六、定值、定点、定直线

六、定值、定点、定直线 圆锥曲线综合训练题 四 六、定值、定点、定直线 46、过y2=x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点.求证：直线BC的斜率是定值. ：（1）点A为定点，点B、C为动点，因直线AB、AC的倾斜角互补，所以kAB与kAC相反，故可用“k参数”法，设AB的斜率为k，写出直线AB的方程，将AB的方程与抛物线方程联立，因A为已知交点，则方程有一根已知故用韦达容易解出点B坐标，同理可得点C坐标，再求BC斜率。 （2）因点B、C在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B（x1,y1）,C(x2,y2),因x1=y12,x2=y22,即可设B（y12,y1）,C(y22,y2)。再考虑kAB=-kAC得参数y1,y2的关系。 解法1：设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k AB：y-2=k(x-4),与y2=x联立得： y-2=k(y2-4),即ky2-y-4k+2=0 ∵y=2是此方程的一解，∴2yB= xB=yB2= ∴B ∵kAC=-k,以-k代替k代入B点坐标得C ∴kBC= 为定值 解法2：设B（y12,y1）,C(y22,y2)，则kBC= ∵kAB= 由题意，kAB=-kAC ∴ 则kBC= 为定值。 点评：解法1运算量较大，但其方法是一种基本方法，因k的变化而造成了一系列的变化，最终求出BC的斜率为定值；解法2利用点B，C在抛物线上设点，形成含两个参数y1,y2的问题，用整体思想解题，运算量较小。 47、已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2 ，D是AB的中 点．（1）求动点D的轨迹C的方程；（2）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q， ① 当|PQ|＝3时，求直线l的方程；② 设点E (m，0)是x轴上一点，求当 · 恒为定值时E点的坐标及定值． 解：(1)设D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b),∵ D是AB的中点， ∴x＝ ，y＝ ， ∵ |AB|＝2 ，∴(a－b)2＋(a＋b)2＝12，∴(2y)2＋(2x)2＝12∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝3. (2) ①当直线l与x轴垂直时，P(1， )，Q(1，－ )，此时|PQ|＝2 ，不符合题意； 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)， 由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为 ， 由 ＝ ，解得k＝ .故直线l的方程为y＝ (x－1). ②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)， 由消去y得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－3＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， 则 ＝(m－x1，－y1)， ＝(m－x2，－y2)， ∴ · ＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2 ＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1) ＝m2－ ＋ ＋k2 ( － ＋1)＝ 要使上式为定值须 ＝1，解得m＝1，∴ · 为定值－2， 当直线l的斜率不存在时P(1， )，Q(1，－ )， 由E(1，0)可得 ＝(0，－ )， ＝(0， )，∴ · ＝－2， 综上所述当E(1，0)时， · 为定值－2. 48、垂直于x轴的直线交双曲线 于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）（Ⅰ）证明： （Ⅱ）过P作斜率为 的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值. 解（Ⅰ）证明： 　　　　① 直线A2N的方程为 ②……4分 ①×②，得 （Ⅱ） ……10分 当 ……12分 49、如图，在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线 相交于A、B两点. （1）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求 面积的最小值； （2）是否存在垂直y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由． 解法一：（1）依题意，点N的坐标为N（0，-p），可设A（x1, y1），B（x2, y2），直线AB的方程为 ，与x2=2py联立得 消去y得 由韦达定理得 于是 EMBED Equation.DSMT4 ∴当k=0时， （2）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a, AC的中点为 ，l与以AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则 点的坐标为 ∵ ∴ ∴ 令 ，得 ，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为 ，即抛物线的通径所在的直线. 解法二：（1）前同解法一，再由弦长公式得 又由点到直线的距离公式得 ，从而， ， （2）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为 ，将直线方程y=a代入得 则 设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x3, y3），Q（x4, y4），则有 令 ，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为 ，即抛物线的通径所在的直线. 50、已知双曲线的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值. 【解法1】本题主要考查双曲线的方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． （Ⅰ）由题意，得，解得， ∴，∴所求双曲线的方程为. （Ⅱ）点在圆上， 圆在点处的切线方程为， 化简得.由及得， ∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且， ∴，且， 设A、B两点的坐标分别为，则， ∵，且， .∴ 的大小为. 【解法2】（Ⅰ）同解法1. （Ⅱ）点在圆上， 圆在点处的切线方程为， 化简得.由及得 ① ②∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，设A、B两点的坐标分别为，则，∴，∴ 的大小为.（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）. 51、（1）若A、B是抛物线y2=2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°（O为原点）．求证：直线AB过定点．（2）已知抛物线 的焦点为F， A、B为抛物线上的两个动点．（Ⅰ）如果直线AB过抛物线焦点，判断坐标原点 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并给出证明；（Ⅱ）如果 （ 为坐标原点），证明直线AB必过一定点，并求出该定点． (1)证明：设OA：y=kx，代入y2=2px得k2x2=2px则 ∴ 同理由OB：y=- x 可得B(2pk2,-2pk) ∴ 令x=2p得y=0，说明AB恒过定点（2p，0） (2)解：（Ⅰ）∵焦点F为（1，0），过点F的直线AB的方程可设为 ，代入抛物线 得： ， ，则有 ， ， 于是 为钝角，故 在圆内. ………………6分 （Ⅱ）设直线AB的方程为 消去x，得 ，则 ， = ． 令 ，∴直线AB过定点（2，0）．…………………13分 52、已知椭圆上存在一点 到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距 离相等．（I）求椭圆的离心率的取值范围；（II）若椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 ， 最小值为 ，求椭圆 的方程；（Ⅲ）若直线 与（II）中所述椭圆 相交于 、 两点（ 、 不是左右顶点），且以 为直径的圆经过椭圆的右顶点 ，求证：直线 过定点，并求出该定点坐标． 解:（Ⅰ）设点P的坐标为，则|PF|=，∴=， 整理得：，而，∴，解得 （II） ， ， ∴椭圆的方程为 ． （Ⅲ）设 ，联立 得 ． 则 又 ， ∵椭圆的右顶点为 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 解得： ，且均满足 ， 当 时， 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾． 当 时， 的方程为 ， 直线过定点 ， ∴直线 过定点，定点坐标为 ． 53、已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 、 、 三点．（Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）若直线 ： （ ）与椭圆 交于 、 两点，证明直线 与直线 的交点在一条定直线上． （Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为 （ ）， 则 ，又点 在椭圆 上，得 ．解得 ． ∴椭圆 的方程为 ． 当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为 （ ）， 则 ，又点 在椭圆 上，得 ．解得 ，这与 矛盾． 综上可知，椭圆 的方程为 ． ……4分 解法二：设椭圆方程为 （ ），将 、 、 代入椭圆 的方程，得 解得 ， ．∴椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）证法一：将直线 ： 代入椭圆 的方程 并整理，得 ，设直线 与椭圆 的交点 ， ， 由根与系数的关系，得 ， ． ……8分 直线 的方程为： ，它与直线 的交点坐标为 ，同理可求得直线 与直线 的交点坐标为 ． ……10分 下面证明 、 两点重合，即证明 、 两点的纵坐标相等： ∵ ， ， ∴ ． 因此结论成立． 综上可知，直线 与直线 的交点在直线 上． ……14分 证法二：将直线 ： ，代入椭圆 的方程 并整理，得 ， ……6分 设直线 与椭圆 的交点 ， ， 由根与系数的关系，得 ， ． ……8分 直线 的方程为： ，即 ． 直线 的方程为： ，即 ． ……10分 由直线 与直线 的方程消去 ，得 ． ∴直线 与直线 的交点在直线 上． ……14分 证法三：将直线 ： ，代入椭圆方程 并整理，得 ， ……6分 设直线 与椭圆 的交点 ， ， 由根与系数的关系，得 ， ． ……8分 消去 得， ． ……10分 直线 的方程为： ，即 ． 直线 的方程为： ，即 ． ……12分 由直线 与直线 的方程消去 得， ． ∴直线 与直线 的交点在直线 上． ……14分 � EMBED PBrush \* MERGEFORMAT ��� N O A C B y x � EMBED Equation.DSMT4 ��� l � _1234568017.unknown _1234568081.unknown _1234568113.unknown _1234568129.unknown _1234568145.unknown _1234568153.unknown _1234568157.unknown _1234568159.unknown _1234568161.unknown _1234568163.unknown _1234568164.unknown _1234568162.unknown _1234568160.unknown _1234568158.unknown _1234568155.unknown _1234568156.unknown _1234568154.unknown _1234568149.unknown _1234568151.unknown _1234568152.unknown _1234568150.unknown _1234568147.unknown _1234568148.unknown _1234568146.unknown _1234568137.unknown _1234568141.unknown _1234568143.unknown _1234568144.unknown _1234568142.unknown _1234568139.unknown _1234568140.unknown _1234568138.unknown _1234568133.unknown _1234568135.unknown _1234568136.unknown _1234568134.unknown _1234568131.unknown _1234568132.unknown _1234568130.unknown _1234568121.unknown _1234568125.unknown _1234568127.unknown _1234568128.unknown _1234568126.unknown _1234568123.unknown _1234568124.unknown _1234568122.unknown _1234568117.unknown _1234568119.unknown _1234568120.unknown _1234568118.unknown _1234568115.unknown _1234568116.unknown _1234568114.unknown _1234568097.unknown _1234568105.unknown _1234568109.unknown _1234568111.unknown _1234568112.unknown _1234568110.unknown _1234568107.unknown _1234568108.unknown _1234568106.unknown _1234568101.unknown _1234568103.unknown _1234568104.unknown _1234568102.unknown _1234568099.unknown _1234568100.unknown _1234568098.unknown _1234568089.unknown _1234568093.unknown _1234568095.unknown _1234568096.unknown _1234568094.unknown _1234568091.unknown _1234568092.unknown _1234568090.unknown _1234568085.unknown _1234568087.unknown _1234568088.unknown _1234568086.unknown _1234568083.unknown _1234568084.unknown _1234568082.unknown _1234568049.unknown _1234568065.unknown _1234568073.unknown _1234568077.unknown _1234568079.unknown _1234568080.unknown 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_1234568021.unknown _1234568023.unknown _1234568024.unknown _1234568022.unknown _1234568019.unknown _1234568020.unknown _1234568018.unknown _1234567953.unknown _1234567985.unknown _1234568001.unknown _1234568009.unknown _1234568013.unknown _1234568015.unknown _1234568016.unknown _1234568014.unknown _1234568011.unknown _1234568012.unknown _1234568010.unknown _1234568005.unknown _1234568007.unknown _1234568008.unknown _1234568006.unknown _1234568003.unknown _1234568004.unknown _1234568002.unknown _1234567993.unknown _1234567997.unknown _1234567999.unknown _1234568000.unknown _1234567998.unknown _1234567995.unknown _1234567996.unknown _1234567994.unknown _1234567989.unknown _1234567991.unknown _1234567992.unknown _1234567990.unknown _1234567987.unknown _1234567988.unknown _1234567986.unknown _1234567969.unknown _1234567977.unknown _1234567981.unknown _1234567983.unknown _1234567984.unknown _1234567982.unknown _1234567979.unknown _1234567980.unknown _1234567978.unknown _1234567973.unknown 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