2008届第一次六校联考数学试题（理）（广州深圳中山珠海惠州）

．（用数值作答） 10．在 中， ， ， 是边 的中点，则 ∙ = ． 11．已知正实数 满足等式 ，给出下列五个等式① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，其中可能成立的关系式是 （填序号） 12．在如下程序框图中，已知： ，则输出的是_________ _. 13.（坐标系与参数方程选做题）设直线参数方程为 （ 为参数），则它的截距式方程为 。 14．（不等式选讲选做题）函数 的最大值是 。 15．（几何选讲选做题）如图AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=4，PB=2。则⊙O的半径等于 ； 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分12分） 在 中， 分别是三个内角 的对边．若 ， ，求 的面积 ． 17．（本题满分12分） 有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜. （1）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望； （2）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？ 18．（本题满分14分） 如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ)求证：OD∥平面PAB； (Ⅱ)当k＝ 时，求直线PA与平面PBC所成角的大小； (Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？ 19．（本题满分14分） 设 ，求满足下列条件的实数 的值：至少有一个正实数 ，使函数 的定义域和值域相同。 20．（本题满分14分） 设⊙ ，⊙ ⊙ 是圆心在抛物线 上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为 ，已知 ，⊙ 都与 轴相切，且顺次逐个相邻外切 （1）求由 构成的数列 的通项公式； （2）求证： 21．（本题满分14分） 过点 作直线交圆M： 于点B、C，在BC上取一点P，使P点满足： , （1）求点P的轨迹方程； （2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求 面积的最大值。 2008届第一次六校联考 高三数学（理科）试卷 答题卷 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 二、填空题： 9、 ；10、 ；11、 ；12、 ； 13、 ；14、 ；15、 。 16．（本题满分12分） 在 中， 分别是三个内角 的对边．若 ， ，求 的面积 ． 17．（本题满分12分） 有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜. （1）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望； （2）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？ 18．（本题满分14分） 如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ)求证：OD∥平面PAB； (Ⅱ)当k＝ 时，求直线PA与平面PBC所成角的大小； (Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？ 19．（本题满分14分） 设 ，求满足下列条件的实数 的值：至少有一个正实数 ，使函数 的定义域和值域相同。 20．（本题满分14分） 设⊙ ，⊙ ⊙ 是圆心在抛物线 上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为 ，已知 ，⊙ 都与 轴相切，且顺次逐个相邻外切 （1）求由 构成的数列 的通项公式； （2）求证： 21．（本题满分14分） 过点 作直线交圆M： 于点B、C，在BC上取一点P，使P点满足： , （1）求点P的轨迹方程； （2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求 面积的最大值。 2008届第一次六校联考 高三数学（理科）试卷答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D C C D A A 二、填空题： 9、 75 ；10、 ；11、 ②④⑤ ；12、 ； 13、 ；14、 2 ；15、 3 。 16．（本题满分12分） 在 中， 分别是三个内角 的对边．若 ， ，求 的面积 ． 16．解： 由题意，得 为锐角， ， 3分 ， 6分 由正弦定理得 ， 9分 EMBED Equation.3 ． 12分 17．（本题满分12分） 有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜. （1）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望； （2）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？ 17．解：（1）设红色骰子投掷所得点数为 ，其分布如下： 8 2 P ；………………………………………………4分 设蓝色骰子投掷所得点数 ，其分布如下； 7 1 P ………………………………8分 （2）∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子者若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7， 红色骰子点数为2.∴投掷蓝色骰子者获胜概率是 …………12分 18．（本题满分14分） 如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ)求证：OD∥平面PAB； (Ⅱ)当k＝ 时，求直线PA与平面PBC所成角的大小； (Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？ 解：解法一 (Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又PA 平面PAB, ∴OD∥平面PAB. 3分 (Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC. 取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC ∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角. 又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF. 在Rt△ODF中,sin∠ODF= , ∴PA与平面PBC所成角为arcsin 4分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC内的射影. ∵D是PC的中点,若F是△PBC的重心,则B、F、D三点共线,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1..反之,,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心. 5分 解法二： ∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP. 以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A( a,0,0). B(0, a,0),C(- a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h). (Ⅰ)∵D为PC的中点,∴ 又 ∥ , ∴OD∥平面PAB. (Ⅱ)∵k= 则PA=2a,∴h= ∴ 可求得平面PBC的法向量 ∴cos . 设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=|cos( )|= . ∴PA与平面PBC所成的角为arcsin . (Ⅲ)△PBC的重心G( ),∴ =( ). ∵OG⊥平面PBC,∴ 又 ∴ , ∴h= ,∴PA= ,即k=1,反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥. ∴O为平面PBC内的射影为△PBC的重心. 19．（本题满分14分） 设 ，求满足下列条件的实数 的值：至少有一个正实数 ，使函数 的定义域和值域相同。 解：（1）若 ，则对于每个正数 ， 的定义域和值域都是 故 满足条件； 3分 （2）若 ，则对于正数 ， 的定义域为 EMBED Equation.3 ， 5分 但 的值域 ， 故 ，即 不合条件； 8分 （3）若 ，则对正数 ， 的定义域 由于此时 ，故 的值域为 11分 则 EMBED Equation.3 13分 综上所述： 的值为0或 14分 20．（本题满分14分） 设⊙ ，⊙ ⊙ 是圆心在抛物线 上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为 ，已知 ，⊙ 都与 轴相切，且顺次逐个相邻外切 （1）求由 构成的数列 的通项公式； （2）求证： 。 解：（1）设相邻两圆心为 ，相应的半径为 ，则 。如图，作 于 ，则 ， 3分 即 ， ， 6分 为等差数列，公差为2， 。 8分 （2） 11分 14分 21．（本题满分14分） 过点 作直线交圆M： 于点B、C，在BC上取一点P，使P点满足： , （1）求点P的轨迹方程； （2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求 面积的最大值。 21解：（1）令 ，因为 , 所以 ① 2分 设过A所作的直线方程为 ，（显然 存在） 又由 得 4分 代入①，得 消去k，得所求轨迹为 ，（在圆M内部） 7分 （2）上述轨迹过为定点（ ）的直线在圆M内部分 ,由 得 则 9分 11分 令 ，则 ，而函数 在 时递增， 12分 ，此时 ，（1）中P的轨迹为 14分 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� ………………6分 ………………2分 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 否 是 开始 输入f 0 (x ) � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 结束 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ���=2008 输出 f i (x) PAGE 14 _1242885434.unknown _1250253119.unknown _1250256749.unknown _1250315128.unknown _1250315870.unknown _1250317282.unknown _1250317494.unknown _1250317836.unknown _1250336527.unknown _1250336701.unknown _1250317813.unknown _1250317472.unknown _1250316198.unknown _1250316364.unknown _1250316403.unknown _1250316550.unknown _1250316551.unknown _1250316439.unknown _1250316385.unknown _1250316345.unknown _1250316033.unknown _1250316034.unknown _1250315930.unknown _1250315599.unknown _1250315700.unknown _1250315796.unknown _1250315698.unknown _1250315355.unknown _1250315422.unknown _1250315195.unknown _1250315330.unknown _1250314451.unknown _1250314834.unknown _1250314990.unknown _1250315014.unknown _1250314986.unknown _1250314880.unknown _1250314659.unknown _1250314686.unknown _1250314695.unknown _1250314663.unknown _1250314560.unknown _1250314649.unknown _1250257054.unknown _1250257281.unknown _1250314440.unknown _1250257251.unknown _1250256946.unknown _1250257002.unknown _1250256818.unknown _1250253360.unknown _1250253598.unknown _1250256657.unknown _1250256711.unknown _1250253722.unknown _1250253432.unknown _1250253571.unknown _1250253167.unknown _1250253278.unknown _1250253311.unknown _1250253219.unknown _1250253150.unknown _1248873931.unknown _1250186754.unknown _1250191167.unknown _1250191580.unknown _1250191977.unknown _1250192384.unknown _1250233398.unknown _1250233481.unknown _1250192082.unknown _1250191815.unknown _1250191429.unknown _1250191535.unknown _1250191233.unknown _1250191324.unknown _1250191096.unknown _1250191141.unknown _1250188956.unknown _1250186781.unknown _1250178574.unknown _1250178808.unknown _1250178852.unknown _1250178871.unknown _1250178832.unknown _1250178787.unknown _1250178547.unknown _1250167938.unknown _1250168089.unknown _1250168119.unknown _1250168303.unknown _1250168023.unknown _1250082499.unknown _1248876270.unknown _1243057685.unknown _1243057951.unknown _1243143490.unknown _1243145133.unknown _1243145142.unknown _1243143345.unknown _1243143353.unknown _1243143465.unknown _1243057965.unknown _1243057912.unknown _1243057926.unknown _1243057880.unknown _1243057458.unknown _1243057656.unknown _1243057669.unknown _1243057677.unknown _1243057594.unknown _1243057604.unknown _1243057625.unknown _1243057463.unknown _1243057305.unknown _1243057448.unknown _1242885438.unknown _1242885442.unknown _1186663467.unknown _1209500505.unknown _1240838892.unknown _1242885426.unknown _1242885431.unknown _1241097249.unknown _1240839045.unknown _1240743429.unknown _1240743614.unknown _1240743636.unknown _1240743295.unknown _1217447418.unknown _1186671797.unknown _1186674368.unknown _1186674623.unknown _1186814272.unknown _1186814312.unknown _1186674796.unknown _1186675384.unknown _1186674687.unknown _1186674505.unknown _1186674570.unknown _1186674483.unknown _1186672264.unknown _1186672331.unknown _1186671944.unknown _1186671506.unknown _1186671540.unknown _1186671273.unknown _1186671388.unknown _1186665575.unknown _1186665615.unknown _1186663583.unknown _1172050146.unknown _1172050397.unknown _1186662439.unknown _1176703387.unknown _1172050164.unknown _1172050289.unknown _1172050159.unknown _1076948141.unknown _1172049938.unknown _1172049983.unknown _1172050065.unknown _1172050118.unknown _1172049998.unknown _1172049970.unknown _1130434280.unknown _1157367658.unknown _1104219687.unknown _1104219781.unknown _1104219658.unknown _1076910857.unknown