三角函数求最值问题类型解法透析

■教学研究 三角函数求最值问题类型解法透析 董志立 《河北省容城县中学河北窖城071700 三角函数的最值问题是对三角函数的概念．图象与性质及 对诱导公式，同角间的基本关系．两角的和与差公式的综合考 查。也是函数思想的具体体现。解央三角函数的最值问胚可同 过适当的三角变换或代数换元化归为某种三角函数或代数函 数．再利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方甚去处 理。近几年的高考题中此类问题经常出现。下面就这类同题解 法归纳以下几种形式。 (一)y：商瓜+b(y=船osx“)型的函数。此类函数利用I缸眦I (或lcosxl蔓1)即可求解。显然最大值是y=lnl+b，最小值是 v—laI+b，这里xER． ^ 例1求y=sin(孚+4x)c0B(孚—4x)的最大值和最小值 解：y=sIn(詈+4x)cm(詈—4Ik}(sin}+sin8x) ‘=扣sx+孚 所以最大值为呈±：竿王，最小值：导(、／丁-2) (二)v=aBinx+bcosx型的函数 ‘ 此类函数可转化为y=V8‘+b‘耐n(x+廿)，其中t明巾=生，然 后根据正弦函数的取值范围便可求出原函数的最值。 例2：求函数y=sin4x+2、／丁8inxc08x_c循‘x的最小值。 ：(in2x+c082x)(。iⅡ2x．cos2工)+、／丁。i。2x =、／丁in2x—c∞2x=28in(2x一孚) 所以ym=-2 (三)y=聃in‘x“sinlco“+c咖‘x型的函数，此类函数可先降 次。整理．再化为，；舳i眦+bc∞x的形式求最值 例3求函数y：s矗x+2si眦c∞x+3cofx的最小值。 解·．～=甜fx+2si趟c0娃+3cofz =(8iIfx+cos‘1)+2siⅡxco旺+2cofx =l+sin2x+(1+cos2x) ‘ =siIl2I+c崛2x+2 =、／丁sin(2x+要)+2 所以最小值为2一、／F (四)y=鼬in。x+bsk托抽≠0)或y=删‘x十k∞x+c抽≠O)型 的函数，此类函数可化为形如y=丑t‘+bt+c(一1stsl)的二次函 数的最值． 例四：求函数f(x)=co旺一}c∞2x(xER)的最大值 f(x)=c。“一}cos2x=-c。s2x+cosx+}一(c*x-争)2+} 令c08x气。tE[_1．1】则y=一(卜})。+}． 对称轴t=}e卜l，l】|．t=}时，y有最大值y一=} 五、，=裳票等(或F曩詈筹})型的函数I‘，· 此类函数可以解出siⅡ，由正弦函数的有界性lsiⅡl蔓l或 函数分析法求最值 倒五：求函数y=墨!!鲁的最值 ． 解法(一)利用求反函数解法解出。i姒：墨世韭 ’ ’ I—y 由I5iⅡxI!l。解得一2兰y妄一-} 110 ·仉．一2·y眦一} 解法(二)：利用分析法原式化为y=1一击， 再由I正ⅡI≤l，解得-2蔓y蔓一手 7．‰一2，y血一} 丸y==黯型 化归为，tAsi眦+Bc0旺型解或用数形结合法(常用到直线 斜率的几何意义) 例六：求函数y2孟：：≥的最大值及最小值 ． 解法一；原式可化为y。曲；-sim+2y卸，化为、／尹i。i。(，+ 十)；一2y，即sin(x+∞)=—；拿-， Vy‘+1 邮州酬旧得I击|s1， 解得一孚sys孚 。 故k一孚，y皿=孚j ． 解法二；函数y2品的几何意义为两点P(一2一，o)，Q (cosx，si越)连线的斜率k，而Q点的轨迹为单位圆， 如图可知广孚≤k蔓孚 故‰--孚，‰=孚 七、y=asj吐+—；)_型。此类函数利用函数的单调性求最值SIⅡ 例七：求函数y=si矾+—；L，xE(o，要]的最小值。⋯ ‘一 解：令t≈illx，xE(o，孚]，则y=t+}，tE(o，1】，利用函数 1 ‘ ． 1 y；吐+}型的单调性得．函数y=t+{_在tE(o，1]上为单调递减 函数，故当仁l时．最小值为5。 · 八、对于含有8iI-x±co腿．Bi眦c岫x的函数的最值问题．常用 的解央方法是令耐I．x±c0自x=t，Its、／丁．Binxc帽x转化为t的关 系式。最终化为二次函数的最值问题 例八：求函数F1帏i眦+c嘟+sinxco娃的最大值与最小值。 2‘解：设si仳+cos斌，tE[一、／丁。、／f】。尉越叫co啦=旱 y=}+t+芋=}(t+1)2．·J一=}(3+2、／丁)，y。=0 九、y=越nxcos-x型的函数。此类函数用均值不等式求解 例九：在直角三角形中，两锐角为A和B，则8inAsinB的最 大值是多少?， 鼬m舳s蓝笔盘=蓝号产a={ ．·．sinA出nB的最大值为}． ， 十、对于可化y=f(t丑rⅨ)型的三角函数最值问题，可用函数 的知识求解。 2 例十：求当。矗<}时．函数f(x)=——{旦!【_r的最小值 ∞sxSlnx—喝mX 万方数据万方数据 曼塾堂亟窒 并进式实验在化学教学中的运用 梁万书 【重庆市江津聚奎中学校 并进式实验，即边讲边实验，是教师在知识与技能的传递过 程中，改变传统(教师边演示边讲解)的实验教学，由学生亲自 动手实验与教师讲课(包括学生讨论)相互配合，相互协调的一 种课堂实验教学方式。它能把教师讲解与学生实验有机的结合 起来，使学生由旁观者变成操作者、实验者。全身心参与实验的 垒过程。并通过观察实验现象．进行综合分析、判断，从而获得 更清晰的印象．更深刻的感性认识和个体体验。学生可以很好 的理解化学概念、原理．熟练掌握化学实验技能，不仅完成了从 感性认识到理性认识的飞跃．也培养了学生的观察能力．思维 能力和操作能力：培养了学生实事求是、严肃认真的科学态度 和电好的心理素质．激发学生学习化学的浓厚兴趣。 近几年来．并进式实验以崭新的姿态逐渐渗透到化学实验 教学过程之中．教师应根据学校实验设备的条件和教学实际情 况，把传统的实验教学与并进式实验教学结合起来．让部分实 验采取并进式实验．使学生真正成为知识的探究者。 一．实验基本操作采取并进式实验 化学实验是化学教学不可分割的一个重要组成部分。培养 学生的实验能力是化学教学的目的之一。熟练掌握实验基本操 作是进一步运用实验方法去验证和探索物质的性质和变化规 律的基础。因此．对初学化学者来说．教师可以采取并进式实验 进行严格的实验基本操作技能的练习。训练过程中教师应讲练 结合，以练为主，同时，配以化的演示，甚至可以发布操作 口令．带领学生进行模仿式操作．让学生反复练习。如滴管的使 用，药品的取用，称量，装置的连接．组装，仪器的洗涤等。教师 可以巡回指导．要求学生一丝不苟地、严格按规范进行操作。并 组织学生讨论，看谁的操作最符合要求。谁的操作不规范．缺点 在什么地方，应该怎样改进。这种方式能充分调动学生学习化 学的积极性．有效提高学生基本操作技能。 ， 二、具有化学实验美的采取并进式实验 化学实验教学是整个化学教学过程中的中心环节．也是创 造化学美的源泉。化学实验教学应加强实验美的创设．力求实 验装置简单美观，操作简便安全，现象明显精彩。不仅要向学生 展示化学仪器美，更重要的是让学生通过并进式实验感受实验 操作的美感。 如讲解分子运动的性质时．当学生把一小颗品红放^烧杯 里的水中时。可以观察到品红从液面慢慢地伸出很多仿如细小 的红丝线．再一点一点的向周围扩散．直到烧杯里的水全变成 红色．整个扩散过程非常的美丽动人，让学生兴奋不已。再有讲 解№OH溶液和新制的FeS0．溶液的反应时，开始析出一种白 色絮状沉淀，随即变成灰绿色，最后变成灰褐色。沉淀颜色的不 断变化．让学生惊奇万分。还有讲解盐和碱的反应时．向cuso． 溶液中滴加较浓的Na0H溶液．产生的沉淀好似蓝色的钟乳石． 令人赏心悦目。这种并进式实验让学生在实验操作过程中．可 以更直观，更清晰感受到试验中的每一细微变化，让学生不自 觉的产生愉悦和谐．热爱生活．乐观向上的积极情趣。使学生在 欣赏和感受到化学美的同时。培养了学生的审美情趣，发展了 学生审美刨美的能力。 三、难于掌握的重难点知识采取并进式实验 教材中的有些重难点知识．尽管教师也演示了实验．课堂 上也反复讲解，学生仍然印象不深，知识点不易记牢．容易混 淆，很难达到满意的效果。如初中教材讲酸的通性时．教师讲解 了金属活动性顺序，并让学生反复记忆，背诵．甚至默写．但学 生仍模模糊糊，疑问丛丛。此时，教师就应采取并进式实验。学 生亲自把Mg、Zn、Fe、Cu、Ag几种金属分别跟稀H2s0．(或稀 HCL)反应，发现了Mg、Zn、Fe能与稀}硒0．反应，有氢气产生． 但反应的剧烈程度不同。而Cu、衄不能与稀H§04反应。学生 根容易理解了金属的活动性质是不同的．排在氢前面的金属能 置换出酸里的氢，位置越靠前的，活动性就越强，反应越剧烈；排 在氧后面的金属不能置换酸里的氢。教师再及时启发学生．是不 是所有的酸都行呢?让学生把Cu分别与浓H504、浓HN0，反 应，发现虽然有气体产生，但生成的气体有刺激性气味，且cu 与浓HNq的反应有红棕色的气体产生．但都不能产生H。。为什 么生成的气体不是H2呢?这激发了学生的好奇心和对知识的 强烈渴望，教师及时释疑，是因为浓H2sO。、浓HN他具有强氧化 性。从而得出金属不是跟所有酸反应都有H2产生。这种并进式 实验，学生可以仔细的观察实验现象．准确收集、记录实验数据． 综合分析归纳出实验结论。使知识有繁变简．由难变易．学生易 于掌握，难点迎刃而解。 四、改进实验方法采取并进式实验 书本上的一些实验，如完全照搬，实验的成功率不高。影响 学生学习化学的积极性，给学生的心理造成不良影响。教师应采 取并进式实验，组织学生讨论实验为什么会失败?有什么好的改 进方法?引导学生选择简单的方法进行改进。如初中教材C还 原Cu0实验，这个实验难做。要求高(用酒精喷灯加热)，不易掌 控．实验现象也不明显。改进后可以用一段Cu丝．绕成螺旋状． 放在酒精灯上灼烧，光亮的Cu丝上面就附着一层黑色的Cu0． 再把它与木炭混合．直接用酒精灯加热，木炭很快就把表面的 Cu0还原成了Cu，又可以得到光亮的Cu丝了。这种并进式实验 把实验的改进创新与培养学生的创新精神相结合起来．让学生 在实验巾体验成功的喜悦+明白实验改进的方法和必要性．激发 学生强烈的操究兴趣和创新精神。 在实验教学过程里．并进式实验发挥了它的优越性。但在实 际的教学中，由于人力物力的原因，并不是每个实验都能采取并 进式实验，教师应从具体的客观条件出发，在课前仔细分析。结 合学生的知识水平和操作技能。有目的．有方向进行选择。 一、教师要有驾驭课堂的能力 并进式实验由学生亲自动手。教师从中进行分析、讲解，引 导学生归纳实验结论。有的学生忙于做实验．不易集中注意力听 教师的讲解。虽然注重了实验过程，却忽略了实验结论．一节课 下来。什么都不知道。教师应该控制教学的节奏．不时的给以启 发诱导，使学生在自己的引导之下，最大程度的获取知识。 二、选择安奎的实验 并进式实验应尽量选择安全的实验．对于危险性程度高的． 学生不易操作的不便于采取。如初中实验燃烧的条件．要用白 磷．而白磷着火点低，容易自燃．切割应在水中进行。这对于接触 化学不久的初中生来说．操作能力达不到．稍有不慎很容易发生 危害事故．可以由教师进行演示实验。 三、选用饭型的实验 化学实验中。有些实验准备工作大．药品消耗太多．增加了 实验开支．造成学校实验经费紧张。这种耗时耗费的实验不便于 采取并进式实验。教师应大力改革实验方法，创设一些节省药 品．装置简单．操作简便。现象明显的微型实验。充分发挥并进式 实验的优越性，使实验教学a取得好的效果。 爱因斯坦曾说过：“结论总是以完成的形式出现在读者面 前，读者体会不到探索发现的喜悦．感觉不到生动的形成过程． 也很难清楚地理解全部情况。”并进式实验充分调动学生的参与 意识．充分发挥学生的主体作用，让学生在实践中体验实验过 程．享受成功的喜悦．培养和发展了学生的实验能力和科学态 度．养成正确的科学活动观和探究习惯．全面提高学生的科学素 养。 解：原函数可化“x)= ：—————ji—一一(ta一})。+} 因为o