《数学通报》数学问题1504题的解法探讨

48 数学通报 2005年第44卷第7期 要重视数学问的解题思路解题规律研究 ——《数学通报》数学问题1504题的解法探讨 孙建斌 黄宝玲 (福建泉州市永春县科委 3626000)(福建泉州市丰泽区职专 362000) 千禧年之夏，刘绍学教授在首都召开的全国第 四届初等数学研究学术交流会上，谆谆勉励广大中 学数学老师，要努力提高自己的数学素质，培养成 为一个科研型的教师． 拙以为，要成为一个科研型老师，教师还应该 多阅刊，多积累，多解题，多探索，多交流．尤其要重 视与学生、同事共解题，共探讨，师生优势互补，共 同提高． 针对《数学通报》“数学问题”1504题： 1 1 已知戈，Y，=∈R+，戈+Y+z：1，求去十去+ 戈一 Y— o 号的最小值．我们举行了一次关于解题思路、解题 0 规律的研讨会． 1 解题思路探讨 师：孙子日：“知己知彼，百战不殆．”两周前我 们已布置，结合阅读文n儿2][3]，从解题的关键性、多 解性、最优性、规律性来研究本题．现在先讨论解题 思路． 1．1 观察结构 生-：我发现：若将戈+Y+z=1写成髫+Y+亏 +鲁：1，则戈，Y，。有负一次结构式：』+土+兰+ 一 1 1 ，’ {：{+上+旦；而戈，，，，彳的负二次结构项巧恰一=一+一+～；巾】戈，，，，彳即贝一7灭笫嗣坝均信z X ～ z 。 为：≯I+≯I+74+孑4=≯I+≯1+78． 1．2 提出猜测 生：：我发现：当戈=y=亏时，即戈=y=专， 。：i1；此时，上+上+呈+呈：上+上+鱼： 16；而之+11+14+14：11+11+18：64；于是 戈。 V‘ Z。 Z。 戈。 V‘ Z。 可以猜测：当且仅当戈=y=寺，。=吉时， (≯1+≯1+78)埘。=64． (此时，人心振奋，认为生，、生2审题认真，言之 有理) 师：熟悉题目是解题成功的第一步；大胆猜测 是必要的，但要经过严格证明． 1．3 酿就解法 生3：我从{+』+旦：(戈+，，+。)(』+一1。 戈 V Z 。 戈 V +号+÷)≥42=16；又从4(去+≯1+≯4+74)≥ (去+专+号+号)2=(÷+专+导)2≥162，得出：x ’ z z x ～ z 。 去+≯I+≯8≥了1·162=64，于是当且仅当戈=了1， )，：丢，z：告时，该式最小值为64． (注：此处巧用恒等式：4(a2+b2+c2+d2)： (a+b+C+d)2+(a一6)2+(a—c)2+(b—c)2 +(b—d)2+(c—d)2≥(o+b+c+d)2)[4] 师：很好!从题知戈+y+z：I，到上+上+旦 ≥16，到去+≯1+78≥{(÷+v1+导)2≥64，等 号成立的条件均为：戈：y：丢，z：丢． 1．4理清思路 生。：可见，解题成功的关键是审题成功．本题解 题思路：一是证明÷+上Y+÷≥16；二是证明去+戈 Z。 f‘ 上+18≥1(上+一1+旦)2． ～y2+7≥4Li+一Y+i厂‘ 2解题方法探讨 师：难题往往是多解题．1戈+专+4。≥16有哪 万方数据 2005年第44卷第7期 数学通报 49 2．1 证明1+1．．+{≥16的多种方法探究 戈 V Z ’ 生，：可构造恒等式上+1+鱼：16+(士一4 ^)2+(F1—46)2+(F2—4^)2≥16；或构造恒等 吖I／" ^，Z 式(戈+y+州去+专+导)=16+√詈一√詈)2 +(2√詈一√号)2+(2√詈一√孝)2≥16． 生。：考察(茗+y+石)(丢+专+{)=6+(号+ ÷)+(譬+÷)+(譬+÷)≥6+2+4+4：16；同x z X z V ’ 样，也可考虑』+』+羔 戈 Y 2 垒(兰±z±墨2一⋯ Z 一 ：生上2尘_+生上2』』+一 1． 1- 咒 Y 生7：构造上+』+一4：一1+』+4+A(x+y X 叫 z X 1 z 。 +z)一A：(』+；tx)+(上+2y)+(生+Az)一A 菇 V Z ≥2以+2以+4以一A， 由等号成立条件：i1=地，专=A，，，4z=比， 知{+专+导：A(z+y+：)：A，戈 V 三 。 解A≥8以一A，立知{+专+导=A≥16． 生。：注意到上+上+一4：一1+一1+一4+16(戈 、x～ z ％ 1 z +Y+。)一16 ：(÷+16z)+(专+16y)+(旦+16。)一16≥戈 V Z ’ 8+8+16—16=16；或干脆专+16戈1>8；i1+16y≥ 8．4．+16z≥32，三式叠加，即证． 生。：只须注意到{+专 号)({+专+号+号)≥4 +4：=(x+y+号+彳 。 Z 浮·4层=16： 或巧用ia2≥2。一6；晏I>2"4-x-l；4v≥2·4一y-1； 2(参)≥2(2"4-2z-1)，三式叠加整理，即获{+1y 4 1f +■≥16 生m：引入参数，戈+{z2≥2t；y+专t2≥2t；z+ 4：t2≥4t；叠加知：1+({+专+--。-4)t2_8t≥o，由于 △。=(一8)2—4(1戈+专+导)·1≤o，可得专+1v +i4≥16；也可巧用‘‘1+1=2”法：设七=i1+了1+ {，则2=“1=(戈+y+。)+1托(1戈+1v+导’ =(茗+去)+(y+吉)+(=+瓦4) 2 2 4 ≥万+瓦+万 =万8，解2≥万8， 立知 而={+专+导≥16并 V 0 ’ 生11．真是“条条道路通北京”!我构造非负式({一 ^／戈 4^)2+(F1—46)2+(吾一4^)2≥o，只须展开， VV 吖Z 稍加整理，便知{+专+导≥16 师：上述12种方法都是正确的．其实，A+上+4 戈 Y o ≥16，远不止这些证法(众示惊讶)，1戈+号+号≥ 36是一道脍炙人口的多解题，她有多少证法，都可以移 植到证明去+_Lvl+4：≥16． 2．2 证明昙+了1+了8≥i1(1戈+专+{)2的多种 方法探究 师：波利亚说过，“解题的成功要靠正确思路的选 择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒”．请戒骄戒 躁，考察丢+≯1+78≥i1(i1+y1+÷)2． "-1：12我构造以t)=({+t)2+(专+t)2+(号+ ￡)2·2，知4t2+2(A+专+{)￡+‘≯1+了1+78X )≥y Z 戈。 矿 z‘。 o，由△￡=[2({+专+÷)]2—4·4·‘≯1+了1+孑4)戈 y Z z。—旷 z。 ≤o，立知喜+≯1+78≥j1(i1+专+{)2． 生，：构造向量m：({，上，2∥-2)，n：(1，1J2)，‘ 搿 V Z 依{mf2≥(彳音竿(文。])，立得去+71+78=⋯似斜：生挚 =j1(1戈+专+导)2． 万方数据 50 数学通报 2005年第44卷第7期 生：：依c叫chy不等式，({+专+导)2=(1．1戈 +1·专+拒·半)2≤(1+1+2)(去+71+≯8)，即 获≯1+了1+78≥{({+1y+÷)2． 生，：由平凡不等式篁Yl+委+⋯+雾≥ 专#号暑{：警(其中≈∈R；儿∈R+)，得去+≯1+ 量 戈-1 z一 16z一2 (戈一1+!一1+4三一1)2 ≯2T+T+—厂≥——了：丁■广= 了1 L一1+』+4)2． 斗X V 三 师：这一不等式见《数学通报}1996(7)，“数学问 题”1023号，其证法颇多，且应用十分广泛[6]． 生4：我从文[7]获悉：(p1石l+p2戈2+⋯+p．x。)2≤ (pl+P2+⋯+p。)(p1戈}+p2x；+⋯+p，∥：)，此处Pf ∈R+，％∈R；从中，构造：(去+专+导)2=‘≯1·戈 1 8 2、2 ，1 1 8、，1 ， 1 +7’y+7‘i广≤(≯+≯+孑)(≯’矿+≯ ’)，2+孑8·百Z2)=4(喜+≯1+78)，于是喜+孑1+孑8 ≥{({+专+詈)2． 生5：还可用方差法‘8I，i1，了1，了2，i2这四个实数 的方差： s2=百1H孑1+孑1+孑4+74)一i1(i1+专+号 +号)2]≥o，故去+了1+78≥{({+专+导)2． 师：依恒等式(a2+b2+c2)(m2+n2+12)：(Ⅱm +bn+c1)2+(an—bm)2+(bf—cn)2+(cm一Ⅱ1)2． 不难知(1+1+2)({+11+{)：(上+1+鱼)2 +({一÷)2+2(÷一呈)2+2(---2一上)2，同样获证；X ～ 1 Z z x JtD'b，依凡妻口；≥(妻ni)z；或亟生每二盛 ≥(旦±卫≮}二上当)z；或依无理不等式^+ v厂夏+⋯+／瓦≤√i瓦■Fi了_。瓦等，均可 证得 一1+击+78≥丢(÷+～1X2 Y+导)2一+≯+7≥百Li+～+i厂 (群情激昂，兴趣倍增)． 3 最任解法探讨 3．1 其他解法思路 师：不要被第一种解题思路所束缚，应进一步 探究去+了1+j8与专+专+导的其他关系；继而，戈‘ V。 z‘ 戈 y 彳 打开思路，异想天开，觅求最佳解法． 生6：从≯1+16≥i8；≯1+16≥了8；孑8+32≥ 3。2,蒯2A戈．+≯1+78+64≥8(去+专+导)． 生，：构造非负数(上一4)2+(上一4)z+2(2一 Z V Z 4)2≥o，发现去+≯1+78≥8(÷+1v+导)一64． 生s：我发现由8({+了1+导)≥8×16，通过简 单变形、配方，要得去+≯1+78≥64+({一4)2+Z‘ V。 2‘‘ 戈 (专一4)2+2(2。一4)2，从而去+≯1+78≥64． 生9：构造非负式({一4)2+(上一4)2+2(2一 咒 V Z 4)2+8[(F1—4^)2+(≠一46)2+(吾一4,,ffz)z] ～x N～ Nz ≥o，竞一举可得丢+了1+18≥64，这里的8，经过戈。 V‘ Z。‘ 两次挫折才最终获得． 生l。：考虑壶+64戈+64戈≥48；≯1+64y+64y ≥48；薹+64z+64z≥96；叠加得， ≯1+≯1+孑8≥192—128(戈+y+。)=64． +菇+面1)+(y+y+一rly2)+(z+z+丢)≥寿 +寿+寿=历12，解3≥历12，知≯1+71+78=r ≥64． (此法甚妙，不妨称为“1+1+1=3法”) 生12：由文[3]权方和不等式筹+筹+．．·+≤≥鲁b蕞b等b舯nf，垤R+，m6等 声 ( 1+2+⋯+n)m’批。“‘’ui(n√“ >o，或m<一l，于是去+≯1+18=≯13+≯13Z+享石‘ V‘ 。 并。 V‘ Z‘ = b l = + ) ¨ 旦≯ 0 + =土严 3 + 则上铲8一≯，一r + +●一严0 卜 + 上严 吖 = 戈 r ● 设 0 ¨ + 生 y+咒 万方数据 2005年第44卷第7期 数学通报 5l ≥9盟上弯：了64：64．≥百了丽2丁2‘ (研讨会顿时沸腾了，欢呼雀跃) 师：这是最佳解法，只是不太熟悉．后几种 解法也不失为较优解法． 4 受阻解法探讨 生·：我构造：‘≯1+71+≯8)(并+y+z)=(÷ +上+导)+({+警+{+粤+{+弓)，不知 Y o Y‘ Z‘ 石‘ Z‘ x。 Y‘ 还能证否? 师：能证．只须注意符号成立条件菇=y=古， ；=虿1；其中{+号+4。≥t6；而号+砉+孝 =(÷+16二)+(16戈+16y+拳+麦)一16 ≥16+16一16=16；又爹+笋+砉+砉 ：(警+警+{+专+32戈+32y十16。+16：)一207+7+≯+≯+戈+ y十 。+ 。，一 32≥≈爹·虹Z2z1．vz。．32x．32y·(16扩_32 =64—32=32；于是，≯1+≯1+78≥16+16+32掣。 1，“ ，。 =64，解法受阻，得以排除． 生z：‘≯1+≯1+孚)(x+y+z)2=10+≯X2+了8x2 +zX2+擎+≯Z．2+≯Z2+2(考+yx+等+蒡+yz +班+，z+了Z,3C+譬)，硬做下去，却没能证得{+11 Z 戈 V‘ 戈 X‘ V‘ +≯8≥“．怎么办? 师：分步证得：(等+薯)+2(亨+考)I>6；其余V。 戈。 y 戈 各项，獭Ⅱ裂项变形：8了x2+蛭Z2+2(妄+孬Z2+堕2 +著+笋+詈+手)+4(警+警)≥24‘ ．7骘．骘琶．笔．粤．{．号．三．羔罗．(坐．垒y～孑孑K妒z2妒伊戈Y7、。z7 ：24·2：48,于是丢+了1+j8≥10+6+48：64； 戈‘ V。 Z‘ 受阻得以排除，奥妙在于紧紧抓住等号成立的条件 戈=)，={，z=吉，此时，以上24项都为2；而李= ≤：鱼：上：1．还有更妙方法：(丢+11+{)(戈 戈。 Y z 石。 v‘ z‘ +)，+。)2=‘≯1+≯1+≯4+≥)(戈+y+号+iz)2 ≥4汀．(4浮4)2=”捌位1 5解题规律探讨 师：在2．2节，生12、生。、生2、生3、生4分别构建二 次函数厂(￡)≥0；向量不等式；Cauchy不等式；∑．x5， ≥(∑戈。)2／∑Yi；以及(∑pixi)2≤∑P；·∑p∥； 这5种方法巧妙推证≥+≯1+了8≥{({+专+ 鱼)2，其实也均可妙证上+上+鱼≥16(留给读者 z ^ ， ‘ 完成)．这5种不等式是彼此相容的．巧用厂(t)≥0 及向量不等式，均可简洁推证Cauchy不等式， ∑誓2≥乓挲，及(∑PiXi)：≤∑旷∑pix；； 几 厶竹 而后3个不等式又可互相推证．这5种证法可构成 一个解题规律．换言之，倘若某一数学问题可巧用5 种解法之一予以解证，则其余4种解法也能予以解 证． 6 拟题初步探讨 师：“问题是数学的心脏”．一个是解决问题，一 个是提出问题，即“解题”与“拟题”．大家会编拟新 题吗? 生，：若x,y,z∈R+，算+y+。=1，则丢+≯1 +萼≥125． 生。：注意到≯13+了23+≯33≥芝筹= 216，改为“求之+{+127的最小值”更叫绝2 参考文献 [11 孔大志．条件“z+Y=1”下去+—专的最小值．中学数学．“ ， 2002，9 [2] 黄宝玲，孙建斌．条件“z+Y”=1下一类分式函数最值再 探．中学数学．2003，12 [3] 徐彦明．也谈一类条件最小值问题．中学数学．2004，5 [4] 梁守赛，孙建斌．研究小规律，巧解竞赛题．中学数学．2002，11 [5]李建新，孙建斌，构造向量求函数最值．中学数学月刊． 2003．3 [6] 孙建斌．一道分式不等式的新证及改进．中学数学．1998，1 [7] 黄生顺．利用判别式解决一类不等式问题．数学通报．1998，7 [8] 敬加义．方差的解题功能．数学教学研究．2001，1 万方数据 要重视数学问题的解题思路解题规律研究——《数学通报》 数学问题1504题的解法探讨 作者： 孙建斌， 黄宝玲 作者单位： 孙建斌(福建泉州市永春县科委,3626000)， 黄宝玲(福建泉州市丰泽区职专,362000) 刊名： 数学通报 英文刊名： BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)： 2005，44(7) 被引用次数： 1次 参考文献(8条) 1.孔大志 条件"x+y=1"下1/xn+1/yn的最小值[期刊论文]-中学数学 2002(09) 2.黄宝玲.孙建斌 条件"x+y"=1下一类分式函数最值再探[期刊论文]-中学数学 2003(12) 3.徐彦明 也谈一类条件最小值问题[期刊论文]-中学数学 2004(05) 4.梁守赛.孙建斌 研究小规律,巧解竞赛题[期刊论文]-中学数学 2002(11) 5.李建新.孙建斌 构造向量求函数最值[期刊论文]-中学数学月刊 2003(03) 6.孙建斌 一道分式不等式的新证及改进 1998(01) 7.黄生顺 利用判别式解决一类不等式问题 1998(07) 8.敬加义 方差的解题功能[期刊论文]-数学教学研究 2001(01) 引证文献(1条) 1.孙建斌 "代表法":一类代数不等式的统一新证[期刊论文]-中学数学教学 2007(4) 本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxtb200507020.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：8864a6ed-c560-4f9c-a70f-9dc9016a618e 下载时间：2010年8月5日