多元函数条件最值的分离参数解法

第26卷第3期 长春师范学院学报(自然科学版) 2007年6月 V01．26No．3 Journal0f蛳InmNormaluIliv绷毋(NahlralScience) Jun·2007 ==：=一===================================================；；；=％ 多元函数条件最值的分离参数解法 孙幸荣，曹学锋 (黄冈师范学院系，湖北黄冈438000) [摘要】提出了一种多元函数条件最值的分离参数解法，简化了超越函数条件最值的求解过程，并 举例说明了分离参数解法的应用。 [关键词]多元函数；数学建模；分离参数；拉格朗日乘数法 【中图分类号】0172 [文献标识码】A 【文章编号】1008—178x(：201)7)03—0001-03 1 引言 多元函数的条件最值一般采用拉格朗日乘数法‘13求解，但在利用拉格朗日乘数法求解含n个变元的函 数的条件最值时，往往需要求解n个偏导数等于0的方程构成的方程组，工作量极大，特别是在遇到超越 方程组时，随着变量个数的增加，甚至连计算机也无法求解，下面笔者提出了一种多元函数条件最值的分离 参数解法。 2讨论目标 在灭菇。，茗2，⋯，‰)=0的条件下求g(茗，，茹：，⋯，％)的最值。 若拉格朗日函数F(菇l，茗2，⋯，以，A)=g(茗l，茗2，⋯，故)+矽(菇1，茗2，⋯，故)=愚(，1，．：1)+h(x2，A)+⋯+ h(戈。，A)，则称函数F(x，，奶，⋯，‰，A)可分离参数。 3分离参数解法 求解这一类多元函数条件最值时，可采用分离参数法如下： 由型掣：0 (江1，2，⋯，n)解得各驻点 【，互l 石，i=^t(A)(i=l，2，⋯，后1) 茗2i=五‘(A)(i=：1，2，⋯，而2) 菇矗=-，0(A)(i=1，2，⋯，“) 其中‰表示矗(瓤，|；L)的驻点个数，‰∈Ⅳ(i=1，2，⋯，n)。 由一元函数最值求解方法可得出win{矗(瓤，A)}及lna】【{无(瓤，A)}(i=l，2，⋯，R)，这里将A看作待定常 数；其中当茗，=五矗(A)，菇：=氖(叉)，⋯，茗。=A(A)取到施{是(筏，A)}；当茗t=五t。(A)，戈：=五}2(A)，⋯，‰2 厶(A)取到ma)【{^(氙，A)}(1s五，ti≤厩，1sis，1) 将其代入“石，，菇：，⋯，％)=0得出 (口)M。(．；【)=九^^(．；【)，氏(A)，⋯，A(A)]=o由此解出A=A-，将A=．；L，代入瓤=^(A)(i=1，2，⋯， n)得毛---&(A，) [收稿日期】2007—01—16 [作者简介]孙幸荣(1978一)，女，湖北蕲春人，黄冈师范学院数学系讲师，从事高等数学教学研究。 万方数据 求出nfin{g(xl，X2，⋯，‰)}-g[fli,(,11)，如(,t1)，⋯，A(A1)J (6)鸩(A)=九^。。(A)，正12(A)，⋯，^(．=【)]=o由此解出A=A：，将A=Az代入屯=^(A)(江1，2，⋯，凡) 得筏=^(A：) 求出—撇{g(茗。，石：，⋯，‰)}-g[A。。(A：)，如(A：)，⋯，^(A：)] 例 抢渡长江问(2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题) 这里略去本问题的建模过程，经过适当简化可以得到如下的模型： nfinT=2磐％- f2∑sf+sll=1000 l i=1 【口；∈[一号，号](i=1,2，⋯，20) r=2善20丽10+丽760 2墨(旷1．5silla‘’匾10+(2．28-1．5s协％)1760石=1000 下面利用分离参数法来求解 记G(％％⋯，％，A)=2墨击‰+藏760+ A【2墨芈羔掣+燮罴等型一to001，整理得G(口，砘，⋯心一)：墨【去+型掣]+ 旦+—760—(2．万28-—1一．5sina21)+1000A—1．5CO—Sa21+——T菇磊■一一十^将A看作常数，先求八口i)=r去+丝丛孚掣(i=1，2，⋯，20)的极d、值，令厂(口t)=o可得唯 一驻点sinai-r1而．52，因此cosa产—-,／—(1—+_『2v了‘)刁2-广2一．2522 由实际意义知，八口i)必有最小值，故在唯一驻点口产眦siIl亡羔处取最小值。 同样可求出，当s慨。=老‰时，鑫‰+型告掣取极，J、值，此时毗t= 堑垒±寺芋凳铲，将这时的siIl口；，cos口；(i=l，2，⋯，21)，代入约束条件得 2墨!竺竺竺垒+：竺!兰兰垦2．252：。。。。 ①二昌1．5以再瓦F瓣‘1．5以再瓦甄F亟⋯。 一 其中挑是将水域分成40等分(不含流速恒定的中心区域)后每一等分的右端点的水速。 由已知求出矾，代人①中，借助Mathematica数学软件求解，得到近似解为A=O．539194，将A=O．539194代 人求出s1‘n口i，cos口i(i：l，2，⋯，21)，并将sinai，COsai代入T中求出较短时间(满意解)为r=14．89分，这一结 果与实际比较吻合。 万方数据 从上面例子可以看出，分离参数求解n元条件最值基本思路是 显然它是rehfionshipmappinginversion(关系映射反演RMI)方法的一个成功应用。 [参考文献】 [1]华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2001，164—166． [2]叶其孝．大学生数学建模竞赛辅导教材[M]．长沙：湖南教育出版社，1993． [3]徐利治．数学方法论选讲Emt．武汉：华中理工大学出版社，2003． AS0lVingMethod喇mSe舯啦Parametersof恤Poly—function'sConditionalExtremeValue SUNXillg—tong，CAOXue—feng (DepartmentofMathematicsofHuanggangNormalCollege，Huangzhou438000，China) Al袖raet：Inthispaper，wepresentasolvingmethodwithsep￡哦ltiIlgparametersofthePoly—function’Sconditionalextreme value80astofacilitatethestep，andgiveexemplatoshowtheuseofit． Keywords：poly—function；mathematicalmodel；separationtrn'ameters；lagrange’smethodofmultipliers ·3· 万方数据 多元函数条件最值的分离参数解法 作者： 孙幸荣， 曹学锋， SUN Xing-rong， CAO Xue-feng 作者单位： 黄冈师范学院数学系,湖北黄冈,438000 刊名： 长春师范学院学报（自然科学版） 英文刊名： JOURNAL OF CHANGCHUN NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)： 2007,26(3) 参考文献(3条) 1.徐利治 数学方法论选讲 2003 2.叶其孝 大学生数学建模竞赛辅导教材 1993 3.华东师范大学数学系 数学分析 2001 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_ccsfxyxb-z200703001.aspx