高二数学期中测试题

北京英才苑网站 http://www.ycy.com.cn ·版权所有·盗版必究· 2005－2006学年度下学期 高中学生学科素质训练 高二数学期中测试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的面积与四面体ABCD 的表面积的比值是 （ ） A． B． C． D． 2．对于不重合的两个平面 与 ，给定下列条件： ①存在平面 ，使得 、 都垂直于 ； ②存在平面 ，使得 、 都平行于 ； ③ 内有不共线的三点到 的距离相等； ④存在异面直线l、m，使得l// ，l// ，m// ，m// ， 其中，可以判定 与 平行的条件有 （ ） A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个 3．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD 的中心，E、F分别是CC1、AD的中点.那么异面直线OE和FD1 所成的角的余弦值等于　　 （ ） A． B． C． D． 4．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 （ ） A． B． C． D． 5．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足 则B、 C、D三点构成 （ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定 6．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球 心O到平面ABC的距离为 （ ） A． B． C． D． 7．如图，定点A和B 都在平面 内，定点P A，PB⊥A， C是 内异于A 和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面 内的轨迹是（ ） A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 8．已知向量A=（A1，A2，A3），b=（b1，b2，b3）， c=（c1，c2，c3），则下列命题中恒成立 的是 （ ） A．若A∥b，则A=λb B．若b⊥A，b⊥c，且A，c共面α，则b⊥α C．（A·b）·c=A·（b·c） D．||A|－|b||≤|A±b|≤|A|+|b| 9．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体 下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体 的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39， 则该塔形中正方体的个数至少是 （ ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图，已知PA⊥面ABC，则∠BAC与∠BPC的关系适合 （ ） A．∠BAC>∠BPC B．∠BAC=∠BPC C．∠BAC<∠BPC D．不能确定 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．已知平面 和直线m，给出条件：① ② ；③ ；④ ；⑤ .（i）当满足条件 时，有 ；（ii）当满足条件 时，有 .（填所选条件的序号） 12．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则 ①四边形BFD′E一定是平行四边形. ②四边形BFD′E有可能是正方形. ③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形. ④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D. 以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号） 13．在四面体内任取一点P，记P点到4个面的距离为d1，d2，d3，d4，记M={d|d=d1+d2+d3+d4}，对满足条件的一切P，集合M的元素个数为 . 14．四面体各面都是彼此相似的直角三角形，设最长棱为L，最短棱为l，则 的值为 . 三、解答题（本大题共6题，共84分） 15．（本题满分14分）已知AC是⊙O的直径，点B是⊙O上的动点.V是⊙O所在平面外一点且VO垂直于⊙O所在的平面。求证：平面CVB不垂直于平面AVB. 16．（本题满分14分）如图，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M， PN⊥BB1交CC1于点N. （1） 求证：CC1⊥MN；； （2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2－2DF·EFcos∠DFE. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明. 17．（本题满分14分）如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC. （I）求证OD∥平面PAB； （II）当k= 时，求直线PA与平 面 PBC所成角的大小； （III）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC 的重心？ 18．（本题满分14分）如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. （Ⅰ）求证AE⊥平面BCE； （Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小； （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离. 19．（本题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是线段EF的中点. （1）求证AM//平面BDE； （2）求二面角A(DF(B的大小； （3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60(. 20．（本题满分14分）．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=A，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点. （Ⅰ）求A1A与底面ABC所成的角； （Ⅱ）证明A1E∥平面B1FC； （Ⅲ）求经过A1、A、B、C四点的球的体积. 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C B B B D C D 10．取直角三角形PBC，使∠B=60°，∠C=30°，PA为高.现沿PA对折，可发现应选D 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．③⑤，②⑤ 12．①③④ 13．1个 14． 13．解：记正四面体的体积为V，各侧面面积为S，连接点P与正四面体各顶点，则正四面体被分割成四个小棱锥，则有V= d1S+ d2S+ d3S+ d4S，所以d1+d2+d3+d4= 为定值.即为一个元素. 14．解：四个面为直角三角形的图中，AB为异面直线BD和AC的距离，所以棱AB为AD、AB、CD、CB四棱中的最短，如果BDAD矛盾，所以AB为最短棱，即AB＝l，CD为最长棱即CD＝L. 因为CD为最长棱，所以△DAC △CBD，所以BD＝AC，DA＝CB.设BD＝AC＝ L， 则DA＝CB＝ BD＝ 2L，AB＝ 3L，在△CBD中应用勾股定理，得 4＋ 2－1＝0， 解得 ＝ ， 3＝ ，所以 ＝ 3＝ . 三、解答题（本大题共6题，共84分） 15．证明： VO⊥平面⊙O，VO 平面VBO 平面VBO⊥平面⊙O.在平面⊙O内过C作直线BO的垂线CF交直线BO于F， C 平面⊙O， CF 平面⊙O，设二面角C－VB－O的平面角的大小为 ，则 >∠OBC，设二面角A－VB－O的平面角的大小为 ，则 >∠OBA，所以 + >∠OBC+∠OBA=900.由于二面角A－VB－C的平面角的大小为 + ，即二面角A－VB－C的平面角大于900，所以平面CVB不垂直于平面AVB. …………（14分） 16．（1） 证：∵CC1∥BB1 CC1⊥PM，CC1⊥PN， ∴CC1⊥平面PMN CC1⊥MN；………（6分） （2）解：在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，有 ，其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角. …………（10分） ∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角为∠MNP，在△PMN中， PM2=PN2+MN2－2PN·MNcos∠MNP PM2CC =PN2CC +MN2CC －2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP， 由于 ， 有 .…………（14分） 17．解：以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角 坐标系O－xyz（如图），…………（2分）设AB=A， 则A（ ），B（ ），C（ ）. 设OP=h，则P（0，0，h）. …………（4分） （I）∵D为PC 的中点， …………（6分） 可求得平面PBC的法向量 =（1，－1，－ ），…………（8分） 设PA与平面PBC所成的角为Arcsinθ， 则 =|cos |= …………（10分） （III）△PBC的重心G（ ）.∵OG⊥平面PBC，∴ ∴ ∴ ∴PA= 反之，当k=1时， 三棱锥O－PBC为正三棱锥， ∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心. …………（14分） 18．解：（Ⅰ） 平面ACE. ∵二面角D—AB—E为直二面角，且 ， 平面ABE. …………（4分） （Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，…………（6分）如图. 面BCE，BE 面BCE， ，在 的中点， EMBED Equation.3 设平面AEC的一个法向量为 ，则 解得 令 得 是平面AEC的一个法向量. 又平面BAC的一个法向量为 ，…………（8分） ∴二面角B—AC—E的大小为 …………（10分） （III）∵AD//z轴，AD=2，∴ ， ∴点D到平面ACE的距离 ……（14分） 19．（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.…………（2分）设 ，连接NE，则点N、E的坐标分别 是（ ， ，0），（0，0，1），∴NE=（－ ，－ ，1），又点A、M的 坐标分别是（ ， 、0），（ ， ，1）， ∴AM=（－ ，－ ，1） ∴NE=AM且NE与AM不共线， ∴NE∥AM.又∵ 平面BDE，AM 平面BDE， ∴AM∥平面BDF.…………（6分） （Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF AD=A，∴AB⊥平面ADF. ∴ AB=（－ ，0，0）为平面DAF的法向量. ∵NE·DB=（－ ，－ ，1）·（－ ， ，0）=0， ∴NE·NF=（－ ，－ ，1）·（ ， ，1）=0， 得NE⊥DB，NE⊥NF，∴NE为平面BDF的法向量. ∴cos= ∴AB与NE的夹角是60º. 即所求二面角A—DF—B的大小是60º.…………（10分） （Ⅲ）设P（t，t，0），F（ ， ，1）得PF=（ －t， －t，1）， ∴CD=（ ，0，0）又PF和CD所成的角是60º. ∴cos60°= 解得 t= 或t= （舍去），即点P是AC的中点.…………（14分） 20．（Ⅰ）解：过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H.连结AH，并延长交BC于G， 连结EG，于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角. ∵∠A1AB=∠A1AC， ∴AG为∠BAC的平分线. 又∵AB=AC， ∴AG⊥BC，且G为BC的中点， 由三垂线定理，A1A⊥BC.∵A1A//B1B，且EG//B1B， EG⊥BC 于是∠AGE为二面角A—BC—E的平面角， 即∠AGE=120°由于四边形A1AGE为平行四边形， 得∠A1AG=60°， 所以，A1A与底面ABC所成的角为60°.…………（5分） （Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点，连结PF.在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E//FP.而FP 平面B​1FC，所以A1E//平面B1FC. …………（9分） （Ⅲ）解：连结A1C，在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠ A1AC=∠A1AB，A1A=A1A，则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B，由已知得 A1A=A1B=A1C=A.又∵A1H⊥平面ABC， ∴H为△ABC的外心.设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A.在Rt△A1FO中， 故所求球的半径 ，球的体积 .…………（14分） � EMBED Equation.3 ��� � EMBED PBrush ��� A A1 B1 B C1 C M N P � EMBED PBrush ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� P PAGE - 12 - _1185200461.unknown _1185228695.unknown _1185230635.unknown _1194637551.unknown _1200636064.unknown _1200636686.unknown _1200636769.unknown _1200636847.unknown _1200636739.unknown _1200636610.unknown _1200636055.unknown _1200636059.unknown _1198478501.unknown _1194637592.unknown _1185230647.unknown _1185230654.unknown _1194637510.unknown _1185230650.unknown _1185230641.unknown _1185230644.unknown _1185230639.unknown _1185228818.unknown _1185228931.unknown _1185228954.unknown _1185230193.unknown _1185230615.unknown _1185229953.unknown _1185228957.unknown _1185228942.unknown _1185228945.unknown _1185228939.unknown _1185228824.unknown _1185228827.unknown _1185228927.unknown _1185228821.unknown _1185228708.unknown _1185228787.unknown _1185228790.unknown _1185228712.unknown _1185228784.unknown _1185228702.unknown _1185228705.unknown _1185228699.unknown _1185228362.unknown _1185228443.unknown _1185228609.unknown _1185228631.unknown _1185228634.unknown _1185228619.unknown _1185228446.unknown _1185228429.unknown _1185228433.unknown _1185228402.unknown _1185228424.unknown _1185200617.unknown _1185228343.unknown _1185228351.unknown _1185228355.unknown _1185228346.unknown _1185228329.unknown _1185228339.unknown _1185222566.unknown _1185222570.unknown _1185222555.unknown _1185200613.unknown _1185200615.unknown _1185200616.unknown _1185200614.unknown _1185200611.unknown _1185200612.unknown _1185200610.unknown _1185200609.unknown _1185149580.unknown _1185149632.unknown _1185149649.unknown _1185200448.unknown _1185200454.unknown _1185200370.unknown _1185149640.unknown _1185149645.unknown _1185149637.unknown _1185149610.unknown _1185149622.unknown _1185149628.unknown _1185149616.unknown _1185149606.unknown _1185149607.unknown _1185149585.unknown _1185149605.unknown _1179897541.unknown _1180338939.unknown _1185149566.unknown _1185149576.unknown _1182689264.unknown _1185149561.unknown _1182687047.unknown _1180338934.unknown _1180338936.unknown _1180335762.unknown _1180335930.unknown _1180338931.unknown _1180335915.unknown _1180335225.unknown _1148794927.unknown _1179811712.unknown _1179813173.unknown _1179813301.unknown _1179813340.unknown _1179830124.unknown _1179813187.unknown _1179811831.unknown _1179776588.unknown _1179809451.unknown _1179809452.unknown _1179776665.unknown _1179778003.unknown _1148795031.unknown _1179768509.unknown _1159103878.unknown _1148794938.unknown _1148294396.unknown _1148378398.unknown _1148465756.unknown _1148794912.unknown _1148466231.unknown _1148378434.unknown _1148378350.unknown _1148309890.doc A D E F M B C _1148294236.unknown _1148294367.unknown _1148294388.unknown _1102601806.unknown _1102666677.unknown _1133865106.unknown _1133866020.unknown _1102666298.unknown _1102666332.unknown _1102666439.unknown _1102660818.unknown _1102660824.unknown _1102601853.unknown _1102600495.unknown _1102601758.unknown _1102601504.unknown _1102601517.unknown _1102601470.unknown _990185404.unknown _1102566108.unknown