以_形_助_数_求最值

第2期(总第35期) 2003年4月 山西广播电视大学学报 JournalofShanxiRadio&TVUniversity NO．2 Apr．2003 摘要：分析具体数例，剖析几种用几何构图的思想创设问题环境，达到利用几何量的变化范围求函 数最值方法的目的。 关键词。函数最值；数形结合；数学 中围分类号：G420文献标识码：B文章编号：1008--8350(2003)02一0101一02 函数的最大值或最小值，与函数的值域紧密地联系在一 起，是函数的基本问题之一，求函数的最值是研究函数的重 要组成部分。 求函数最值的方法较多，如直接法、单调性法、换元法、 数形结合法等等。其中应用数形结合的思想方法，通过对函 数解析式的剖析，构造适当的几何图形，创设相关的几何问 题环境，利用某些几何量(如距离、直线斜率、截距等)的 变化范围求函数的最值，常能起到化难为易、化繁为简的效 果。 一、构造“斜率” 有些函数的解析式在结构上与直线的斜率公式相似，不 妨通过变形并引入新的变量，构造出适合某种条件(过某些 平面区域内的点)的直线斜率，由斜率的变化范围求得函数 解析式的最值。 例1 实数x、y满足不等式x2+y2≤1，求ixq而-yq-2的最 大值和最小值。分析：函数解析式可变作篆鞘，与斜率公式相 似，令U=x—y，v=x+y，对可构造圆面域u2+v2≤2以及 由P(u，v)、Q(一2，一2)构成的直线斜率K一兰嚣，根 据其变化范围可求K的最值。 解：设u=x—y，V--一'X+y，k一妻号蓑，则由x2+y2≤ 1得u2+v2≤2，且k=兰高． 显然， 一点P(u， 如图1 最大值与最 =k(u+2) 切时，有 收稿日期：2003一01—21 作者简介：刘文海(1960～)，男。山西洪洞人，山西师大临汾学院， 讲师。 iQ：垦二Q±；堡二型一， Ji-+z, “ ．．．K一2土／了 故K。。一2+／3KIDi。=2--／3 例2 求f(e)一鬻的最大值和最小值。 分析：函数解析式类似斜率公式，可引入新变量，构造 相关的几体图形。 解：令X=COS0，y=sin0，则 x2十y2=1，且f(8)=百5·xy一-__524 设K=兰薹，则表示过圆x2+y2—1上一 点P(x，y)与点M(2，4)的直线斜率(如图 2) 设过M、P的直线L方程为y--4=k(x- 2) 即 kx--y+4--2k一0，当直线L与圆相切时，有 14—2kl， √1+k2 ．．．K一学 ．．．K一一4+半K诚：4一掣 故f盘：10+￡已箬旦f盅一10一￡L箬旦 注：形如制的函数都可引入变量{：：三：篆； (x视为参数)，利用斜率公式求最值。 二、构造“截距” 有的函数解析式，在结构上具有牛(t)+．；’(t)的形式， 如果引入变量u一牛(t)v=巾(t)，则从函数解析式可构造 出直线方程z—u+v，由v=--u-l-z中截距的变化范围可求 得解析式的最大值或最小值。 例3求函数f(t)=~／2t+4+,／i—t的最大值、最小 ·101· 毋酏 万方数据 山西广播电视大学学报 2003年第2期 值。 分析：本题直接解答或寻找几何意义比较困难。不妨作 换元x一／2t+4，y=√1一t，z=x+y，并视t为参数，则 问题转化为求过曲线{；三善：t?；上的一点的宜线y=一x+z～Vo‘p‘J 在Y轴上之截距的范围。 髀：函数的定义域为[一2，1]，设z=f(t) 且仨筹 ry一--x-{-z 则{芏6+￡3—1L ‘ (一z