一类绝对值函数的最值问题

之，生成的数列{a。)必满足上述．现在的问题 是若{％)中出现了一些重复的数字该怎么办? 2 函数y=∑毛Ix--a。l，五t∈N’，a。∈R的最 i=1 小值 例2 求函数Y=Iz一1I+2Iz一2f+⋯+ 100z一100I的最小值，其中z∈R 解 我们将原函数写成1+2+⋯+100— 5050个绝对值之和的形式，有： y=Iz一1l+lz一2l+lz一2l+⋯+lz一100 +⋯+lz一100 “首尾配对”层层分组，得 y一(Iz一1I+lz一100I)+(Iz一2I+IX 一100I)+⋯+(1z一71l+Iz一711)[洼] 故当z=71时， ‰一1X70+2×69十⋯十70×1+71X0+ 72×1+73X2+⋯+100X29 71 29 一∑k(71--k)+∑(71+￡)￡=99080． [注]我们只需找到第2525及2526项，当X取值 使它们之和取到最小值时，Y即取到最小值．由于1+ 2+⋯+70—2485<2525及l+2+⋯+70+71= 2556>2526，故2525及2526项均为lz一71I． 稍作讨论，我们还可以得到求y=∑ix--iI 最小值的一般公式，这留给读者． 对于一般的函数y一∑岛Iz一巩I，毛∈N。， a；∈R，我们从左至右在数轴上用{玩)记录实数点 a。，i=1，⋯，行，使61<62<⋯<玩，则原函数调整 后可记为： Y一∑岛Ix--b,I，ti为与b。相应的愚。值． 我们进一步可写成： ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．!j1．．．．．．．．．．．．一Y—Iz一6ll+⋯+lz—blI+⋯ f———————_—』k——·—] +Iz一巩|．”+Iz—bnI “首尾配对”分组求值，即可取得函数3，的最小 值．这是一种理论上可行的解法，当∑ti数值较大 时，也只有在满足某些规律时才具操作性．稍后我 们将讨论更一般的情况，并给出更具操作性的求解 算法． 生活实例 学样教学大楼有竹层，每层有勉个 班级，现在每班派一位代表参加会议，问会议室设 在哪一层时各位代表所走的路程最小(假设每个楼 梯长度相等)． 3 函数y一∑aiz—biI。皿∈l～，6t∈R的 最小值 例3求函数Y=Iz一1I+抠lz一厄l+佰 z一再I+红lz一抠l+据Iz一店I的最小值． 解 原式=(1z一1l+Iz一店1)+听一1) z一据I+厄Iz一厄I+幅(z一万)+2z一2I一 (Iz一1I+Iz一厢1)+听一1)(Iz一瓶I+Iz一 厄I)+(1+厄一向(Iz一抠I+IX一21)+括 (Iz一梧I+Iz一21)+(1+店一压一向fz一2I 因为污一1>o，1+压一幅>o，厄>o，1+幅 一压一再>o， 2∈昕，2]∈听，2-]董昕，同∈[1，同， 所以当z=2时，‰=1+2瓶+万一循)． 该例中，我们构出了函数分组具体的区间套形 式，但这并不必要．既然1+压+订< 旦上丝型b墨±必 又1+压+幅+缸> —1-—}-,,—／2—+_,fffF-I—-,f—-4-一I-fff，由“首尾配对”7，2、"组方法，————_F——一'出目尾阢刖驵月信' z一1I，lz一压I，Iz一厢I必然与后两项系数 之和为1+在+捂的项配对到一起，剩下的只有Iz 一2I(由上例知其系数为1+循一在一再>o)，故 当z=2时，Y取到最小值． 命题2对于函数y=∑嘞IX--b,I以∈耻， bi∈R，我们总能裂项分组变形为： 卅 ‘ ‘Y=∑Q(1x--d,l+Iz一磊删I)+c翻Iz f=l 一破州I 其中Q>o(i=1，2，⋯，优)，c知≥o，喀≤ “-，．『一1，2，．．·，2ra．从而，可以求得y的最小值，具 万方数据 30 数学通报 2007年第46卷第4期 1 一道试题及疑问 如图1，已知A，B，C是 长轴长为4的椭圆上的三 点，点A是长轴的一个端点， BC过椭圆中心o，且Ae· 雨=0，IBCI一2ACl， 一道椭圆试题的研究 孙东升 (江苏省前黄高级中学 213161) 图1 (1)建立适当的坐标系，求椭圆方程； (2)如果椭圆上有两点P，Q，使么P。Q的平分 线垂直于Ao，证明：存在实数A，使商=A窟． 该题的解答如下： (1)以O为原点，04为 z轴建立直角坐标系，如图 2，设椭圆方程为誓+芳一 1．由条件易知AAOC为等 -y 厂太彳一 孓 一／、 图2 腰三角形，C(1，1)，B(--1，一1)，将C点坐标代入椭 圆方程得62一号，故椭圆方程为等+警一1； (2)由于么尺Ⅺ的平分线垂直于AO，设PC的 斜率为忌，则QC的斜率为一是，因此PC，QC的直线 方程分别为Y—k(x--1)+1，y=一k(x--1)+1． ry2k(x--1)+1 由l-4-1-4兰一1得 (1+3k2)≯一6k(k一1)x十3k2—6k一1=0， 所以却·＆=却=塑鬻， 同理&一避并，所以直线艘的斜率为‰=譬掣一号．zP—zq 3 体算法如下： 1．按反从小到大次序排序，得 y一∑口7；Ix--b7；I，口7；∈肆，b7。∈R_H．b7。< I篇l b72<⋯b7。． 2．计算S=a71+口7：+⋯+口7。，并计算S一口71 +口，2+⋯+口，。．若&<百S，蹁>要，则当z： 67蚪l时，y取最小值；若s=要，则当z∈[67。， 67州]时，y取最小值，代入原函数计算，即得‰． 现实意义 连接A，B两城的国道上有71个加 油站，政府决定在路边修建一个油气供应中转站以 统一管理，已知各加油站的里程分别为6I，平均销量 分别为m，问单从数学意义上讲，如何选址最经济? 至于更一般的形如y=∑啦Ix--biI，口t∈R， 抚∈R的最小值问题及它是否有最小值的判别方 法，尚需进一步研究． 4 解决问题与提出问题 根据上述讨论，易得引例1的答案为18；而引 例2只需：一小向三小调3台，三小向四小调出1台， 五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，此时总 调动台数最小，为12台． 现提出以下问题，留给读者思考： 求Y—Flz—F1I+F2z—F2I+F3z— F3I+⋯+Ez—只I的最小值，其中{E)为菲波 那契数列：F1=1，F2—1，F，“=E+砟，． 参考文献 1 叶军．数学奥林匹克竞赛典型试题剖析，P3一P5，长沙：湖南 师范大学出版社，2002，7 万方数据 一类绝对值函数的最值问题 作者： 贺航飞 作者单位： 海南中学,571158 刊名： 数学通报 英文刊名： BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)： 2007,46(4) 被引用次数： 1次 参考文献(1条) 1.叶军 数学奥林匹克竞赛典型试题剖析 2002 引证文献(1条) 1.唐锐光 一道高考题的新解法引发的命题——兼对文[1]质疑,并解决文[2]的问题[期刊]-中学数学杂志（高 中版） 2008(6) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxtb200704010.aspx