集合、命题、充要条件

中国特级教师复习方法指导〈数学复习版〉 1． 集合、命、充要条件 (1) 基础知识自测题： 1． 集合常用的述方法有列举法或描述法。 2．一个集合里的各个对象叫做这个集合的元素；集合中的元素具有的特性是确定性、互异性、无序性。 2． 写出课本中使用的数集的符号：自然数集 N ；整数集 Z ；有理数集 Q ；无理数集 Q ；实数集 R ；非负实数集 。 3． 若集合A＝{x| |x|≤1,x∈Z}, B＝{y| y2＝x, y∈R}，当x∈A时, 集合B用列举法表示是 。 4． 非空集合P、Q、R满足关系P∪Q＝Q，Q∩R＝Q，则P与R的关系是（ B ）。 （A）P＝R （B） （C） （D） 5． 如果B成立，那么A成立，或者如果A不成立，那么B不成立，就说条件A是B成立的必要条件。 6． 已知A、B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件； 是 的充分条件。 7． 设X、Y是两个非空集合，则元素a∈(X∪Y)是a∈(X∩Y)的（ B ）。 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）不充分不必要条件 二．基本要求： 1． 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义。 2． 了解属于、包含、相等的关系，能掌握有关的基本术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合。 3． 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义能够初步判断给定的两个命题的充要关系。 例1． 集合{1, 2, 3, 4}的非空真子集的个数是 14 个。 解：由四个元素中分别取1个、2个或3个元素组成的集合种数是 ＝14。 评注：用组合数的思想解决集合子集的个数问题。若题目中没有“非空”与“真” 这样的限制条件，则子集的数目应是24＝16个。 例2． 若A＝{2, 4, a3－2a2－a＋7}, B＝{－4, a＋3, a2－2a＋2, a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B＝{2, 5},求实数a的值，并求出A∪B。 解：∵A∩B＝{2, 5}， ∴5∈A，则a3－2a2－a＋7＝5，解得a1＝－1, a2＝1, a3＝2. 当a＝－1时, B＝{－4, 2, 5, 4}, A∩B＝{2, 4, 5},不合题意，舍去； 当a＝1时, B＝{－4, 4, 1, 12}, A∩B＝{4}, 不合题意，舍去； 当a＝2时, B＝{－4, 5, 2, 25}, A∩B＝{2, 5}, A∪B＝{－4, 2, 4, 5, 25}。 评注：运用列举法，把a的各种可能都求出，逐一代入验证，找到正确答案。 例3．设全集I＝{x| x是不大于20的质数}，且A∩ ＝{3, 5}, ∩B＝{7, 19}, ∩ ＝ {2, 11}, 求集合A、B。 解：I＝{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19},∵ ∩B＝{7, 19}且 ∩ ＝{2, 11}, ∴集合A中不含有元素2，7，11，19，同理集合B中不含有元素2，3，5，11，∴A＝{3, 5, 13, 17}, B＝{7, 13, 17, 19}。 评注：根据原集合的补集中含有的元素一定不是原集合中 的元素可以画出文氏图表明集合关系。 例4．已知h>0，设命题甲为：两个实数a, b满足|a－b|<2h, 命题乙为：两个实数a, b满足条件|a－1|0}，B＝{x| |x－3|>4}，且A∩B＝φ，则C的取值范围是（ D ）。 （A）c>2 （B）c≤2 （C）01或0<|a|<1 （C）a>1 （D）a>1或a<0 10．非零集合P满足下列条件：① P {1, 2, 3, 4, 5}; ② 若元素a∈P,则6－a∈P，那么集合P的个数是（B）。 （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 (二) 填空题： 11．已知x, y∈R，A＝{(x, y)| x2＋y2＝1}，B＝{(x, y)| ＝1, a>0, b>0}, 当A∩B只有一个元素时，a, b的关系是 12．集合M＝{x, xy, lg(xy)}，N＝{0, |x|, y}，且M＝N，则实数x＝ －1 , y＝ －1 。 13．设集合A＝{长方体}，B＝{正四棱柱}，则“x∈A”是“x∈B”的 必要不充分 条件。 14．设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 既不充分也不必要 条件。 15.设集合A＝{2, 3, a2＋1}，B＝{a2＋a－4, 2a＋1, － }，A∩B＝{2}，则实数a＝ －3 . 16．已知I＝{(x, y)| x∈R, y∈R}，A＝{(x, y)| ＝－1}, B＝＝{(x, y)| y＝kx＋b}, 若A∪B＝B，则实数k的值为 －1 ，实数b的值为 －4 . 17．若a, b是非零实数，m＝ ，则数m的集合是 {1, －3} . (三) 解答题： 18．A是方程x2－px＋15＝0的解集，B是方程x2－5x＋q＝0的解集，又A∪B＝{2, 3, 5}, A∩B＝{3}，求p、q的值及集合A、B。 解：A＝{3, 5}, B＝{2, 3}, p＝3＋5＝8，q＝2×3＝6. 19．已知全集I＝R，集合A＝ , B＝{x| 102 lg x＋4x－log 2 32>0}, C＝{x| x－a≤0},试求a，同时满足(A∪B)∩C＝φ和(A∪B)∪C＝R。 解：A＝{x| 02}，B＝{x| x>1}，∴ A∪B＝{x| x>0}, 又(A∪B)∩C＝φ，(A∪B)∪C＝R ，∴A∪B＝ , ∴a＝0 20．已知集合A＝{(x, y)| y＝－x2＋nx－1}，B＝{(x, y)| x＋y＝3, 0≤x≤3}，若A∩B是单元素集，求实数n的取值范围。 解：∵A∩B是单元素集，∴ 方程组 只有一组解， 即方程x2－(n＋1)x＋4＝0在0≤x≤3内仅有一解， ① 当f (0)f (3)<0时, 得n> ; ② 当f (3)＝0时, 得n＝ ; ③ 当△＝0时, 解得n＝3或n＝－5(舍去)， 综上得n≥ 或n＝3 21．设a, b是两个实数，A＝{(x, y)| x＝m, y＝na＋b, m是整数}，B＝{(x, y)| x＝n, y＝3n2＋15, n是整数}，C＝{(x, y)| x2＋y2≤144}是平面XOY内点的集合，讨论是否存在a和b，使得 (1) A∩B≠φ; (2) (a, b)∈C同时成立。 解：若存在a, b使A∩B≠φ成立,则必有整数m, n使得m＝n, 且ma＋b＝3n2＋15成立, 即 na＋b－(3n2＋15)＝0, 又(a, b)∈C ,∴ a2＋b2≤144, 两式联立，消去b得 (1＋n2)a2－2n(3n2＋15)a＋(3n2＋15)2－144＝0, △＝4n2(3n2＋15)2－4(1＋n2)[ (3n2＋15)2－144] ＝4n2(3n2＋15)2－4n2(3n2＋15)2＋4n2·(144)－4·(3n2＋15)2＋4·144 ＝－36n4＋216n2－324 ＝－36(n2－3)2<0, 这表明符合题意的实数a, b是不存在的。 22．已知集合A＝{x| ≤0}，B＝{x| x2－(a2＋1)x＋a2<0}，且B A，求实数a的取值范围。 解：集合A＝{x| －1≤x<2}, 方程x2－(a2＋1)x＋a2＝0的两根为x1＝1, x2＝a2, 当|a|>1时, 集合B＝{x| 1