向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 天津四中：刘晖 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1） EMBED Equation.3 是 的重心. 证法1：设 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 是 的重心. 证法2：如图 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 三点共线，且 分 为2：1 EMBED Equation.3 是 的重心 （2） EMBED Equation.3 为 的垂心. 证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足. 同理 ， 为 的垂心 （3）设 , , 是三角形的三条边长，O是 ABC的内心 为 的内心. 证明： 分别为 方向上的单位向量， 平分 , EMBED Equation.3 )，令 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （ ) 化简得 EMBED Equation.3 （4） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 为 的外心。 典型例： 例1： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则点 的轨迹一定通过 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示 ， 分别为边 的中点. EMBED Equation.3 // 点 的轨迹一定通过 的重心，即选 . 例2：（03全国理4） 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则点 的轨迹一定通过 的（ B ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析： 分别为 方向上的单位向量， EMBED Equation.3 平分 , 点 的轨迹一定通过 的内心，即选 . 例3： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则点 的轨迹一定通过 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足. = = = + =0 点 的轨迹一定通过 的垂心，即选 . 练习： 1．已知 三个顶点 及平面内一点 ，满足 ，若实数 满足： ，则 的值为（ ） A．2 B． C．3 D．6 2．若 的外接圆的圆心为O，半径为1， ，则 ( ) A． B．0 C．1 D． 3．点 在 内部且满足 ，则 面积与凹四边形 面积之比是（ ） A．0 B． C． D． 4． 的外接圆的圆心为O，若 ，则 是 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5． 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，若 ，则 是 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6． 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， ， 则实数m = 7．（06陕西）已知非零向量 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(AC,\s\up6(→))满足( eq \f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|) + eq \f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|) )· eq \o(BC,\s\up6(→))=0且 eq \f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|) · eq \f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|) = eq \f(1,2) , 则△ABC为( ) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 8．已知 三个顶点 ，若 ，则 为（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C _1300084093.unknown _1300087277.unknown _1300087607.unknown _1300088397.unknown _1300088599.unknown _1300088897.unknown _1300089015.unknown _1300089117.unknown _1300089254.unknown _1300089323.unknown _1300089237.unknown _1300089063.unknown _1300088906.unknown _1300088659.unknown _1300088696.unknown _1300088613.unknown _1300088483.unknown _1300088434.unknown _1300088451.unknown _1300088277.unknown _1300088331.unknown _1300088362.unknown _1300088307.unknown _1300088143.unknown _1300088218.unknown _1300088257.unknown _1300088174.unknown _1300088123.unknown _1300087371.unknown _1300087491.unknown _1300087521.unknown _1300087446.unknown _1300087312.unknown _1300087319.unknown _1300087302.unknown _1300086936.unknown _1300087177.unknown _1300087246.unknown _1300087258.unknown _1300087195.unknown _1300087112.unknown _1300087158.unknown _1300087009.unknown _1300086815.unknown _1300086921.unknown _1300086926.unknown _1300086915.unknown _1300086791.unknown _1300086795.unknown _1300086714.unknown _1300086736.unknown _1300084154.unknown _1258198112.unknown _1258198665.unknown _1258199582.unknown _1300083903.unknown _1300084022.unknown _1300084024.unknown _1300084025.unknown _1300084023.unknown _1300084020.unknown _1300084021.unknown _1300084018.unknown _1300084019.unknown _1300083927.unknown _1300084017.unknown _1300082653.unknown _1300082926.unknown _1300083439.unknown _1300083504.unknown _1300083573.unknown _1300083465.unknown _1300082786.unknown _1300082851.unknown _1300082870.unknown _1258199592.unknown _1258199498.unknown _1258199569.unknown _1258199452.unknown _1258198586.unknown _1258198639.unknown _1258198561.unknown _1258198266.unknown _1258197936.unknown _1258198009.unknown _1258198047.unknown _1258197976.unknown _1258197492.unknown _1258197759.unknown _1258197878.unknown _1258197738.unknown _1258197690.unknown _1258197132.unknown _1258197458.unknown _1258196974.unknown _1255497949.unknown _1258196960.unknown _1258196876.unknown _1258196903.unknown _1258196119.unknown _1255497944.unknown _1179729316.unknown _1255497942.unknown _1179729315.unknown