D3_6（2）可分离变量微分方程

null第六节(2)第六节(2)转化 可分离变量微分方程 解分离变量方程 可分离变量方程 第三章 分离变量方程的解法:分离变量方程的解法:设 y＝ (x) 是方程①的解, 两边积分, 得 ①则有恒等式 ②当G(y)与F(x) 可微且 G (y)  g(y)  0 时, 的隐 y＝ (x) 是①的解. 则有称②为方程①的隐式通解, 或通积分.同样, 当 F (x) = f (x)≠0 时,由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由②确定例1. 求微分方程例1. 求微分方程的通解.解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )或说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )例2. 解初值问例2. 解初值问题解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为例3. 求下述微分方程的通解:例3. 求下述微分方程的通解:解: 令 则故有即解得( C 为任意常数 )所求通解:练习:练习:解法 1 分离变量即( C < 0 )解法 2故有积分( C 为任意常数 )所求通解:积分例4. 例4. 子的含量 M 成正比,求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有(初始条件)对方程分离变量, 即利用初始条件, 得故所求铀的变化规律为然后积分:已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原例5.例5.成正比,求解: 根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分 :得利用初始条件, 得代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明: 通解不一定是方程的全部解 .有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分;根据定解条件定常数 .解; 阶;通解;特解 y = – x 及 y = C 3. 解微分方程应用题的方法和步骤3. 解微分方程应用题的方法和步骤 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1) 根据几何关系列方程2) 根据物理规律列方程3) 根据微量平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 例4例5思考与练习思考与练习 求下列方程的通解 :提示:(1) 分离变量(2) 方程变形为