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nullnullnullnull考纲解读 1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题． 考向预测 1．以选择、填空题的形式考查线与面、面与面平行关系的判定与性质定理的内容. 2．在解答题中，除考查判定与性质定理外，还考查空间想象能力、逻辑推理能力．nullnull知识梳理 1．直线与平面的位置关系 直线a和平面α的位置关系有 、 、 ，其中 与 统称直线在平面外． 2．直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面 ，称这条直线与这个平面平行；平行相交在平面内平行相交没有公共点nullnullnull基础自测 1．(2010·山东理)在空间，下列命题正确的是(　　) A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 []　D [解析]　对于A，平行直线的平行投影可能平行，也可能重合，对于B、C，结合正方体图形可知都是错误的．null[答案]　Anull3．(2009·福建理，7)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是(　　) A．m∥β且l1∥α　　　　B．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2null[答案]　B [解析]　本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础知识． 易知选项A、C、D推不出α∥β，只有B可推出α∥β，且α∥β不一定推出B， ∴B项为α∥β的一个充分而不必要条件，选B.nullnull[分析]　本题是研究直线与平面的平行与垂直关系的问题，解答时注意选择合适的图形来说明，还要能举出反例． [答案]　C [解析]　①错误，三个平面可以两两相交且交线互相平行；④错误，a，b相交时结论才成立．nullnullnull[答案]　①② [解析]　本题主要考查平面间的位置关系．考查学生对知识的掌握程度． ①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β是正确的；②由线面平行判定定理知②正确；③由α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，不能推出α和β垂直；③不正确；④直线l与α垂直能够推出l与α内的两条直线垂直，而l与α内的两条直线垂直不能推出直线l与α垂直，∴④不正确．null6．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.null[答案]　M∈线段FH [解析]　因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，又平面NHF∩平面EFGH＝FH.故线段FH上任意点M与N相连，有MN∥平面B1BDD1，故填M∈线段FH.null7．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，求证：平面ACD′∥平面A′BC′.null[证明]　∵正方体ABCD－A′B′C′D中，AD′∥BC′，CD′∥A′B， 又∵AD′∩CD′＝D′，BC′∩A′B＝B， ∴平面ACD′平面A′BC′.nullnullnull[分析]　根据平行关系和判定，逐条确定． [解析]　若m∥α，则m平行于过m所作平面与α的交线，并非α内任一条直线，故①错； 若α∥β，mα，nβ，则可能m∥n，也可能m、n异面，故②错；null[答案]　③④ [点评]　证明线、面平行关系，其主要依据为线面平行的定义、定理、推理等．nullnull[答案]　Dnullnull　[例2]　已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ. 求证：PQ∥平面CBE.nullnullnullnullnullnull 如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点． 求证：BD1∥平面C1DE.null[分析]　本题考查线面平行的判定定理及性质定理的应用，考查推理论证能力实践能力及“转化”这一数学思想的应用．“由已知想性质，由求证想判定”是证明该类问题的基本思路． [证明]　证法一：连接CD1交DC1于F，连接EF， ∵F是CD1中点，E为BC中点， ∴EF∥BD1，又EF⊂平面C1DE，BD1⊄面C1DE， ∴BD1∥平面C1DE.nullnull[例3]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、SC和DC的中点，点P在线段FG上． (1)求证：平面EFG∥平面SDB； (2)求证：PE⊥AC.null[解析]　(1)∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点， ∴EF∥SB，EG∥BD. ∵EF⃘平面SBD，EG⃘平面SBD， ∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD. ∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB. (2)∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B. 又∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. ∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD. 又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG. ∵PE平面EFG，∴PE⊥AC. null[点评]　面面平行的关键是在其中一个平面内找出两条相交直线和另一个平面平行．null如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD. 求证：EF∥β. null[分析]　首先要注意两直线AB、CD的位置关系，当AB、CD共面时，可用平行线分线段成比例定理证明EF∥BD，进而证明EF∥β；当AB、CD不共面时，可设法证明EF所在的平面与平面β平行． [证明]　①当AB，CD在同一平面内时， 由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD， ∴AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD. 又EF⃘β，BDβ，∴EF∥β.null②当AB与CD异面时，如图． 设平面ACD∩β＝DH，取DH＝AC. ∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC， ∴AC∥DH.连接AH， ∴四边形ACDH是平行四边形．null在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD， 连接EG、FG、BH. 又∵AE∶EB＝CF∶FD， ∴GF∥HD，EG∥BH. 又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面β. ∵EF平面EFG，∴EF∥β.综上，EF∥β.null[点评]　面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合应用，解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题，如在本例的第二种情况中，面面平行→线面平行→平行四边形→线面平行→面面平行→线面平行.nullnull(1)证明：PA⊥平面ABCD； (2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？如果存在，请求出此时PF∶FC的值；如果不存在，请说明理由． [解析]　(1)因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a. 在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2，知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.null(2)连接BD，则平面PBD与平面AEC的交线为EO，在△PBD中作BM∥OE交PD于M，则BM∥平面AEC，在△PCE中过M作MF∥CE交PC于F，则MF∥平面AEC，故平面BFM∥平面AEC，所以BF∥平面AEC，F点即为所求的满足条件的点．由条件O为BD的中点可知，E为MD的中点． 又由PE∶ED＝2∶1，∴M为PE的中点，又FM∥CE，故F是PC的中点，∴此时PF∶FC＝1.nullnull(1)求证：CD⊥平面SAE； (2)侧棱SB上是否存在点F，使得CF∥平面SAE？并证明你的结论． [分析]　(1)先利用勾股定理和线面垂直判定定理证明直线SA⊥底面ABCD，再证明直线EA⊥CD，证明直线与平面垂直时，必须证明直线与平面内的两条相交直线垂直. (2)先回答问题，再证明充分条件．探究的点往往是特殊点(中点)．null[证明]　(1)∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴AB＝AC＝AD＝2，∴△ACD为正三角形． 又E为CD的中点，∴CD⊥AE. ∵SA＝AB＝AD＝2，SB＝SD＝2， 则有SB2＝SA2＋AB2，SD2＝SA2＋AD2， ∴SA⊥AB，SA⊥AD. 又∵AB∩AD＝A，∴SA⊥底面ABCD，∴SA⊥CD. 由CD⊥AE，SA⊥CD，AE∩SA＝A，∴CD⊥平面SAE.null(2)侧棱SB上存在点F，当F为SB的中点时，使得CF∥平面SAE.null证明：取SA的中点N，连NF，NE， ∵F为SB的中点，∴FN綊AB， 又E为CD的中点，AB∥CE， ∴FN綊CE，∴CFNE为平行四边形， ∴CF∥EN， 又∵EN⊂平面SAE，CF⊄平面SAE， ∴CF∥平面SAE. 即当F为侧棱SB的中点时，CF∥平面SAE.nullnull1．直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的转化关系 (1)线面平行是空间中平行关系的核心，是高考考查的重点，在应用线面平行的判定定理证明线面平行时要在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，在找(或作)这一直线时，由线面平行的性质定理知，在平面内和已知直线共面的直线才和已知直线平行，所以要通过平面来找(或作)这一直线． (2)在应用其他判定定理和性质定理时，要注意充分利用条件构造定理的题设，在分析思路时也要以定理作为指导，将空间问题转化为平面问题．null2．证明直线和平面平行的方法有： ①依定义采用反证法； ②判定定理法(线∥线⇒线∥面)． ③面面平行性质定理(面∥面⇒线∥面)． 3．证明平面和平面平行的方法有： ①依定义采用反证法； ②判定定理法(线∥面⇒面∥面)． ③推论(线∥线⇒面∥面)．nullnull 请同学们认真完成课后强化作业