2010年高考数学_绝对值问题_深度解析

2010 年高考数学“绝对值问题”深度解析 绝对值是中学数学中的一个基本概念，“绝对值问 题”历来也是高考数学试题中经常涉及的问题． 其题目 类型十分丰富，涵盖面广，综合性强，并且经常出现一些 富有创意的新题． 尤其 2010 年“绝对值问题”不但题目 类型十分广泛，而且有多套试题不约而同地在解答题中 以“绝对值问题”为背景了新概念题，使命题的新颖 性与创新性进一步加强，这些命题新动向值得广大备考 师生深入思考． 本文以 2010 年全国和各省市的高考数 学试题为基本素材，对“绝对值问题”分类解析如下 . 1 绝对值与不等式、集合相结合 例 1 ( 新课标卷理科 1) 已知集合 A = { x | | x |≤2， x∈R}，B = { x |槡x≤4，x∈Z}，则 A∩B = A. ( 0，2) B.［0，2］ C. { 0，2} D. { 0，1，2} 解析 参考答案 D，该题可用直解法(利用绝对值的性 质或直接平方，同时注意 x∈Z) ;也可用排除法，由 x∈Z可 排除 A，B，又由 x =1满足题设条件可排除 C，选 D． 例 2 ( 2010 年天津理科 9) 设集合 A = { x | | x － a | ＜ 1，x∈R，B = { x | | x － b | ＞ 2，x∈R} ． 若 AB，则实数 a，b必满足 A. | a + b |≤3 B. | a + b |≥3 C. | a － b |≤3 D. | a － b |≥3 解析 由题意可得: A = { x | a － 1 ＜ x ＜ a + 1}，对集 合 B有 x ＜ b － 2 或 x ＞ b + 2，因为 AB，所以有 b － 2≥a + 1 或 b + 2≤a － 1，解得 a － b≥3 或 a － b≤ － 3，即 a － b ≥3，选 D． 例 3 ( 2010 年江西卷理科 2 ) 若集合 A = { x x ≤1，x∈R}，B = { y y = x2，x∈R}，则 A∩B = A． { x － 1≤x≤1} B． { x x≥0} C． { x 0≤x≤1} D． 解析 参考答案 C，注意集合中元素的特征． 注 绝对值与不等式、集合等相结合是高考数学试 题中常见而基本的一类题型，主要考查考生对于相关的 基本数学知识的理解与掌握情况． 2 绝对值与相结合 例4 ( 2010年全国卷Ⅰ理科 15)直线 y =1与曲线 y = x2 － |x | +a有四个交点，则 a的取值范围是 . 解析 1 在同一直角坐标系内画出直线与曲线，由 图 1 可知，a 的取值必须满足 a ＞ 1， 4a － 1 4 ＜ 1{ ，解得 1 ＜ a ＜ 5 4 ． 图 1 解析 2 易知 f ( x ) = x2 － x + a是偶函数，依题 意 y = 1 和 f ( x ) = x2 － x + a x≥( )0 有两个公共 点，联系图 1，应有4a － 14 ＜ 1 ＜ a，解得 1 ＜ a ＜ 54 ． 解析 3 易知 f( x) = x2 － x + a是偶函数，依题意 y = 1 和 f ( x ) = x2 － x + a x≥( )0 有两个公共点，即 x2 － x + a － 1 = 0 x≥( )0 有两个不等正实根， 所以 Δ = 1 － 4 a( )－ 1 ， a － 1 ＞ 0{ ， 解得 1 ＜ a ＜ 54 ． 注 由于对问题转化角度不同，因而产生了以上不 同解法，它们都从一定程度上揭示了例 4 的结构特征． 例 5 已知函数 f( x) = | lgx |，0 ＜ x≤10， － 12 x + 6，x ＞ 10{ ．若 a，b，c 互不相等，且 f( a) = f( b) = f( c) ，则 abc的取值范围是 A. ( 1，10) B. ( 5，6) C. ( 10，12) D. ( 20，24) 解析 参考答案 C，联系 f( x) 的图象，易知 f( x) 在( 0，1］ 上单调递减，在( 1，10］上单调递增，在( 10，+∞ )上单调递减， 且 f( 10) =1，f( )1 = f( 12) =0，由 f( a) = f( b) = f( c)可知 0 ＜ a ＜1 ＜ b ＜10 ＜ c ＜12，因此，由 f( a) = f( b)得 － lga = lgb，即 ab = 1，abc = c而 10 ＜ c ＜ 12 选 C． 注 ( 1)例 4是在二次函数等的基础上“复合”而成的， 例5是在对数函数、一次函数等的基础上“复合”而成的，绝对 值与各类函数相结合，加强了题目的综合性，也使题目具有一 定的创新性，可以有效考查考生综合运用相关数学知识与数 学的能力; ( 2) 数形结合是解决例4、例5的基本而简单的方法． 3 绝对值与简易逻辑相结合 例 6 ( 2010 年安徽卷理科 11) 命题“对任何 x∈R， | x － 2 | + | x － 4 | ＞ 3”的否定是 ． 解析 参考答案:“存在 x∈R，x －2 + x －4 ≤3” 注 绝对值与简易逻辑相结合也是高考数学试题 中十分常见的一类题型． 4 绝对值与数列相结合 例 7 ( 2010 年陕西卷理科 9) 对于数列{ an}，“an + 1 ＞∣ an∣( n = 1，2…) ”是“{ an}为递增数列”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 当 an + 1 ＞ an ( n = 1，2，…) 时， ∵ an ≥an，∴ an + 1 ＞ an，∴ { an}为递增数列． 当{ an}为递增数列时，若该数列为 － 2，0，1，则由 a2 ＞ a1 不成立， 即知: an + 1 ＞ an ( n = 1，2，…) 不一定成立． 故综上知，“an + 1 ＞ an ( n = 1，2，…) ”是“{ an }为递 增数列”的充分不必要条件．故选 B. 注 在解题中要否定一个命题时，只需举个反例即可． 5 绝对值与概率、分布列相结合 例 8 ( 2010 年湖南卷理科 11) 在区间［－ 1，2］上 随机取一个数 x，则 x ≤1 的概率为 ． 解析 参考答案 23 ，P( x ≤1) = 1 － ( － 1) 2 － ( － 1) = 2 3 . 例 9 ( 2010 年安徽卷理科 21) 品酒师需要定期接 受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下: 拿出 n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按 品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之 后，再让其品尝这 n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排 序，这称为一轮测试． 根据一轮测试中的两次排序的偏 离程度的高低为其评分． 现设 n = 4，分别以 a1，a2，a3，a4 表示第一次排序时 被排为 1，2，3，4 的四种酒在第二次排序时的序号，并令 X = |1 － a1 | + |2 － a2 | + |3 － a3 | + |4 － a4 | ．则 X 是对两 次排序的偏离程度的一种描述． ( Ⅰ) 写出 X的可能值集合; ( Ⅱ) 假设 a1，a2，a3，a4 等可能地为 1，2，3，4 的各种 排列，求 X的分布列; ( Ⅲ) 某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 X≤2. ( ⅰ) 试按 ( Ⅰ) 中的结果，计算出现这种现象的概 率( 假定各轮测试相互独立) ; ( ⅱ) 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何? 理由． 解析 ( Ⅰ) X的可能值集合为{ 0，2，4，6，8} ． 在 1，2，3，4 中奇数与偶数各有两个，所以 a1，a3 中 的奇数个数等于 a2，a4 中的偶数个数，因此 | 1 － a1 | + | 3 － a3 |，| 2 － a2 | + |4 － a4 |的奇偶性相同，从而 X = ( | 1 － a1 | + |3 － a3 | ) + ( | 2 － a2 | + |4 － a4 | ) 必为偶数． X的值非负，且易知其值不大于 8． 容易举出使得 X 的值等于 0，2，4，6，8 各值的排列 的例子． ( Ⅱ) 可用列表或树状图列出 1，2，3，4的一共 24种排 列，计算每种排列下的 X值，在等可能的假定下，得到 . X 0 2 4 6 8 P 124 3 24 7 24 9 24 4 24 p = 1 63 = 1216． ( ⅱ) 由于 p = 1216 ＜ 5 1000是一个很小的概率，这表明 如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有 X≤2 的结果的可 能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴 别功能，不是靠随机猜测． 注 ( 1) 可用列表或树状图列出 1，2，3，4 的一共 24 种排列，计算每种排列下的 X 值，这样即可同时完成对 三问的解答 . ( 2) 该题的关键是结合题目信息对“X = |1 － a1 | + | 2 － a2 | + |3 － a3 | + |4 － a4 |”的数学涵义的透彻理解． 图 2 6 绝对值与三角函数相结合 例 10 ( 2010 年重庆市理 科 6) 已知函数 y = sin( ωx + φ) ， ( ω ＞ 0，| φ | ＜ π2 ) 的部分图象如 题图 2 所示，则 A. ω = 1，φ = π6 B. ω = 1，φ = － π6 C. ω = 2，φ = π6 D. ω = 2，φ = － π6 解析 1 ∵ T = π，∴ ω = 2， 由五点作图法知 2 × π3 + φ = π 2 ，φ = － π 6 ．选 D. 解析 2 依题意 T = π，∴ ω = 2， 2 × π3 + φ = π 2 + 2kπ，∴ φ = － π 6 + 2kπ. 又由 |φ | ＜ π2 ，得 φ = － π 6 ．选 D. 7 解答题中的绝对值问题 2010 年全国和各省市高考数学试题中，以绝对值为 基本背景设计的解答题( 即综合题) 比较多，比如四川理 科第 22 题，等等． 并且有好几套试卷不约而同地以绝对 值为基本背景设计了创新性试题( 新概念题) ，比如北京 文( 理) 科第 20题( 压轴题) ;上海文( 理) 科第 22题，广东 理科第 21题( 压轴题) ，安徽理科第 21题，等等．这些都表 明了以绝对值为背景设计的解答题在向纵深、创新的方向 发展，这种命题新动向应该引起广大备考师生重视． 例 11 ( 2010 年高考北京文 20) 已知集合 Sn = { X | X = ( x1，x2，…，xn ) ，x1∈{ 0，1}，i = 1，2，…，n} ( n≥2 ) 对 于 A = ( a1，a2，…，an ) ，B = ( b1，b2，…，bn ) ∈Sn，定义 A与 B的差为 A － B = ( | a1 － b1 |，| a2 － b2 |，…，| an － bn | ) ; A 与 B之间的距离为 d( A，B) =∑ n i = 1 | ai － bi | . ( Ⅰ) 当 n = 5 时，设 A = ( 0，1，0，0，1 ) ，B = ( 1，1，1， 0，0) ，求 A － B，d( A，B) ; ( Ⅱ) 证明:A，B，C∈Sn，有 A － B∈Sn，且 d( A － C， B － C) = d( A，B) ; ( Ⅲ) 证明:A，B，C∈Sn，d ( A，B) ，d ( A，C) ，d ( B， C) 三个数中至少有一个是偶数 . 解 ( Ⅰ ) A － B = ( 0 － 1 ， 1 － 1 ， 0 － 1 ， 0 － 0 ，1 － 0 ) = ( 1，0，1，0，1) ， d( A，B ) = 0 －1 + 1 －1 + 0 －1 + 0 －0 + 1 －0 =3 ( Ⅱ) 设 A = ( a1，a2，…，an ) ，B = ( b1，b2，…，bn ) ，C = ( c1，c2，…，cn ) ∈Sn，因为 ai，bi∈{ 0，1}， 所以 ai － bi ∈{ 0，1} ( i = 1，2，…，n) 从而 A －B = ( a1 － b1 ，a2 － b2 ，… an － bn )∈Sn. 由题意知 ai，bi，ci∈{ 0，1} ( i = 1，2，…，n) ， 当 ci = 0 时， ai － ci － bi － ci = ai － bi ; 当 ci = 1 时， ai － ci － bi － ci = | ( 1 － ai ) － ( 1 － bi ) | = | ai － bi |， 所以 d( A － C，B － C) =∑ n i = 1 ai － bi = d( A，B) . ( Ⅲ) 设 A = ( a1，a2，…，an ) ，B = ( b1，b2，…，bn ) ，C = ( c1，c2，…，cn ) ∈ Sn，d ( A，B ) = k，d ( A，C ) = l， d( B，C) = h，记 0 = ( 0，0，…0) ∈Sn. 由( Ⅱ) 可知 d( A，B) = d( A － A，B － A) = d( 0，B － A) = k， d( A，C) = d( A － A，C － A) = d( 0，C － A) = l， d( B，C) = d( B － A，C － A) = h， 所以 bi － ai ( i = 1，2，…，n ) 中 1 的个数为 k， ci － ai ( i = 1，2，…，n) 中 1 的个数为 l. 设 t是使 bi －ai = ci －ai =1成立的 i的个数．则h = l + k －2t，由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，即 d( A， B) ，d( A，C) ，d( B，C)三个数中至少有一个是偶数． 注 ( 1) 例 11 是以绝对值的性质和 n 元有序数组 为背景设计而成的新概念题，可以有效考查考生数学阅 读与理解能力、即时学习能力，以及灵活运用相关数学 知识、数学方法的能力; ( 2) 命题者有意将该题设计为逐步深入的三问( 这在 综合性解答题中十分常见) ，既有利于分散难度，使不同数 学素养的学生在应考中都能有所得，也有利于增强问题的 区分度，使不同数学素养的学生在应考中有不同的收获， 同时也有利于问题本身向纵深发展，进一步增强问题的综 合性，使题目本身更为丰满． 例 12 ( 2010 年上海文 22 ) 若实数 x，y，m 满足 x － m ＜ y － m，则称 x比 y接近 m． ( Ⅰ) 若 x2 － 1 比 3 接近 0，求 x的取值范围; ( Ⅱ) 对任意两个不相等的正数 a，b，证明: a2b + ab2 比 a3 + b3 接近 2 槡ab ab; ( Ⅲ) 已知函数 f( x) 的定义域 D{ x | x≠kπ，k∈Z，x ∈R} ．任取 x∈D，f( x) 等于 1 + sinx 和 1 － sinx 中接近 0 的那个值．写出函数 f( x) 的解析式，并指出它的奇偶性、 最小正周期、最小值和单调性( 结论不要求证明) ． 解析 ( Ⅰ) 由题意可得 ( x2 － 1) － 0 ＜ 3 － 0 ， 即 x2 － 1 ＜ 3，解得 － 2 ＜ x ＜ 2. ( Ⅱ) 法 1 ∵ a≠b，且都是整数， ∴ ( a2b + ab2 ) － 2 槡ab ab = ( 槡a b － 槡b a) 2 = ( 槡a b － 槡b a) 2 . 而 ( a3 + b3 ) － 2 槡ab ab = ( a 3 2 － b 3 2 ) 2 = ( a 3 2 － b 3 2 ) 2，因此 ( a2b + ab2 ) － 2 槡ab ab － ( a 3 + b3 ) － 2 槡ab ab =［( a2b + ab2 ) － 2 槡ab ab］－［( a 3 + b3 ) － 2 槡ab ab］ = － ( a3 + b3 － a2b － ab2 ) = － ( a － b) 2 ( a + b) ＜ 0 即 ( a2b + ab2 ) － 2 槡ab ab ＜ ( a3 + b3 ) － 2 槡ab ab . 法 2 原命题等价于证明 ( a2b + ab2 ) － 2 槡ab ab ＜ ( a 3 + b3 ) － 2 槡ab ab . 因为 a≠b，所以( a2b + ab2 ) ＞ 2 槡ab ab. 同理( a3 + b3 ) ＞ 2 a3b槡 3 = 2 槡ab ab. 2010 年四川卷理 20 题的课本探源、简解与拓广 考题 ( 2010 年四川卷理科 20 题) 已知定点 A( － 1，0) ，F( 2，0) ，定直线 l: x = 12 ，不在 x 轴上的动点 P与点 F的距离是它到定直线 l 的距离的 2 倍． 设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B，C 两点，直线 AB， AC分别交 l于点 M，N． ( Ⅰ) 求 E的方程; ( Ⅱ) 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并 说明理由． 参考解答 ( Ⅰ) x2 － y 2 3 = 1( y≠0) ( 过程略) ; ( Ⅱ) ①当直线 BC 与 x 轴不垂直时，设 BC 的方程 为 y = k( x － 2) ( k≠0) 与双曲线 x2 － y 2 3 = 1 联立消去 y， 得( 3 － k2 ) x2 + 4k2x － ( 4k2 + 3) = 0， 由题意知 3 － k2≠0，且 Δ ＞ 0，设 B ( x1，y1 ) ，C ( x2， y2 ) ， 则有 x1 + x2 = 4k2 k2 － 3 ，x1x2 = 4k2 + 3 k2 － 3 ， 所以 y1y2 = k 2 ( x1 － 2 ) ( x2 － 2 ) = k 2［x1x2 － 2 ( x1 + x2 ) + 4］= k 2 4k2 + 3 k2 － 3 － 8k 2 k2 － 3( )+ 4 = － 9k2k2 － 3 櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧 ， 于是待证不等式直接去掉绝对值符号即可，变形为 ( a2b + ab2 ) － 2 槡ab ab ＜ ( a 3 + b3 ) － 2 槡ab ab， 于是 ( a3 + b3 ) － ( a2b + ab2 ) ＞ 0 ( a + b ) ( a － b) 2 ＞ 0. 因为 a≠b，且都是整数，所以该式显然成立． ( Ⅲ) 根据定义知道 sinx≠0，那么 sinx ＞0时，f( x) =1 －sinx，sinx ＜0时，f( x) =1 +sinx， 于是函数在 x∈( 2kπ，π +2kπ) ( k∈Z)时，sinx ＞0时， f( x) = 1 － sinx; x∈( － 2kπ，( 2k + 1) π) 1 + sinx，x∈( ( 2k + 1) π，( 2k + 2) π{ ) = 1 － | sinx |，x≠kπ. f( x ) 为偶函数，最小正周期为 π，最小值为 0，在 ( kπ，( k + 12 ) π) ，k∈Z 上单调递减，在( ( k + 1 2 ) π，( k + 1) π) ，k∈Z上单调递增． 点评 ( 1) 例 12 以一个十分简洁的“新概念”为依 托，考查的数学内容( 数学方法) 十分丰富，有解不等式、 证明不等式，而通过与三角函数的适当组合、嫁接，又全 面地考查了三角函数的相关性质; ( 2) 例 11 的三问是递进关系，尤其第( Ⅲ) 问的解答 要反复用到第( Ⅱ) 的结论，而例 12 的三问是并列关系， 三问之间的解答并不受相互影响，但例 12 的三问有一 个共同的中心，它们都是紧紧围绕“新概念”而生成． ( “新概念”即“若实数 x，y，m满足 x － m ＜ y － m，则称 x比 y接近 m”) ; ( 3) 例 11、例 12 都深刻体现了低起点、分层次、全方 位、多角度，能力立意，注重创新的命题思想; ( 4) 我们可以认为例 12 第Ⅱ问是以下面不等式链 为基础设计而成的:设 a ＞ 0，b ＞ 0，且 a≠b，则有 a3 + b3 ＞ a2b + ab2 ＞ 2 槡ab ab( 该不等式链更一般的情形本文从 略) ． 本文表明 2010 年全国及各省市的数学高考试 题中的“绝对值问题”背景丰富、题型多样，考查深入，完 全涵盖了高考三大传统题型，尤其在综合性试题( 即解 答题) 中加强了“绝对值问题”和其它数学知识的有机整 合，同时试题的创新性也得到了较大幅度的提升 ( 主要 表现为新概念题等) ，比如本文例 9、例 11、例 12 等，并有 数份试卷不约而同地出现了以“绝对值问题”作为整张 试卷“压轴题”的现象，比如北京文( 理) 科第 20 题，广东 理科第 21 题，等等，这些命题新动向值得广大备考师生 深入思考． 参考文献 1 罗增儒．中学数学解题的理论与实践 [ ]M ． 广西教育出版 社，2008，9( 第 1 版) 2 罗增儒．数学解题学引论[ ]M ．陕西师范大学出版社，1997，1 3 马文杰，罗增儒，徐宇红． 2009 高考绝对值问题“深度解 析”．中学数学[ ]J ，2009，11 4 罗增儒，马文杰．数学题中“隐含条件”的解题功能研究．中 学数学研究( 华南) [ ]J ，2010，6