
1
1076.2i i
i
x y
,
若用最小二乘法做线性回归,则回归方程的样本相关系数为( )。
(A) 0.1885
(B) 0.5625
(C) 0.6876
(D) 0.8955
(E) 0.9996
33. 已知时序模型 22 0.5 , ,t t tX t Z { }t 独立同分布服从 (0,1)N ,则
9 6 5 3( ) ( )E X X E X X 等于( )。
(A) 0
(B) -1
(C) -1/2
(D) 1
(E) 1/2
34. 下列说法不正确的是( )。
(A) AR p 模型偏相关函数 p步截尾
(B) MA q 模型自相关函数 q步截尾
(C) ,ARMA p q 模型偏相关函数 p步截尾
(D) AR p 的一阶偏自相关函数等于一阶自相关函数
(E) 任意有限阶 MA q 模型都是平稳的
A1 试题 第 14 页 (共 20 页)
35. 已知序列 1 210 0.4 0.3t t t tx x x ,{ }t 独立同分布服从 (0,1)N ,观察到
30Tx , 1 35Tx ,若对 2Tx 进行预测,其预测方差为( )。
(A) 0.4
(B) 0.46
(C) 1.16
(D) 32
(E) 32.5
36. 设随机过程 ( )Y t X t , 0t ,其中 X 为服从标准正态分布的随机变量,
则下列说法正确的是( )。
(A) ( )Y t 是泊松过程
(B) ( )Y t 是更新过程
(C) ( )Y t 是布朗运动
(D) ( )Y t 是独立平稳增量过程
(E) 以上说法都不正确
37. 设移民到某地定居的户数是一个泊松过程,平均每周有 2 户定居。设每户
的人口数是一个随机变量,一户有 4人的概率是 1/6,有 3人的概率是 1/3,
有 2 人的概率是 1/3,有 1 人的概率是 1/6,则在五周内到该地定居的移民
人数的方差为( )。
(A) 2.5
(B) 7.17
(C) 25
(D) 71.67
(E) 83.33
A1 试题 第 15 页 (共 20 页)
38. 设进入中国上空的流星的个数是一个泊松过程,平均每年为 10000 个,且
每个流星能以陨石落入地面的概率为 0.0001,则一个月内落于中国地面的
陨石数的期望为( )。
(A) 1/12
(B) 13/144
(C) 1/4
(D) 1/2
(E) 1
39. 设某种设备的寿命是服从均匀分布 (0,10)U 的随机变量,当设备损坏或用了
3 年时,就以旧换新。假设一台新设备价格为 10 万元,用了 3 年的旧设备
卖出的价格为 1 万元,一台损坏的设备没有任何价值。若每当购置一台新
设备时就说一个循环开始,则长时间后每年的平均费用为( )万元。
(A) 1.57
(B) 2.44
(C) 3.65
(D) 4.78
(E) 5.24
40. 设 ( )N t 是一个更新过程, nT 是第 n次更新发生的时刻,则下面事件的等价
关系成立的是( )。
(A) 1 2{ } { }T t T t
(B) 1{ ( ) 1} { }N t T t
(C) { ( ) } { }nN t n T t
(D) 1{ ( ) } { }nN t n T t
(E) { ( ) } { }nN t n T t
A1 试题 第 16 页 (共 20 页)
41. 设齐次马尔可夫链的状态空间为 1,2,3,4S ,其一步转移概率矩阵为
1/ 2 1/ 2 0 0
1 0 0 0
0 1/ 3 2 / 3 0
1/ 2 0 1/ 2 0
P
则下列说法不正确的是( )。
(A) 状态 1 是正常返状态
(B) 状态 2 与状态 3不是互通的
(C) 状态 3 与状态 4不是互通的
(D) 状态 4 是正常返状态
(E) 状态 2 的周期为 1
42. 设齐次马尔可夫链的状态空间为 1,2,3,4 5S , ,其一步转移概率矩阵为
0 1 0 0 0
1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 0
0 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0
0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3
0 0 0 1 0
P
则此马尔可夫链的极限分布为( )。
(A) 1/3 1/9 1/9 1/9 1/3, , , ,
(B) 1/5 2/10 2/10 2/10 1/5, , , ,
(C) 1/11 3/11 3/11 3/11 1/11, , , ,
(D) 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5, , , ,
(E) 1/2 0 0 0 1/2, , , ,
A1 试题 第 17 页 (共 20 页)
43. 设
0 0X , , 1,2,nX n 是独立同分布随机变量序列,且 1( ) 0E X ,
2
1( ) 1E X ,令 0 0Y ,则下列说法正确的是( )。
(A) 令 2
1
( )
n
n i
i
Y X
,则 , 0,1,nY n 是关于 , 0,1,nX n 的一个鞅
(B) 令 2
1
( )
n
n i
i
Y X n
,则 , 0,1,nY n 是关于 , 0,1,nX n 的一个鞅
(C) 令 2 2
1
( )
n
n i
i
Y X n
,则 , 0,1,nY n 是关于 , 0,1,nX n 的一个鞅
(D) 令 2
1nY X ,则 nY 是关于 nX 的一个鞅
(E) 令
n nY X ,则 nY 是关于 nX 的一个鞅
44. 设下列说法不正确的是( )。
(A) 泊松过程中第一个事件发生的时刻服从指数分布
(B) 泊松过程是一种特殊的更新过程
(C) 不可约有限状态马尔科夫链可能存在非常返态
(D) 布朗运动的增量服从正态分布
(E) 布朗运动是平稳增量过程
45. 设标准布朗运动为 ( ), 0B t t ,令 ( ) (1 ) ( )
1
t
X t t B
t
,0 1t ,则对任何
的0 1s t , ( ( ), ( ))Cov X t X s 等于( )。
(A)
s
t
(B)
(1 )
(1 )
t s
s t
(C)
(1 )(1 )
st
t s
(D) (1 )t s
(E) (1 )s t
A1 试题 第 18 页 (共 20 页)
46. 设标准布朗运动为 ( ), 0B t t ,令
2
0
( ) ( ( )) ( )
t
X t B s dB s , 0t ,则下列选
项正确的是( )。
(A) 3
1
( ) ( ( ))
3
X t B t
(B) 3
1
( ) ( ( ))
3 3
t
X t B t
(C) 3
0
1
( ) ( ( )) ( ) ( )
3
t
X t B t B s dB s
(D) 3
0
1
( ) ( ( )) ( )
3
t
X t B t B s ds
(E) 3
1
( ) ( ( )) ( )
3
X t B t B t
47. 设标准布朗运动为 ( ), 0B t t ,令
0
( ) ( )
t
X t B s ds , 0t ,则 ( )X t 的期望等
于( )。
(A) 0
(B) t
(C) t
(D)
2
2
t
(E)
2
2
t
t
A1 试题 第 19 页 (共 20 页)
48. 设标准布朗运动为 ( ), 0B t t ,令 ( )( ) t B tX t e , 0t ,则下列选项正确的
是( )。
(A)
3
( ) ( ) ( ) ( )
2
dX t X t dt X t dB t
(B) ( ) ( ) ( ) ( )dX t X t dt X t dB t
(C)
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
dX t X t dt X t dB t
(D)
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
dX t X t dt X t dB t
(E) ( ) ( )dX t X t dt
49. 设 标 准 布 朗 运 动 为 ( ) , 0B t t , 过 程 ( )X t 满 足 随 机 微 分 方 程
( ) ( ) ( )d X t X t d B t ,并且 ( ) 0X t , 0t 。令 2( ( )) ( ( ))f X t X t ,则下列选项
正确的是( )。
(A) ( ) 2 ( ) ( ) ( )df t f t dt f t dB t
(B) ( ) ( ) 2 ( ) ( )df t f t dt f t dB t
(C)
1
( ) ( )
( )
df t dt dB t
f t
(D)
1 1
( ) ( )
2 ( ) 2
df t dt dB t
f t
(E) ( ) 2 ( )df t dB t
A1 试题 第 20 页 (共 20 页)
50. 设下列说法不正确的是( )。
(A) 随机微分方程的解是一个随机过程
(B) 在[0, ]T 上的一次连续可微函数与布朗运动的二次变差不相等
(C) 布朗运动的样本轨道是连续的且任何点都是不可微的
(D) 布朗运动的样本轨道不是单调函数
(E) 若 0t s , ( )B t 与 ( )B s 相互独立
***A1试题结束***