数学中的运动哲学-函数的故事

数学中的运动哲学 ──函数的故事 永恒运动着的世界 天地之间的万物都在时间长河中流淌着，变化着。从过去变化到现在， 又从现在变化到将来。静止是暂时的，运动却是永恒！ 大概再没有什么能比闪烁在天空中的星星，更能引起远古人的遐想。他 们想象在天庭上有一个如同人世间繁华的街市，那些本身发着亮光的星宿一 直忠诚地守护在天宫的特定位置，永恒不动的。后来，这些星星便区别于月 亮和行星，称之为恒星。其实，恒星的称呼是不确切的，只是由于它离我们 太远了，以至于它们之间的任何运动，都慢得使人一辈子感觉不出来！ 北斗七星，是北天最为明显的星座之一。在北天的夜空是很容易辨认的。 大概所有的人一辈子见到的北斗七星，总是如同上页图那般形状。人的 生命太短暂了！几十年的时光，对于天文数字般的岁月，是几乎可以忽略不 计的！然而有幸的是：现代科学的进展，使我们有可能从容地追溯过去和精 确地预测将来。左图的（1）、（2）、（3）是经过测算，人类在十万年前、 现在和十万年后应该看到和可以看到的北斗七星，它们的形状是大不一样 的！ 不仅天在动，而且地也在动。火山的喷发，地层的断裂，冰川的推移， 泥石的奔流，这一切都还只是局部的现象。更令人不可思议的是；我们脚下 站立着的大地，也像水面上的船只那样，在地幔上缓慢地漂移着！ 由此可见，这个世界的一切量，都跟随着时间的变化而变化。时间是最 原始的自行变化的量，其他量则是因变量。一般地说，如果在某一变化过程 中有两个变量X，y，对于变量X在研究范围内的每一个确定的值，变量y都 有唯一确定的值和它对应，那么变量X就称为自变量，而变量y则称为因变 量，或变量X的函数，记为： y＝f（x） 函数一语，起用于公元1692年，最早见自德国数学家莱布尼兹的著作。 记号 f（x）则是由瑞士数学家欧拉于公元 1724年首次使用的。上面我们所 讲的函数定义，属于德国数学家黎曼（Riemann，1826～1866）。我国引进函 数概念，始于1859年，首见于清代数学家李善兰（1811～1882）的译作。 一个量如果在所研究的问题中保持同一确定的数值，这样的量我们称为 常量。常量并不是绝对的。如果某一变量在局部时空中，其变化是那样地微 不足道，那么这样的量，在这一时空中便可以看成常量。例如读者所熟知的 “三角形内角和为 180°”的定理，那只是在平面上才成立的。但绝对平的 面是不存在的。即使是水平面，由于地心引力的关系，也是呈球面弯曲的。 然而，这丝毫没有影响广大读者，去掌握和应用平几的这条定理！又如北斗 七星，它前十万年与后十万年的位置是大不相同的。但在近几个世纪内，我 们完全可以把它看成是恒定的，甚至可以利用它来精确判定其他星体的位 置！ 谈“守株待兔” 《守株待兔》这则寓言，出自先秦著作《韩非子》。家喻户晓，至今已 经流传了二千二百多年。 两千年来，人们一直认为“待兔”不得，罪在“守株”！其实，抱怨“守 株”是没有道理的。问题的关键在于兔子的运动规律。如果通往大树的路是 兔子所必经的，那么‘守株”又将何妨？ 然而世界是一个不断运动的世界。兔子的活动，在时空的长河中，划出 一条千奇百怪的轨迹，希望这条轨迹能与树木在时空中的轨线再次相交，无 疑是极为渺茫的，因此，这正是这位农人悲剧之所在！ 下面一则更为精妙的例子，可以使人们生动地看到问题的症结。 意大利文艺复兴时期的艺术大师列奥纳多·达·芬奇（Le- onardo da Vinci， 1452～1519）曾提出过一个饶有趣味的“饿狼扑兔”问题： 一只兔子正在洞穴（C）南面60码的地方（o）觅食，一只饿狼此刻正在 兔子正东100码的地方（A）游荡。兔子回首间猛然遇见了饿狼贪婪的目光， 预感大难临头，于是急忙向自己的洞穴奔去。说时迟，那时快，恶狼见即将 到口的美食就要失落，立即以一倍于兔于的速度紧盯着兔子追去。于是，狼 与兔之间，展开了一场生与死的惊心动魄的追逐。 问：兔子能否逃脱厄运？ 有人作过以下一番计算： 以O为原点，OA，OC分别为 X，Y轴，以 1码为单位长。则 OA＝100， OC＝60。根据勾股定理，在Rt△AOC中 AC OA CO= + = + =2 2 2 2100 60 116 6. 这意味着；倘若饿狼沿AC方向直奔兔子洞穴，那么由于兔子速度只有狼 速度的一半，当饿狼到达兔穴洞口时，兔子只跑了 116. 6＋ 2＝ 58. 3码 距离，离洞口尚差 1. 7码。这时先行到达洞口的饿狼，完全可以守在洞口， “坐等”美餐的到来！ 以上计算似乎天衣无缝，结论只能是兔子厄运难逃。可实际上这是错误 的！饿狼不可能未卜先知地直奔兔穴洞口去“坐守”，它的策略只能是死死 盯住运动中的兔子，这样它本身也就运动成一条曲线，这条曲线可以用解析 的方法推导出来： y x x= - + 1 30 10 200 3 3 2 1 2 当 时，代入上式得 ＝x = 0 y 66 2 3 这意味着，如若北边没有兔子洞，那么当兔子跑到离原点 码的 点时，66 2 3 B 恰被饿狼逮住。然而有幸的是，兔子洞离原点仅有60码，此时此刻兔子早已 安然进洞了！ 随着“饿狼扑兔”谜底的解开，“守株待兔”问题似乎明朗了。不料， 后来又有人提出异议，对《守株待兔》故事的真实性表示怀疑，机灵的兔子 怎么会自己撞到偌大的树桩上去？它那两只精灵的大眼睛干什么去了？！ 说得不无道理！不过，要说清这一点，还得从眼睛的功能谈起。 眼睛的视觉功能是有趣的：一只眼睛能够看清周围的物体，但却无法准 确判断眼睛与物体之间的距离。下面的实验可以证实这一点。 两只手各拿一支削尖了的铅笔，然后，闭上一只眼睛，让两支笔的笔尖 从远到近，对准靠扰。这时，你令发现一种奇怪的现象：任你怎么集中注意 力，两支笔尖总是交错而过！然而，如若你睁着双眼，要想对准笔尖，那是 很容易做到的。 由此可见：用两只眼看，能准确判断物体的位置，而用一只眼看却不能！ 那么，为什么用两只眼睛便能判定物体的准确位置呢？ 原来，同一物体在人的两眼中看出来的图象是不一样的！左图是一个隧 道分别在两眼中的图象，它们之间的不同是很明显的。为了证明这两侧图形 确是由你左右两眼分别看出的，你可以把图a摆在你的面前，然后两眼凝视 图中央空隙的地方，如此集中精力几秒钟，并全神贯注于一种要看清图后更 远的意念。这样，无须很久，你的眼前便会出现一种神奇的景象：图中左右 两侧的形象逐渐靠近，并最终融合在一起，变成了一幅壮观的立体隧道图形！ 现在我们回到“守株待兔”这个问题上来。 仔细观察一下便会发现，人眼与兔眼的位置是不相同的：人的两眼长在 前方，相距很近，而兔的两眼却长在头的两侧。又根据测定，兔子每只眼睛 可见视野为189°30′，而人的每只眼睛可见视野约166°。不过，由于人的 两眼长在前面，因此两眼同时能看到的视野有 124°左右。在这一区域内的 物体，人眼能精确判定其位置。而兔眼虽说能看到周围的任何东西但两眼重 合视野只有19°，其中前方10°，后方9°。因此兔子只有在很小的视区内 才能准确判断物体的远近！ 由图b还能看出；纵然兔子对来自四方的威胁都能敏锐地感觉，但对鼻 子底下的东西（图中“？”号区域），却完全看不到！况且在惊慌失措的奔 命中，说不定早已昏了头脑，撞树的事情也就难保不会发生。 对闭眼打转问题的探讨 公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对闭眼打转的问题进行了深入的研 究。他收集了大量事例后说：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长 年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子 长一段微不足道的距离。而正是这一段很小的步差 X，导致了这个人走出一 个半径为y的大圈子！ 现在我们来研究一下x与y之间的函数关系： 假定某个两脚踏线间相隔为 d。很明显，当人在打圈子时，两只脚实际 上走出了两个半径相差为 d的同心圆。设该人平均步长为 1。那么，一方面 这个人外脚比内脚多走路程 2 y + d 2 - 2 y - d 2 = 2 dπ（ ） π（ ） π 另一方面，这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，即： 2 d = xπ （ π ）· 2 21 y 化简得 y dl x = 2 对一般的人，d＝0.1米，1＝0.7米，代入得（单位米） y x = 014. 这就是所求的迷路人打圈子的半径公式。今设迷路人两脚差为 0.1毫 米，仅此微小的差异，就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子！ 上述公式中变量x，y之间的关系，在数学上称为反比例函数关系。所 谓反比例函数，就是形如 ，（ 为常量）这样的函数。它的图象是两条y = k x k 弯曲的曲线，数学上称为等边双曲线，在工业、国防、科技等领域都很有用 场。 下面我们看一个有趣的游戏： 在世界著名的水都威厄斯，有个马尔克广场。广场的一端有一座宽 82 米的雄伟教堂。教堂的前面是一片开阔地。这片开阔地经常吸引着四方游人 到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端教堂走 去，看谁能到达教堂的正前面！ 奇怪的是，尽管这段距离只有175米，但却没有一名游客能幸运地做到 这一点！全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！ 为什么是这样呢？我们就先来计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一端 中央的M点抵达教堂 CD的最小的弧半径是多少。如下图，注意到矩形 ABCD 边BC=175（米），AM＝MB= 41（米）。那么上述问题，无疑相当于几何中 ∵BC2=R2-（R-MB）2=MB（2R-MB） ∴1752=41×（2R-41） R=394这就是说，游人要想成功，他所走的弧线半径必须不小于 394 米。那么就让我们再计算一下，要达到上述要求，游人的两脚的步差需要什 么限制。根据公式： y x y R x = = = 0 14 394 0 14 394 0 00035 1 . . . ∵ ≥ ∴ ≤ （米） 这表明游人的两只脚的步差必须小于0.35毫米，否则是不可能成功的！ 然而，在闭上眼睛的前提下，使两脚的步差这么小一般人是办不到的，这便 是在游戏中为什么没有人能被蒙上眼睛走到教堂前面的道理。 “钟表定向”的科学原理 对于在沙漠，草原或雪野上迷了路的人，识别方向无疑是至关重要的。 我们设想一位迷失了方向的人，面临着一种艰难的境地，他在旅行中赖 以辨认方向的罗盘，不幸丢失了！我们试图帮助他从这一困境中解脱出来。 倘若故事发生在睛天的夜晚，那是不用愁的，因为北天的那颗极星，可 以准确地为你指示方向。 倘若故事发生在阴天，情况似乎比较棘手！不过，只要细心观察周围， 还是有希望找到一些辨别方向的标志。如北半球树木的年轮一般是偏心的， 靠北方向（N）年轮较密，而靠南方向（S）年轮较疏，这是由于树木向阳一 面生长较快的缘故。又如，有时在荒野中我们会看到一些残垣断壁、破寺败 庙，按中国的习俗，这些建筑物一般是座北朝南的。 假如我们的主人公在一望无际的沙漠中迷失了方向。周围当然不可能奇 迹般地出现庙宇和树桩。当空的烈日，正使他陷入一种茫然和绝望！此时， 如果谁能告诉他，他手上戴着的手表，就是一只的“指北针”，那么他 一定会为此而欣喜若狂！ 也许你会疑虑重重，然而事实确是这样！钟表定向的方法是：把手表放 平，以时针的时数（一天以24小时计）一半的位置对向太阳，则表面上“12 时”指的方向便是北方。例如表面上指的时间若是早上8时零5分，其时数 一半的位置大约是“4.04时”，以这个位置对向太阳，则“12时”所指的方 向即为北方。应当注意的是，对向必须准确。为了提高精度，我们可以用一 根火柴立在“时数一半”的地方，让它的影子通过表面中心，这表明我们已 经对准了太阳的方向！ 我想你一定很想知道用钟表定向的科学道理，这是不难的！不过要彻底 弄清它，还得先了解地球的自转。 众所周知，白天的出现和黑夜的降临，是由于地球的自转。然而，历史 上有很长一段时间，人们对此半信半疑。迟至公元1805年，一位相当聪明的 法兰西科学院院士梅西尔还这样写过：“天文学家要使我相信，我像一只烧 鸡穿在铁棍上那样旋转，那真是用心枉然！”不过，这位学者的偏见，并没 能阻止地球的旋转，从那时起地球又一如即往地转动了六万七千转！ 公元1851年，法国科学家傅科在著名的巴黎国葬院，作了一个直接证明 地球旋转的惊人表演：让一个大钟摆在地面的沙盘上不断划出纹道（左图）。 虽说这个摆同其他自由摆一样，不停地在同一方向、同一平面上来回摆动。 但地球及国葬院的地板，都在它底下极其缓慢地转动着，因此沙盘上划出的 纹道，也一点点一点点由东向西缓慢而均匀地改变了方向。傅科摆的摆面旋 转一周所用的时间与当地的纬度有关：在极点需要 24小时时；在巴黎需 31 时47分；我国北京天文馆的傅科摆，摆面旋转一周约需37时15分。傅科的 实验使我们亲眼见到了地球的均匀自转。地球自转一周，在人们的视觉假象 中，太阳好像绕地球旋转了360°。与此同时，手表面上的时针走了24小时， 绕表心旋转了 720°。由于以上两者的转动都是均匀的，从而视觉中太阳绕 地球旋转的角度 y，与表面上时针旋转的角度 x的一半，应当是同步的。这 表明，当选定各自计算的起始角后，应当有 y x b= + 1 2 这是一个一次函数，它的图象是一条直线。上式右端 的系数 称x k = 1 2 为直线的斜率；b称为截距，恰等于直线截 y轴的有向距离。 将上述一次函数式变形得： y - 1 2 x = b（常量） 这意味着，视觉中太阳旋转的角与时针旋转的半角之间，相差是一个常 量。这一变量中的常量说明，将“时数的一半”对向太阳时，手表面的位置 是恒定的，不因时间的推移和太阳的升落而变化。当早晨6点太阳升起在东 方时，我们用“6”的一半“3”去对准东方，那么“12时”所指的方向自然 就是北方了！而这一方向，在太阳与时针同时运动中，保持恒定。这就是“钟 表定向”的科学原理。 揭示星期几的奥秘 公元321年3月7日，古罗马皇帝君士坦丁，正式宣布采用“星期制”， 每一星期为七天，第一天为星期日，尔后星期一、星期二直至星期六， 尔后再回到星期日，如此永远循环下去！君士坦丁大帝还规定，宣布的那天 日子为星期一。 一星期为什么定为七天？这大约是出自月相变化的缘故。天空中再没有 别的天象变化得如此明显，每隔七天便一改旧貌！另外，“七”这个数，恰 与古代人已经知道的日、月、金、木、水、火、土七星的数目巧合，因此在 古代神话中就用一颗星作为一日的保护神，“星期”的名称也因之而起。 我想读者一定很想知道历史上的某一天究竟是星期几的奥秘！为了揭开 这个奥秘，我们先从闰年的设置讲起。 我们知道：一个回归年不是恰好365日，而是365日5小时48分46秒， 或365.2422日。为了防止这多出的0.2422日积累起来，造成新年逐渐往后 推移。因此我们每隔 4年时间便设置一个闰年，这一年的二月从普通的 28 天改为29天。这样，闰年便有366天。不过，这样补来也不刚好，每百年差 不多又多补了一天。因此又规定，遇到年数为“百年”的不设闰，扣它回来！ 这就是常说的“百年24闰”。但是，百年扣一天闰还是不刚好，又需要每四 百年再补回来一天。因此又规定，公元年数为400倍数者设闰。就这么补来 扣去，终于补得差不多刚好了！例如，1976、1988这些年数被4整除的年份 为闰年；而1900、2100这些年则不设闰；2000年的年数恰能被 400整除， 又要设闰，如此等等。 闰年的设置，无疑增加了我们对星期几推算的难度。为了揭示关于星期 几的奥秘，我们还要用到一个简单的数学工具——高斯函数。 公元1800年，德国数学家高斯（Gauss，1777～1855）在研究圆内整点 问题时，引进了一个函数 y ＝［x] 后人称之为高斯函数。 [x]是表示数X的整数部分，如： [π]=3 [-4.75]=-5 [ ] 5 1 2 0 - = [1988]=1988 高斯函数的图象如左图，像台阶般，不连续！ 利用高斯函数，我们可以根据设闰的规律，推算出在公元X年第y天是 星期几。这里变量X是公元的年数；变量y是从这一年的元旦，算到这一天 为止（包含这一天）的天数。历法家已经为我们找到了这样的公式： s x x x x y= - + - - - + - +1 1 4 1 100 1 400 [ ] [ ] [ ] 按上式求出 S后，除以 7，如果恰能除尽，则这一天为星期天；否则余 数为几，则为星期几！ 例如，君士坦丁大帝宣布星期制开始的第一天为公元321年3月7日。 容易算得： s = + - + + = + - + + = 320 320 4 320 100 320 400 66 320 80 3 0 66 463 1 7 [ ] [ ] [ ] (mod )≡ 最后一个式子的符号表示463除以7余1。也就是说，这一天为星期一。 这是可以预料到的，因为当初就是这么规定的！ 又如，我们共和国成立于1949年10月1日： s = + - + + = + - + + = 1948 1948 4 1948 100 1948 400 274 1948 487 19 4 274 2694 6 7 [ ] [ ] [ ] (mod )≡ 原来，这一普天同庆的日子为星期六。 公元2000年1月1日，人类跨进了高度文明的21世纪，那么这一天是 星期几呢？ s = + - + + = + - + + = 1999 1999 4 1999 100 1999 400 1 1999 499 19 4 1 2484 6 7 [ ] [ ] [ ] (mod )≡ 计算表明：这一天也是星期六！ 指数函数的威力 美国著名的科学家，避雷针的发明人，本杰明·富兰克林（Franklin·B， 1706～1790）。一生为科学和民主革命而工作，他死后留下的财产只有一千 英镑。令人惊讶的是，他竟留下了一份分配几百万英镑财产的遗嘱！这份有 趣的遗嘱是这样写的： “⋯⋯一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么 这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这钱按每年 5％的利率借 给一些年轻的手工业者去生息。这款子过了100年增加到131000英镑。我希 望，那时候用100000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31000英镑拿去继 续生息 100年。在第二个 100年末了，这笔款增加到 4061000英镑，其中 1061000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的 3000000英镑让马萨诸 州的公众来管理。过此之后，我可不敢多作主张了！” 富兰克林，留下区区的1000英镑，竟立了百万富翁般的遗嘱，莫非昏了 头脑？！让我们按照富兰克林非凡的设想实际计算一下。请看下表： 从而 b A An n n= = + 0 1 5%)( 上式显然是函数 ＝ 当 ＝ 时的特例。在数学上形如 的函y a 1.05 y = a xa x 数称为指数函数，其中a约定为大于0且不等于1的常量。 下图画出了指数函数 ， ， 的图象。从图象容易看出：y = 2 y = 10 y = ( 1 2 )x x x 当底a大于1时，指数函数是递增的，而且越增越快；反之，当底a小于 1 时，指数函数递减。让我们观察故事中bn=1.05n值的变化，不难算得： 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； ⋯⋯ ⋯⋯ 当 时， 。 x = 1 b = 1.05 x = 2 b = 1.103 x = 3 b = 1.158 x = 100 b = 131.501 1 2 3 100 这意味着，上面的故事中，在头一个100年末富兰克林的财产应当增加 到 A = 1000 1.05 = 131501100 100× （英镑） 这比富兰克林遗嘱中写的还多出501英镑哩！在第二个100年末，他拥 有的财产就更多了 A = 131501 1.05 = 4142421100 100′ × （英镑） 可见富兰克林的遗嘱在科学上是站得住脚的！ 由此可见，指数函数的威力。 历史上因此而吃了亏的，也不乏其人，大名鼎鼎的拿破仑就是其中的一 位。 公元1797年，当拿破仑参观国立卢森堡小学的时候，赠送了一束价值三 个金路易的玫瑰花，并许诺说，只要法兰西共和国存在一天，他将每年送一 束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征。此后，由于火与剑的征战，拿 破仑忘却了这一诺言！当时间的长河向前推进了近一个世纪之后，公元1894 年，卢森堡王国郑重向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”要求法国政府在 拿破仑的声誉和1375596法郎的债款中，二者选取其一。这笔高达百万法郎 的巨款，就是三个金路易的本金，以 5％的年利率，在 97年的指数效应下的 产物。这一历史公案使法国政府陷入极为难堪的局面，因为只要法兰西共和 国继续存在，此案将永无了结的一天！ 不过，指数效应更多是积极的方面。 指数函数不仅在数学、物理、天文上应用极广，而且在其他自然科学甚 至社会科学上也大有用场！以指数规律变化的自然现象和社会现象，有一种 极为重要的特性：即量A的变化量△A，总是与量A本身及其变化时间△t成 正比 △A A△t 事实上，令 A=f（t）=at，则 △A=at+△t-at=at（a△t-1） = - A t a t t △ △ △ ( ) 1 数学上可以证明，上式右端括号内的量，当变化时间很短时，趋向一个 极限K（实际上等于Ina），从而证得： △A≈KA△t 反过来，数学家也已经证明：如果量A的变化量与它本身及变化时间成 正比（比例系数为K），那么此时必有 A=A0ekt 这里 是变量 的初始值（＝ ），数 ＝ ⋯⋯则是一个与A A t 0 e 2.7180 圆周率π一样重要的数学常量。 对数的发现过程 16世纪的欧洲随着资本主义的迅速发展，科学和技术也一改中世纪停滞 不前的局面。天文、航海、测绘、造船等行业不断向数学提出新的课题。有 一个集中暴露出来令人头痛的问题是：在星体的轨道计算，船只的位置确定， 大地的形貌测绘，船舶的结构设计等一系列课题中，人们所遇的数据越来越 宠杂，所需的计算越来越繁难！无数的乘除、乘方、开方和其他运算，耗费 了科学家们大量的极为宝贵的时间和精力。 面对这种局面，数学家们终于出来急其所难，各种门类的表格：平方表、 立方表、平方根表、圆面积表等等，便应运而生，人类就这么在表格的海洋 中茫然地行驶了半个多世纪，直至16世纪40年代，才迎来了希望的曙光。 公元 1544年，著名的哥尼斯堡大学教授，德国数学家斯蒂费尔 （Stiefel，1487～1567），在简化大数计算方面迈出了重要的一步。在《普 通算术》一书中，斯蒂费尔宣布自己发现了一种有关整数的奇妙性质，他认 为：“为此，人们甚至可以写出整本整本的书⋯⋯” 那么，斯蒂费尔究竟发现了什么呢？原来他如同下表比较了两种数列： 等比数列和等差数列。 斯蒂费尔把等比数列的各数称为“原数”，而把等差数列的对应数称为 “代表者”（即后来的“指数”）。他惊奇地发现：等比数列中的两数相乘， 其乘积的“代表者”，刚好等于等差数列中相应两个“代表者”之和；而等 比数列中的两数相除，其商的“代表者”，也恰等于等差数列中两个“代表 者”之差。斯蒂费得出的结论是：可以通过如同上面那样的比较，把乘除运 算化为加减运算！ 可以说斯蒂费尔已经走到了一个重大发现的边缘。因为他所讲的“代表 者”y，实际上就是现在以2为底x的对数 v=log2x 而使斯蒂费尔惊喜万分的整数性质就是： log M N = log M + log N log = log M - log N 2 2 2 2 2 2 （ · ） （ ） M N 历史常常惊人地重复着这样的人和事：当发现已经降临到眼皮底下，只 缘一念之差，却被轻轻错过！斯蒂费尔大约就是其中令人惋惜的一个。他困 惑于自己的表格为什么可以算出 16×256＝4096，却算不出更简单的 16× 250=4000。他终于没能看出在离散中隐含着的连续，而是感叹于自己研究问 题的“狭窄”。从而在伟大的发现面前，把脚缩了回去！ 正当斯蒂费尔感慨于自己智穷力竭之际，在苏格兰的爱丁堡诞生了一位 杰出人物，此人就是对数的发明人纳白尔（Napier， 1550～1617）。 纳白尔出身于贵族家庭，天资聪慧，才思敏捷，从小又受家庭的良好熏 陶，十三岁便进入了圣安德鲁斯大学的一个学院学习。十六岁出国留学，学 识因之大进。公元1571年，纳白尔抱志回国。先是从事于天文、机械和数学 的研究，并深为复杂的计算所苦恼。公元1590年，纳白尔改弦更张，潜心于 简化计算的工作。他匠心独运，终于在斯蒂费尔的足迹上，向前迈出了具有 划时代意义的一步！ 说来也算简单！纳白尔只不过是让任何数都找到了与它对应的“代表 者”。这相当于在斯蒂费尔离散的表中，密麻麻地插进了许多的中间值，使 人看去宛如无数的纬线穿行于经线之中，显示出布匹般的连续！ 公元 1594年，纳白尔开始精心编制可供实用的对数表。在经历了 7300 个日日夜夜之后，一本厚达200页的八位对数表终于诞生了！公元1614年， 纳白尔发表了《关于奇妙的对数法则的说明》一书，书中论述了对数的性质， 给出了有关对数表的使用和实例。纳白尔终于用自己20年的计算，换来 了人世间无数寿命的延续！法国大数学家拉普拉斯说得好：“如果一个人的 生命是拿他一生中的工作多少来衡量，那么对数的发明，等于延长了人类的 寿命！” 不幸的是，纳白尔的工作虽然延长了他人的寿命，却没能使自己的生命 得以延长。就在纳白尔著作发表后的第三个年头，公元1617年，这位永受后 人缅怀的杰出数学家，终因劳累过度，不幸谢世。 纳白尔的对数发明颇具传奇性。当时的欧洲，代数学仍处于十分落后的 状态，甚至连指数概念尚未建立。在这种情况下先提出对数概念，不能不说 是一种奇迹！纳白尔的对数是从一个物理上的有趣例子引入的：两个质点A、 B有相同的初速度v。质点A在线段OR上作变速运动，其速度与它到R的距 离成正比；质点 B作匀速直线运动。今设 AR＝ X， O′B＝y，试求X，y 之间的关系？ 纳白尔经过仔细分析后发现；质点A的瞬时末速度是一个无穷递缩等比 数列 v v 1 - 1 n v 1 - 1 n v 1- 1 n v 1- 1 n 1 2 3 i， （ ） ， （ ） ， （ ） ，⋯ （ ） ，⋯ 从而量x在变化时也可以看成是一个无穷递缩等比数列；而Y在变化时显然 可以看成是一个无穷递增的等差数列0，v，2v，3v，4v，⋯，tv，⋯这样一 来，在变量y与变量X之间便建立起了函数关系。纳白尔把y称为X的对数， 用现在的式子来写就是： y x x e = = æ èç ö ø÷log ln1 1 这里符号“ln”表示“自然对数”，对数的底就是上一节故事中讲的e。 这与今天上讲的“常用对数”有所不同，后者是以10为底的。 在数学上，对数函数的一般表示式为 y xa= log 改写成指数形式便有 x=ay 在上式中，如果把变量X看成变量y的函数，并改用常用的函数和自变 量符号，则有 y=ax 这样得到的函数，我们称为原函数的反函数。两个互为反函数的图象， 在同一坐标系里，关于第Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线为轴对称。反函数图象的这 一特性，在上图中可以看得很明显。 对数是十七世纪人类最重大的发现之一。在数学史上，纳白尔的对数、 笛卡儿的解析几何及牛顿莱布尼兹的微积分三者齐名，被誉为“历史上最重 要的数学方法”！ 对数于1653年传入我国。公元1664年，我国学者薛风祚（？～1680） 编译了《天学会通》丛书。在国内，这是第一部介绍对数和对数表的著作。 不朽的功绩 斯蒂费尔的“指数”思想，实际上早在 2200年前就已有过！公元前 3 世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimedes，公元前287～前212），在他名 著《计砂法》中，就曾研究过以下两个数列： 1， 10， 102， 103，104， 105，⋯⋯； 0，1， 2， 3， 4， 5，⋯⋯。 并发现了幂的运算与指数之间的联系。然而，在阿基米德死后，因后继 无人而湮灭了！ 在斯蒂费尔发现对数后不到60年，在英吉利海峡两边的不同国度里，却 几乎同时出现两位新秀：一位是纳白尔，另一位是聪明绝顶的瑞士钟表匠标 尔格。后者是著名天文学家开普勒的助手。出于天文计算的需要，他于公元 1611年，制成了世界上第一张以e为底的四位对数表。 不过，纳白尔的工作是无与伦比的。他的非凡成果，惊动了一位住在伦 敦的天文数学家，牛津大学教授布里格斯（Briggs，1561～1631）。布里格 斯几乎陶醉于纳白尔奇特而精妙的对数理论，渴望能亲睹这位创造者的容 颜！ 公元1616年初夏，布里格斯去信给纳白尔，希望能有机会亲自拜访他。 纳白尔久仰布里格斯大名，立即回信，欣然应允，并订下了相会的日期。不 久，布里格斯便登上了前往爱丁堡的旅途。 伦敦与爱丁堡之间路遥千里，而当时最快的交通工具只有马车，虽然日 夜兼程，也需要数天时间。而两位科学家却早已心驰神往，大家都极为盼望 着这次会面时刻的到来！ 俗话说得好：“佳期难得，好事多磨”，偏偏在这节骨眼上，布里格斯 的马车中途因故抛锚。布里格斯心急如焚，却又无可奈何！此后虽则加速行 程，但终因此番耽搁，以致没能如期抵达爱丁堡。 话说另一头，在约定的日子里，纳白尔左等右等，终不见布里格斯的身 影，焦虑和不安使这位年近古稀的老人，似乎显得更加苍老！时间过去了一 天，正当纳白尔望眼欲穿之际，突然门外响起了阵阵铃声。纳白尔喜出望外， 急忙向大门奔去⋯⋯ 。当风尘仆仆的布里格斯出现在纳白尔面前时，两位 初次见面的数学家，像老朋友般紧紧地握住对方的双手，嘴唇颤动着，却久 久说不出话来！ 在很长一段时间之后，布里格斯终于先开了口：“此番我乐于奔命，唯 一的目的是想见到您本人，并想知道，是什么样的天才使您第一次发现了这 个对天文学妙不可言的方法。” 这次会面使两位数学家结成了莫逆之交。布里格斯根据自己在牛津大学 的讲学经验，建议纳白尔把对数的底数改为10，主张 log10l=lgl=0 log1010=lg10=1 这样，一个数N的对数，便可明确地分成两个部分：一部分是对数首数， 只与数N的整数位数有关；另一部分是对数尾数，则由数N的有效数字确定。 这就是说，若 loN N N N = = = - ì í î a a ．×××× 则 ．×××× [lg ] lg [lg ]0 有道是：“英雄所见略同。”纳白尔对布里格斯的建议大为赞赏，认为 这种以10为底的对数，对于通常的计算更为实用！ 就这样，纳白尔又以全部的精力投入了新对数表的制作，直至不幸逝世。 纳白尔的未竟事业，由布里格斯继承了下去。经历了艰难的八年之后， 公元1624年，世界上第一本14位的常用对数表终于问世。不过，布里格斯 的对数表实际上并不完全，只有1～2000及90000～100000各数的对数。这 一对数表的空隙部分，四年后由荷兰数学家符拉克补齐。 随着对数应用的扩大，各类精密度更高的对数表，像雨后春笋般相继出 现，蔚为壮观！其中有20位的；48位的；61位的；102位的；而如今雄踞 位数榜首的，是亚当斯的260位对数！ 随着对数表位数的增加，表格的厚度也越来越厚：四位对数表只需3页； 5位对数表就要30页；而6位对数表则需182页，⋯⋯面对着这一本厚似一 本的表格，人们终于引起了反思。实践使他们意识到，表的位数如果多于计 算量的度量精度，那么表的位数越高，造成的时间和精力的浪费也就越大！ 于是，在实用的指导下，人们又逐渐从高位对数表，退回到低位对数表上来。 目前全世界的教科书，采用的几乎都是四位对数表，这种表的使用，读者想 必是很熟悉的！ 对多位对数表反思的另一个结果，是更为快速计算工具的诞生。下图是 一把常见的计算尺式样，标尺上的读数分为三级，因此可以读出三个有效数 字（如下图）。对精度要求不太高的计算，计算尺是十分方便的！ 计算尺的前身是纳白尔算筹，它是纳白尔于公元1617年发明的。那是在 一些长方形的板片上刻写数码，对起来进行乘除、乘方、开方运算。纳白尔 算筹于公元 1645年由我国学者汤若望引进国内，当时国内学者对此兴趣颇 高。这种算筹目前北京故宫博物馆仍然藏有数套。 对数表和计算尺源出同宗，但优劣各异：精度高的速度慢；速度快的精 度低。是否存在得兼两者长处的计算工具呢？几个世纪来，科学家们用自己 的聪明才智，进行着努力的探索！ 公元1642年，法国数学家帕斯卡（Pascal，1623～1662）制造出了世界 上第一台加法计算机，打响了攻坚的第一炮。 公元1677年，著名的德国数学家莱布尼兹发明了乘法计算机。 公元1847年，俄国工程师奥涅尔研制成了世界上第一部功能完善的手摇 计算机。 我国人工计算机的研制工作起于清初康熙年间。公元1685年至公元1722 年期间我国自行制造的原始手摇计算机，至今仍有十台，保存于故宫博物馆。 世界上第一台电子计算机，是公元1946年，在美籍匈牙利数学家冯·诺 依曼（Von Neumann，1903～1957）领导下制成的。它标志着人类开始走进一 个光辉的时代——电子时代！ 今天，电子计算机已经更新了好几代，面目远非半个世纪前所能相比， 各式各样先进的电子计算工具，也早已替代了计算尺和对数表。然而，对数 表的发明和它在历史上的功绩，将永不磨灭！ 并非危言耸听 公元1972年，尼克松被再次当选为美国总统后，建议美苏两国联合攻克 癌症。建议立即被采纳。美方赠送了供研究的23种致癌病毒；苏方回赠了六 名癌症患者的癌细胞标本。 翌年一月，美国国立癌采研究中心决定，将苏联的癌细胞标本分送给几 位科学家研究。其中的一份，送到了加州细胞培养所长实验所所长尼尔森芮 斯博士手上。 尼尔森芮斯经过几番周折，终于弄清了，所有苏方赠送的六各标本，全 是二十多年前死去的美国黑人拉克丝的细胞。 原来拉克丝1951年10月死于一种罕见的子宫颈癌。这种特殊的癌细胞 具有极强的繁殖力和生命力。拉克丝从发现第一个病灶到死亡，整个过程不 足八个月。科学家们提取这种癌细胞加以培养，发现这些癌细胞竟以 y=A0·2x 这样的指数曲线疯狂地生长！每 24小时便增加一倍（上式中A0为原始数量， X为天数）。就这样，这种新发现的癌细胞被命名“海拉”，并被严格控制 于实验室。 “海拉”细胞在不足一个月时间内，便能增加数千万倍，这使过去一直 认为的，健康细胞“自发”转变为癌细胞的神秘现象，得到了新的解释。原 来所谓“自发”转变，只不过是“海拉”细胞消灭并占领了整个培养物！ 然而事过二十多年，“海拉”细胞不仅没有死亡，而且还令人费解地流 到国外，出现在莫斯科！于是，尼尔森芮斯博士撰文向全世界敲起了警钟： “如果听任‘海拉’细胞在最适宜的情况下毫无抑制地生长，那么到现在为 止，它们很可能已经占领整个世界！” 这是危言耸听吗？不！这是科学的结论！ 如果任其疯狂生长，那么按理论计算，一年后将达到 y=A0·2365 现在，我们已经有了对数工具，让我们计算一下，这个数字究竟有多大 ∵ lgy=lgA0+lg2365 =lgA0+365×lg2 =lgA0+365×0.3010 ∴ lg . y A0 109865 æ è ç ö ø ÷ = 从而 y=7.328×10109A0 这样多的细胞，不必说占领整个地球，就是占领整个宇宙也不算过分！ 好在人类已经学会了对生物的有效控制，才制止了这种有害生物指数般 的繁殖和生长。 具有讽刺意味的是：人类虽然很早就注意控制生物，却迟迟才注意控制 人类自己，世界人口依然按一条可怕的指数曲线在增长着！ 公元初地球上的人口不足2亿5千万人，到公元1650年世界人口也才达 到5亿，让我们计算一下这段期间世界人口的增长率P： ∵5×108=2.5×108(1+P)1650 ∴ 2=(1+P)1650 lg2=1650lg(1+P) ∵lg(1+P)=0.3010÷1650=0.0001824 ∴1+P=1.00042 P=0.042% 这就是说，在公元后的1600年里，人类人口每年只平均增长万分之四多 一些。然而，从公元1650年到公元1800年，仅一个半世纪，世界人口又翻 了一番。可以算出这期间世界人口增长率为0.46％，比前面高了十倍！而从 1800年到1930年，世界人口再次翻番，达20亿。1960年达30亿，1975年 达40亿，1987年达50亿，⋯⋯世界人口沿着一条越来越陡峭的曲线直指上 方！ 科学家们告诫说：我们这个赖以生存的地球，最多只能养活80～100亿 人类。然而，按目前世界人口的增长速度，公元 2000年，世界人口将达 65 亿，而公元2025年将突破100亿！再下去地球将无法承担这一负荷，人类将 最终毁灭自己！ 这是危言耸听吗？不！这是科学向人类提出的警告！ 公元1987年7月11日，生活在这个星球上的第50亿个人，在南斯拉夫 的萨格勒布市诞生了！这一天联合国人口活动基金会组织，向世界各国首脑， 分别赠送一台特制的“人口钟”。这是一种奇异的计时器，除通常钟表功能 外，还能显示该时刻该世界总人口的预测数，及每分钟各国人口的变化，它 将随时提醒各国首脑重视人口问题。 追溯和预测 公元1896年，法国物理学家贝克勒尔发现，铀的化合物能放射出一种肉 眼看不见的射线，这种射线可以使它在黑纸里的照相底片感光。这种现象引 起了女科学家玛丽·居里的注意。居里夫人想，该不是只有铀才能发出射线 吧！经她悉心研究，终于又发现了一些放射性更强的元素。 公元 1903年，杰出的英国物理学家卢瑟福，设计了一个极为巧妙的实 验，证实了放射性物质放出的射线有三种，而且在放出射线的同时，本身有 一部分蜕变为其他物质。蜕变的速度不受冷热变化、化学反应及其他外界条 件的影响。 经科学家们不懈努力，人们终于弄清了放射性蜕变的量的规律：即蜕变 的变化量△m，与当时放射性物质的质量m及蜕变时间成正比。也就是说 △ △m -mµ t 右端的负号是因为蜕变后放射性物质减少的缘故。 上式写成等式便是： △m=-km△t 其中m=m0e-kt 下面我们计算一下，究竟需要多长时间，才能使放射性物质蜕变为原来 的一半。为此，令 ，于是m m= 1 2 0 1 2 1 2 2 0 693 1 = = - = = -e kT e T k e k kt lg lg lg lg .从而 × 这是一个常量，这个常量只与放射性物质本身有关，称为该放射性物质 的半衰期。右上图画的是镭的衰变情况：每隔1620年质量减为原来一半。下 表列的是一些重要放射性物质的半衰期。 元素 同位素符号 半衰期 钍 铀Ⅰ 镭 钋Ⅰ 钋Ⅱ 钋Ⅲ 铀Ⅱ Th 232 U 238 Ra 226 Po 210 Po 214 Po 216 U 234 1.39× 1010年 4.56× 109年 1620年 138天 1.5× 10-4秒 0.16秒 2.48× 105年 铀是最常见的一种放射性物质，由上表得知，它的半衰期为 45亿 6000 万年。也就是说，过45亿6000万年之后，铀的质量剩下原来的一半。由于 铀蜕变后，最后变成为铅，因此我们只要根据岩石中现在含多少铀和多少铅， 便可以算出岩石的年龄。科学家们正是利用上述的办法，测得地球上最古老 岩石的年龄要为 30亿年。当然，地球年龄要比这更大一些，估计有 45～46 亿年！ 应用上面的数学方法，不仅可以使我们科学地追溯过去，而且可以帮助 我们科学地预测将来。在儒勒·凡尔纳的《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里， 作者描述了一个精彩动人的故事： “已经移去了两旁撑住船身的支持物，船准备下水了。只要把缆索解开， 船就会滑下去。已经有五六个木工在船的龙骨底下忙着。观众满怀着好奇心 注视着这件工作。这时候却有一艘快艇绕过岸边凸出的地方，出现在人们的 眼前。原来这艘快艇要进港口，必须经过“特拉波科罗”号准备下水的船坞 前面。所以一听见快艇发出信号，大船上的人为了避免发生意外，就停止了 解缆下水的操作，让快艇先过去。假使这两条船，一条横着，另一条用极高 的速度冲过去，快艇一定会被撞沉的。 工人们停止了锺击。所有的眼睛全都注视着这只华丽的船，船上的白色 篷帆在斜阳下像镀了金一样。快艇很快就出现在船坞的正前面。船坞上成千 的人都出神地看着它。突然听到一声惊呼，“特拉波科罗”号正当快艇的右 舷对着它的时候，开始摇摆着滑下去了。两条船就要相撞了！已经没有时间、 没有方法能够防止这场惨祸了。“特拉波科罗”号很快地斜着向下面滑去⋯⋯ 船头上卷起了因摩擦而起的白雾，船尾已经没入了水。 突然出现了一个人，他抓住“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉， 几乎把身子弯得接近了地面。不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里的铁 桩上。他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有10秒钟。 最后，缆索断了。可是这10秒时间已经很足够：“特拉波科罗”号进水以后， 只轻轻擦了一下快艇，就向前驶了开去！ 快艇脱了险。 下面我们用数学的方法来分析一下“特拉波科罗”号事件： 公元1748年，瑞士数学家欧拉（Euler，1707～1783）在他的传世之作 《无穷小分析引论》中研究了滚轮摩擦的问题（如左图）。欧拉发现：对于 一个很小的转角△a，绳子的张力差的量值△T与 T及△a成正比。即 △ △αT µ 写成等式为△T＝－kT△α 式中k为摩擦系数，负号是因为问题中张力的值是减少的。 其中T＝T0e-ka 这就是著名的欧拉滚轮摩擦公式。 现在转到故事中来。假定“特拉波科罗”号船体重50吨，船台坡度为1： 10，那么船的下滑力约为5吨，即 5000公斤；又假设马蒂夫来得及把缆绳在 铁桩上绕了三圈，即 a=2π×3=6π； 而绳索与铁桩之间的摩擦系数k=0. 33。 把上述数值代入欧拉公式，便可得到马蒂夫拉住绳子另一头所需要的气 力T（公斤）为： T＝5000×e-0.33×6π T的值是很容易用对数的方法求出来的 lgT=lg5000-0.33×6×3×3.1416lge =3.6990-0.33×6×3.1416×0.4343 =0.9975 T=9.943（公斤） 这就是说，儒勒·凡尔纳笔下那位力挽狂澜的“大力士”。实际上所用 的力气不足10公斤。这是连一个少年都能做得到的！ 变量中的常量 众所周知，目前的银行存款中，存8年期的利率，往往比存1年期或存 3年期的利率高。读者可能以为这仅仅是为了鼓励人们去存较长期限的储 蓄。实际上这是本该如此的！因为倘若存长期的利率没有比存短期的利率高 出一定限度，那么甚至于存短期的储蓄对储户更加合算！ 为说明上述的道理，我们假定所有存款的年利率均为12.5％。让我们看 一看究竟会出现什么毛病！ 假设某甲，持本金100元存入银行，一存 8年，容易算出，8年后他连 本带利恰好取回200元。 又设某乙，也持本金100元存入银行，存 4年；4年后取出，旋即又将 本利再次存入，又存4年。容易算出，头尾8年某乙连本带利共可收回 a 2 2100 1 1 2 225= + =× 元( ) ( ) 瞧！某乙把一次8年期的存款，分为两次4年期存。本身只多办一道手 续，结果竟多得了25元，这相当于本金的四分之一，可算是一笔不少的钱数！ 再设某丙、某丁、某戊，把8年的期限分得更细，分别等分成3次存、4 次存和5次存。每次取出后又立即将款全数存入。这样，头尾8年，各人分 别得款（单位元）： a a a 3 3 4 4 5 5 100 1 1 3 237 04 100 1 1 4 24414 100 1 1 5 24883 = + = = + = = + = × × × ( ) . ( ) . ( ) . 同样，某N，也有本金 100元，但把 8年期限等分成 n次存，每次取出 后再度存入，则8年后可得（单位元）： a nn n= +100 1 1 ×( ) 可以证明，当分划期限越短时，到期本利和越高。不过，当n无限增大 时，变量an也不可能无限增大，它以一个常量为极限，这个常量为： α α × = = + = = ®¥ ®¥ lim lim[ ( ) ] . n n n n n e 100 1 1 100 27183 这就是说，如果存1年期的利率为12.5％，那么存8年期的年利率就必 须不低于 P a = - = - =100 1 8 2 7183 1 8 2148% . . 否则便会出现一种混乱的局面：储户为了谋求较高的利息，不惜花时间 频繁地取出又存进！ 变量中的常量，往往具有深刻的意义！ 在柯尔詹姆斯基的《趣味数学》中，有一则关于旅行的别致故事： 甲、乙两人骑自行车旅行，某甲中途车坏，只好停下来修理，但最后因 无法修复而决定舍弃坏车，继续前进。然而，此时两人只有一车，于是约定： 一人骑车，一人步行。骑车的人到某一地方把车留下，改为步行；而后面步 行的人，起到留车的地方换成骑车。骑一段时间后又改成步行，把车留给后 者。如此这般，两人轮流骑车。问从某甲车坏时起，最少需要花多长时间， 两人才能同时抵达目的地？假定车坏处（O）与目的地（E）之间的距离为60 公里，自行车速度为15公里/小时，步行速度为5公里/小时。 下面让我们通过作图来探讨一下可能的解答： 以O为原点，时间为X轴，距离为Y轴，建立坐标系 XOY，由于人步行 的速度和自行车速度都是变化过程中的常量，因此它们分别表现为坐标系 XOY中的射线OC和OD。 如上页图（A），令 E1、E2分别为甲、乙两人车坏后第一次和第二次相 遇的地点。此时，某甲先是步行到A1，然后骑车经过E1抵达A2，又改成步行 到E2；而某乙则先骑车到B1，然后由B1步行经E1到达B2，又改成骑车抵E2； 当然，在E2相遇后各人依然继续前行。由于车速和人速始终保持不变，所以 表示骑车或表示步行的线段，应当各自平行。即四边形 OA1E1B1及 E1B2E2A2 均为平行四边形。又注意到甲改步行为骑车，与乙改骑车为步行，位于同一 地点。因此线段A1B1及 A2B2等都平行于 X轴。假定两次换车的地点距 O处 分别为y1，y2公里。则因射线OC、OD的方程为 OC： y＝5X OD： y＝15x 可得A、B两点的坐标如下： A y y B y y( , ); ( , )1 1 1 15 15 从而E1点坐标（xE1，yE1）为： x x x y y y y y y y y x y y y x E A B E A B E E E E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 15 4 15 2 2 4 15 15 2 15 2 = + = + = = + = ì í ï îï = = \ = Q ( ) 这表明 点