关于求函数最值的几个问题

《中学数学杂志》(高中)2001年第5期 关于求函数最值的几个闻 山东省曲阜市田家炳学校 273100李秀华 求最值问题，即使对很好的函数，在中学阶段 亦没有一般的方法，只能对具体的函数施之以具体 的方法。苏建兵在[1]中给出了“构建心智图象解 题”法，用之于下述问题： 问题1设n，6为小于1的正数，试求函数．厂= √n2+62+√(1一n)2+62+√口2+(1—6)2+ ~／(1一口)2+(1—6)2的最小值。 其方法构思巧妙。文[1]同时指出，用代数方法 不易解决此问题。 徐稼红在[2]中就所谓“最值嵌套”问题给出了 几种方法用于解决了下述问题： 问题2 若口>0，6>O，且H=min{口， 燕E}，试求H一· 问题3 若，(z)=一z2+2红一f，z∈[一1， 1]，试求[，(z)一]。。． 其方法独特，有峰回路转之妙。本文试图用常规 的、更简单的方法解决上述问题。 首先，我们使用代数中的最基本的不等式解决 问题1．我们知道：z2+了2≥卫掣且等号成立 铮z=y．因此，我们有： 以五百≥警， VZ 、 以ri—了≥L告业， VZ 以五可了砰≥型击尘， 巾i再百可≥b秀M， 从而，=厂■订+以丁i丽 ／7i百可+厂iF二F了瓦j矛 值。 理解问题2：容易验证一个非常有用的恒等式 H姒{z，了}_字+且—掣， min{z，y}-半一掣． 其几何意义十分明显，即两数中的较大者等于 其中间数加上两者距离之半，而两数中的较小者等 于其中问数减去两者距离之半。从而， H=min{口，万舞} Ⅱ+南I口一南Ⅱ十≯了孑㈨一万而：2——虿一一———厂 ． 6 ≤生乒． 且等号成立铮口2孑{了．因此问题转化为： 对n>o，6>o，求满足ni矛{了的最大值。 在此，我们又可以用两种简单方法求之。 法1 o